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6.2.2组合和组合数---自检定时练--详解版
单选题
1.以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70 B．64 C．58 D．24
【答案】C
【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数.
【详解】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，
1、8个顶点任选4个，有种，
2、8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个.
故选：C
2.甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．24种
【答案】D
【分析】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得.
【详解】由题意得甲选择两个景区的选法有种，
乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种，
两人选择景区完全相同的选法有种，
两人选择景区完全不相同的选法有种，
故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确.
故选：D.
3.有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种
【答案】B
【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案.
【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况，
其中分为的情况有种，
分为的情况有种，
故不同的分法种数为.
故选：B
4. 从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．以上都错误
【答案】A
【分析】选能构成直角三角形3个点，即选出一条直径，再选直径外上一点.再由分步计数原理与古典概型概率公式可求.
【详解】
从正十边形的个顶点中任选3个点，共有种选法，
将正十边形看成一个圆的内接正十边形，则选中的3个点能构成直角三角形，即直角所对边为直径，
则任选圆的一条直径共有种选法，直角顶点有种选法，
所以选中的3个点能构成直角三角形的概率为.
故选：A.
5．从重量分别为 1，2，3，4，… ，8 克的砝码（每种砝码各 2 个）中选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方法总数为（ ）
A．48 B．56 C．64 D．72
【答案】C
【分析】根据题意，按照取的砝码个数讨论，结合组合数代入计算，即可得到结果.
【详解】取两个砝码时，有四种情况，方法有种；
取三个砝码时，有，六种情况，
方法有种；
取四个砝码时，有四种情况，
方法有种；
取五个砝码时，有，方法有种，
所以一共有种情况.
故选：C
6.《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
【答案】B
【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】如图，设图中的六个区域分别为，
按照是否同色，分两类：
①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况，
不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法；
用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种，
或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法，
所以不同色的涂法有：，
②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种，
所以同色的涂法有：，
综上，不同的涂色方法有：种.
故选：B.
多选题
7.下列四个关系式中，一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据组合数的运算公式判断A，根据排列数公式判断BC，根据组合数性质及运算公式判断D.
【详解】因为，所以A正确；
若，则，所以B错误；
若，则，所以C正确；
因为，
所以，
所以，
所以D正确.
故选：ACD.
8.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【答案】ABD
【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D.
【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误；
对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误；
对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确；
对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法；
②选化学，不选物理，有种选法；
③物理与化学都选，有种选法.
故总数，故D错误.
故选：ABD
填空题
9.方程的解为 .
【答案】1或3（只写一个不得分）
【分析】根据给定条件，利用组合数的性质列式求解.
【详解】由及组合数的性质，得或，
整理得或，解得或，所以该方程的解为1或3.
故答案为：1或3
10．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为 .
【答案】
【分析】求出从点出发沿实线走到点的情况数，再求出从点出发沿实线走到点经过点C的情况数，两个作商即可.
【详解】从点A到点C一共有（一共六步需要向下走两步），
点C到点B一共有（一共四步向右走一步），
则根据分步计数原理得从点出发沿实线走到点经过点C的情况数为；
计算从点点出发沿实线走到点：
如图连接,则从点点出发沿实线走到点又经过的情况为：,
同理经过另外一条不连上的线情况为，
则从点点出发沿实线走到点的情况为；
故距离最短的走法中，经过点的概率为
故答案为：
解答题
11．按要求完成下列问题：
(1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)或2021.
【分析】（1）利用组合数的计算公式证明即可；
（2）利用第一问的结论及组合数的性质计算即可.
【详解】（1），
证明如下：由题，，，
则
．
（2）原式
，
所以或2021.
12.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.
(1)同学A必须被选出；
(2)至少有3名女生被选出；
(3)让选出的5人分别担任安全委员、文娱委员等5种不同的职务，但安全委员由男生担任，文娱委员由女生担任.
【答案】(1)330
(2)246
(3)25200
【分析】（1）直接由组合数即可求解；
（2）先分类，再分步，由基本计数原理即可求解；
（3）由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】（1）除A选出外，从其他11人中再选4人，不同的选法种数为.
（2）按女生的选取分类：选3名女生2名男生；选4名女生1名男生；选5名女生.
按分类加法计数原理得，所求的不同选法种数为.
（3）选出1名男生担任安全委员，再选出1名女生担任文娱委员，剩下的10人中任选3然担任其他3种职务.
由分步乘法计数原理得，所求不同的选法种数为.
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6.2.2组合和组合数---自检定时练--学生版
【1】知识清单
1．组合及组合数的概念
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
2．组合数公式及其性质
公式 展开式 C＝
阶乘式 C＝
性质 性质1 C＝
性质2 C＝
规定 C＝1
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70 B．64 C．58 D．24
2.甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．24种
3.有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种
4.从正十边形的各顶点中任选3个，则选中的3个点能构成直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．以上都错误
5．从重量分别为 1，2，3，4，… ，8 克的砝码（每种砝码各 2 个）中选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方法总数为（ ）
A．48 B．56 C．64 D．72
6.《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
多选题
7.下列四个关系式中，一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
填空题
9.方程的解为 .
10．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为 .
解答题
11．按要求完成下列问题：
(1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，求的值．
12.从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法种数.
(1)同学A必须被选出；
(2)至少有3名女生被选出；
(3)让选出的5人分别担任安全委员、文娱委员等5种不同的职务，但安全委员由男生担任，文娱委员由女生担任.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A C B ACD ABD
9.【答案】1或3（只写一个不得分）
10.【答案】
11.【答案】(1)，证明见解析； (2)或2021.
12.【答案】(1)330 (2)246 (3)25200
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