北师大版数学九年级下册第三章圆单元测试卷

本资料来自于资源２１世纪教育网www.21cnjy.com
北师大版数学九年级下册第三章圆单元测试卷原版卷
一．选择题（共12小题）
1．（2015秋 文昌校级期末）下列说法：
①直径是弦；
②弦是直径；
③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；
④直径是圆中最长的弦．
其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2015秋 德州校级期中）下列说法正确的个数是（　　）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2016 鄂城区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC，BD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD面积最大值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．5 C．4 D．6
4．（2016 大邑县模拟）如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB=（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（2016 平阴县一模）如图，小正方形的边长均为1，则∠1的正切值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
6．（2016 宜兴市校级一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
7．（2016 兰州模拟）如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2cm B．2cm C．4cm D．4cm
8．（2016 丹阳市校级模拟）如图，4个正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
9．（2016 孝义市一模）如图，两个小正方形的边长都是1，以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分的面积为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
10．（2016春 盐城校级月考）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
11．（2015 雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2015 贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB=BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
　
二．填空题（共4小题）
13．（2016 重庆模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　　　　　　．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2016 丹东模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点（不与A，B重合），若BC=2，tan∠BDC=，则AB=　　　　　　．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2016 兰州模拟）如图，在直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是　　　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2016 苏州模拟）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆On与直线相切，设半圆O1、半圆O2、…、半圆On的半径分别是r1、r2、…、rn，则当r1=1时，r2016=　　　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
三．解答题（共5小题）
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（2016 云南模拟）如图，⊙O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD．求证：△CEF≌△DEA．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．（2016 天桥区一模）完成下列各题：
（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；
（2）如图，AB是⊙O的直 ( http: / / www.21cnjy.com )径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（2016 商水县一模）如图，A ( http: / / www.21cnjy.com )B为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=　　　　　　时，四边形AMQN为菱形；当t=　　　　　　时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（2016 贵港一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
　
北师大版数学九年级下册第三章圆单元测试卷解析卷
一．选择题（共12小题）
1．（2015秋 文昌校级期末）下列说法：
①直径是弦；
②弦是直径；
③过圆上任意一点有无数条弦，且这些弦都相等；
④直径是圆中最长的弦．
其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①因为直径的两个端点在圆上，直径是连接圆上这两个端点的线段．所以直径是弦是正确的．
②弦是连接圆上两点的线段，如果过圆心就是直径，不过圆心就不是直径．所以弦是直径不正确．
③过圆内一点是有无数多条弦，但这些弦不一定相等，其中过圆心的弦是最长的．所以③不正确．
④直径是过圆心的弦，当然是圆中最长的弦．所以④正确．
故选B．
【分析】弦是连接圆上两点间的线段，直径是弦，是过圆心的弦，是圆中最长的弦．由弦和直径的定义对这四个命题作出判断．　www.21-cn-jy.com
2．（2015秋 德州校级期中）下列说法正确的个数是（　　）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
弧不一定是半圆，所以②错误；
过圆心的弦是直径，所以③错误；
半圆是弧，所以④错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以⑤错误．
故选A．
【分析】根据直径的定义对①③进行判断；根据弧和半圆的定义对②④进行判断；根据等弧的定义对⑤进行判断．　2-1-c-n-j-y
3．（2016 鄂城区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC，BD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD面积最大值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．5 C．4 D．6
【解答】解：当AC、BD相等，且OM平分两弦的相交的角时，这时O到弦的距离为：OM×sin45=，21*cnjy*com
由勾股定理及垂径定理知弦长为：，
S=××=5；
故选B．
【分析】解答本题要注意当AC、BD ( http: / / www.21cnjy.com )相等，且OM平分两弦的相交的角时，此时四边形ABCD的面积最大，求出对角线AC、BD的长度可以求得四边形ABCD的最大面积．　
4．（2016 大邑县模拟）如图，在⊙O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA=AB，则∠ACB=（　　）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°，
故选：B．
【分析】根据题意得到△AOB是等边三角形，求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．　
5．（2016 平阴县一模）如图，小正方形的边长均为1，则∠1的正切值为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：如图，∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2=．
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】首先由圆周角证得∠1=∠2，然后由三角函数的定义，求得答案．　
6．（2016 宜兴市校级一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（　　）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC=QP QD．
即（r﹣m）（r+m）=m QD，所以QD=．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP= ( http: / / www.21cnjy.com )m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．　【来源：21·世纪·教育·网】
7．（2016 兰州模拟）如图，已知⊙O的周长等于8πcm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2cm B．2cm C．4cm D．4cm
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30°，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴OC=4cm，
∴OM=4cos30°=2cm，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连接OC，OD，由 ( http: / / www.21cnjy.com )正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COM=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长．　
8．（2016 丹阳市校级模拟）如图，4个正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：由观察知三个 ( http: / / www.21cnjy.com )扇形的半径相等均为1，且左边上下两个扇形的圆心角正好是直角三角形的两个锐角，所以它们的和为90°，右上面扇形圆心角的度数为45°，
∴阴影部分的面积应为：S==π．
故选A．
【分析】根据正方形的性质可得出每个扇形的圆心角的度数，从而阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形，求解即可．　
9．（2016 孝义市一模）如图，两个小正方形的边长都是1，以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分的面积为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点点G作GM⊥AD，垂足为M，
( http: / / www.21cnjy.com )
则四边形GCMD是矩形，
∴GM=CD=1，
又∵AG=AD=2，
∴在RT△AGM中，∠GAM=30°，
则图中阴影部分的面积为：=，
故选：A．
【分析】过点点G作GM⊥AD，垂足为M，在RT△AGM中可知∠GAM=30°，根据扇形面积公式计算即可．　
10．（2016春 盐城校级月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：连OD，OE，如图，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵∠A=90°，OE=OD，
∴四边形OEAD为正方形，
∵AB=AC=2，O为BC的中点，
∴OD=OE=AC=1，
∴S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED=1﹣．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】连OD，OE，根据切线的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )到OD⊥AB，OE⊥AC，则四边形OEAD为正方形，而AB=AC=2，O为BC的中点，则OD=OE=1，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED，进行计算即可．　
11．（2015 雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴AD=BD，=，∠MAN=90°（①②③正确）
∵=，
∴==，
∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）
∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，
∴AE=EF，
∴AE=MF（⑤正确）．
正确的结论共5个．
故选：D．
【分析】根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．　
12．（2015 贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB=BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=BC，
∵AB=BD，
∴AB=BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】利用圆周角定理结合切线的性质得出∠BDC=∠ADO=90°，进而得出∠A，∠ADB的度数即可得出答案，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半进而得出AB=BC，判断即可．　
二．填空题（共4小题）
13．（2016 重庆模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　40°　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=50°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．
故答案为：40°．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】首先连接CD，由AD是⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案．　
14．（2016 丹东模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点（不与A，B重合），若BC=2，tan∠BDC=，则AB=　　．　　21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BDC，
∴tan∠BDC=tanA=，
∵BC=2，
∴AC=2.5，
∴AB==，
故答案为：．
【分析】由圆周角定理可得△ACB是直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，∠A=∠BDC，已知tan∠BDC的值，进而可得到tanA的值，则Rt△ACB可解，进而可求出AB的长．　21cnjy.com
15．（2016 兰州模拟）如图，在直角坐标系中，直线AB交x轴、y轴于点A（3，0）与B（0，﹣4），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，动圆以每秒1个单位长度的速度向右作平移运动．设运动时间为t（秒），则动圆与直线AB相交时t的取值范围是　＜t＜　．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图所示：
∵A（3，0）、B（0，﹣4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；
①当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
②当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3；
则△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=；
综上所述：动圆与直线AB相切时t的取值是或，
∴动圆与直线AB相交时t的取值范围是＜t＜．
故答案为：＜t＜．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】在Rt△OAB中，OA=3， ( http: / / www.21cnjy.com )OB=4，由勾股定理得AB=5，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；当⊙O在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=3﹣t，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=t﹣3，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；得出动圆与直线AB相切时t的取值，即可得出动圆与直线AB相交时t的取值范围．　2·1·c·n·j·y
16．（2016 苏州模拟）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1、半圆O2、…、半圆On与直线相切，设半圆O1、半圆O2、…、半圆On的半径分别是r1、r2、…、rn，则当r1=1时，r2016=　32015　．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设A、B、C是切点，由题意直线y=x与x轴的夹角为30°，
在RT△OO1A中，∵AO1=1，∠AOO1=30°，
∴OO1=2AO1=2，
同理：OO2=2BO2，OO3=2CO3，
∴3+r2=2r2，
∴r2=3，
9+r3=2r3，
r3=9，
∴r1=1，r2=3，r3=9…rn=3n﹣1，
∴r2016=32015．
故答案为32015．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】先求出r1=1，r2=3，r3=9…rn=3n﹣1，根据规律即可解决．　
三．解答题（共5小题）
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）∵AB为直径，点B为的中点，CD=2，
∴AB⊥CD，
∴DE=CD=．
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=5﹣r，DE=，
∴r2=（5﹣r）2+（）2，解得r=3；
（2）∵由（1）知，OE=AE﹣AO=5﹣3=2，
∴tan∠FCE=tan∠DOB==．
在Rt△FCE中，
∵==，
∴EF=，
∴当点F在线段CD的上方时，AF=AE﹣EF=5﹣=；
当点F在线段CD的下方时，AF=AE+EF=5+=＞AB，不合题意．
综上所述，AF=．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论即可．
　
18．（2016 云南模拟）如图，⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的直径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD．求证：△CEF≌△DEA．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°，
∴CG⊥CF，
又∵CG⊥AD，
∴CF∥AD，
∴∠ECF=∠EDA，∠F=∠A，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE=DE，
在△CEF和△DEA中，
，
∴△CEF≌△DEA（ASA）．
【分析】由CF是⊙O的切线，易 ( http: / / www.21cnjy.com )得CG⊥CF，证得CF∥AD，得出∠ECF=∠EDA，∠F=∠A，根据垂径定理得出CE=DE，然后根据AAS即可证得△CEF≌△DEA．
19．（2016 天桥区一模）完成下列各题：
（1）如图，在矩形ABCD中，AF=BE，求证：DE=CF；
（2）如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE，BD，∠ABD=25°，求∠C的度数．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B、AD=BC，
∵AF=BE，
∴AE=BF，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）．
∴DE=CF；
（2）∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAO=90°．
又∠AOC=2∠ABD=50°，
∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠CAO=180°﹣50°﹣90°=40°．
【分析】（1）要证明DE=CF，只要证明△ADE≌△BCF即可．根据全等三角形的判定定理，可以得出结论．21·cn·jy·com
（2）先求出∠EBO，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可求出∠AOC，从而求出∠C的度数．　【出处：21教育名师】
20．（2016 商水县一模）如图，AB为 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．
（1）若AC=5，则当t=　　时，四边形AMQN为菱形；当t=　　时，NQ与⊙O相切；
（2）当AC的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQN为正方形？请说明理由，并求出此时t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t，
∵NM⊥AB，
∴PM=PN，
∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，解得t=；
当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，
∵∠NOP=∠QON，
∴Rt△ONP∽Rt△OQN，
∴=，即=，
整理得t2﹣5t+5=0，解得t1=，t2=（1≤t≤2.5，故舍去），
即当t=时，NQ与⊙O相切；
故答案为，；
（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：
∵四边形AMQN为正方形．
∴∠MAN=90°，
∴MN为⊙O的直径，
而∠MQN=90°，
∴点Q在⊙O上，
∴AQ为直径，
∴点P在圆心，
∴MN=AQ=2，AP=1，
∴t=AP=1，CQ=t=1，
∴AC=AQ+CQ=2+1=3．
【分析】（1）AP=t，CQ ( http: / / www.21cnjy.com )=t，则PQ=5﹣2t，由于NM⊥AB，根据垂径定理得PM=PN，根据菱形的判定方法，当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即t=5﹣2t，然后解一元一次方程可求t的值；根据切线的判定定理，当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，此时OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=4﹣t，再证明Rt△ONP∽Rt△OQN，利用相似比可得t2﹣5t+5=0，然后解一元二次方程可得到t的值；
（2）当四边形AMQN为正方形．则∠M ( http: / / www.21cnjy.com )AN=90°，根据圆周角定理得到MN为⊙O的直径，而∠MQN=90°，又可判断AQ为直径，于是得到点P在圆心，所以t=AP=1，CQ=t=1，则可得到此时AC=AQ+CQ=3．　
21．（2016 贵港一模）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：连接DO，如图1所示
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
即AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为R，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC==，
∴BC=×6=4，
由（1）知，OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴，
解得：R=2.4，过O作OF⊥BC于F，如图所示：
则BE=2BF，OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴=sin∠BOF=，
∴BF=×2.4=1.6，
∴BE=2BF=3.2．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】（1）连接DO，由等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和角平分线的定义得出∠1=∠3，证出DO∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为R，由三角函数求出BC， ( http: / / www.21cnjy.com )由平行线得出△AOD∽△ABC，得出对应边成比例，求出半径OD，过O作OF⊥BC于F，则BE=2BF，如图所示：则OF∥AC，由平行线的性质得出∠BOF=∠BAC，由三角函数求出BF，即可得出结果．
　
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网