江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第1周阶段性训练模拟练习（含解析）

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第1周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共10小题）
1．在的展开式中，若二项式系数的和为32，则x的系数为（　　）
A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．40
2．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（　　）
A．3 B．6 C． D．
3．已知向量，，满足＝（1，﹣），|2﹣|＝4，且（3﹣）⊥，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
4．已知tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，则＝（　　）
A． B． C． D．5
5．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝4，f（3x+1）﹣2是奇函数，且，则的值为（　　）
A．42 B．45 C．420 D．483
6．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＜2a﹣1）＝P（X＞a+3），则实数a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．4
7．若函数f（x）＝在x＝2处取得极小值，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或0 D．0
8．已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣1）2+y2＝1相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．3
9．已知角α的终边经过点P（1，3），角β为钝角，且，则sinβ＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（　　）
A． B． C．π D．
二．多选题（共3小题）
（多选）11．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（　　）
A．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件
B．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立
C．第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是
D．在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是
（多选）12．函数f（x）＝acosx+xsinx．下列说法中正确的有（　　）
A．函数f（x）是偶函数
B． a∈R，使f（x）为周期函数
C．当a＝1，x∈（﹣π，π）时，f（x）的极小值为1
D．当时，ex+e﹣x≥2f（x）恒成立
（多选）13．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则下列说法正确的有（　　）
A．若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则ω的取值范围是
B．若f（x）在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是
C．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是
D．若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是（4，6]
三．填空题（共2小题）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b＝2，则△ABC的面积为 　 　．
15．在△ABC中，点D满足，∠BAD＝30°，∠ABC＝∠CAD，则tan∠ABC＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
16．某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下2×2列联表．
男生 女生 合计
经常锻炼 120
不经常锻炼 100 180
合计 200
（1）请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关；
（2）（i）为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取4人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率；
（ii）用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中经常锻炼的人数为X，求X的数学期望．
附表：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：．
17．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．
（1）若f（x）在x＝2处有极小值，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣x+c相切，求实数c的值．
18．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点，直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若四边形APFQ是平行四边形，求直线l的方程；
（3）若△PQF的内心在直线AF上，求证：直线l过定点．
19．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）若f（x）在区间（a，+∞）上单调，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣bx2有两个不同的零点．
（i）求实数b的取值范围；
（ii）若（xlnx﹣bx2）（x2﹣cx+d）≤0恒成立，求证：．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C D C D C D A
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：根据的展开式中，二项式系数的和为2n＝32，∴n＝5．
而＝的展开式中，通项公式为Tr+1＝ （﹣2）r x5﹣2r，
令5﹣2r＝1，求得r＝2，可得展开式中x的系数为 （﹣2）2＝40，
故选：D．
2．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可得＝，
双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2＝16x的准线x＝﹣4上，
可得c＝4，
即有a2+b2＝16，
解得a＝2，b＝2，
则双曲线的方程为﹣＝1．
故双曲线的顶点（2，0）到渐近线y＝x的距离为：＝．
故选：C．
3．【解答】解：由＝（1，﹣），可得，
由（3﹣）⊥，可得，则，
由|2﹣|＝4，可得，
即，即，
向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则，
因此，向量与的夹角为．
故选：A．
4．【解答】解：由于tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，故，解得，
所以＝．
故选：C．
5．【解答】解：∵f（x+2）+f（x）＝4，∴f（x+4）+f（x+2）＝4，
∴f（x+4）﹣f（x）＝0，∴f（x+4）＝f（x），
∴f（x）的周期为4，
又f（3x+1）﹣2为奇函数，∴f（﹣3x+1）﹣2+f（3x+1）﹣2＝0，
∴f（﹣3x+1）+f（3x+1）＝4，
∴f（﹣x+1）+f（x+1）＝4，
∴f（x）关于（1，2）对称，又，
∴f（）＝4﹣f（）＝1，f（）＝4﹣f（）＝1，f（）＝4﹣f（）＝3，
∴＝1×3+2×1+3×1+4×3+5×3+6×1+7×1+8×3+…+21×3
＝（1+4+5+8+9+12+13+16+17+20+21）×3+（2+3+6+7+10+11+14+15+18+19）×1＝483．
故选：D．
6．【解答】解：因为X～N（4，σ2），且P（X＜2a﹣1）＝P（X＞a+3），
所以＝4，
解得a＝2．
故选：C．
7．【解答】解：f'（x）＝x2﹣2ax+2a2﹣4，
因为函数f（x）在x＝2处取得极小值，
所以f′（2）＝4﹣4a+2a2﹣4＝0，解得a＝0或a＝2，
当a＝0时，f′（x）＝x2﹣4，
当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，
所以函数在x＝2处取得极小值，符合题意；
当a＝2时，f′（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，f（x）在R上单调递增，
函数在x＝2处不取得极小值．
综上，实数a＝0．
故选：D．
8．【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，
即有圆心到渐近线的距离d＝＝，
由弦长公式可得2＝1，
化为3c2＝4b2，由c2＝a2+b2，
可得＝，即e＝2．
故选：C．
9．【解答】解：因为α的终边过点P（1，3），所以r＝|OP|＝＝，
所以sinα＝，cosα＝；
因为β为钝角，所以β∈（，π），
又因为α∈（2kπ，2kπ+），k∈Z，所以α+β∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；
又因为cos（α+β）＝﹣，所以sin（α+β）＝±＝±；
当sin（α+β）＝时，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝＞0，不合题意，舍去；
所以sin（α+β）＝﹣，sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝﹣×﹣（﹣）×＝．
故选：D．
10．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，
由VO﹣ACM＝VM﹣AOC，即＝，
∴d＝，
，
故d＝，又d2+r2＝1，
∴r，
所以截面的面积为πr2＝，
故选：A．
二．多选题（共3小题）
11．【解答】解：对于A，“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，为互斥事件，故A正确，
对于B，“第一次抽到代数题”发生时，“第二次抽到几何题”的概率是，
“第一次抽到代数题”不发生时，“第二次抽到几何题”的概率是，它们不独立，故B错误，
对于C，第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是，故C正确，
对于D，抽取两次都是几何题的概率为，因此有代数题的概率是，
在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是，故D正确．
故选：ACD．
12．【解答】解：对于A，由题意可知函数的定义域为R，
又因为f（﹣x）＝）＝acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）＝acosx+xsinx＝f（x），
所以函数是R上的偶函数，故A正确；
对于B，因为y＝cosx与y＝sinx的最小正周期为2π，
f（x+2π）＝acos（x+2π）+（x+2π）sin（x+2π）＝acosx+（x+2π）sinx≠f（x），
所以不存在实数a，使函数为周期函数，故B错误；
对于C，当a＝1时，f（x）＝cosx+xsinx，
f′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx＝xcosx，
又因为当x∈（﹣π，﹣）∪（，π）时，cosx＜0；
当x∈（﹣，）时，cosx＞0；
所以当x∈（﹣π，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）极小值＝f（0）＝1，故C正确；
对于D，由C可知，当a＝1时，
2f（x）＝2cosx+2xsinx，
令g（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx﹣2xsinx，x∈[0，），
则g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2xcosx，
令h（x）＝g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2xcosx，x∈[0，），
则h′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx+2xsinx，
设φ（x）＝h′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx+2xsinx，x∈[0，），
则φ′（x）＝ex﹣e﹣x+4sinx+2xcosx，
当x∈[0，）时，φ′（x）＞0，
所以φ（x），即h′（x）在[0，）上单调递增，
所以h′（x）≥h′（0）＝0，
所以h（x），即g′（x）在[0，）上单调递增，
所以g′（x）≥g′（0）＝0，
所以g（x）在[0，）上单调递增，
所以g（x）≥g（0）＝0，
即ex+e﹣x≥2f（x）在x∈[0，）上恒成立，故D正确．
故选：ACD．
13．【解答】解：对于A，若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则，
所以T，即，
解得ω，即ω的取值范围是[，+∞），故A正确；
对于B，若f（x）在上恰有一条对称轴，则，
所以，
解得，即ω的取值范围是（，]，故B错误；
对于C，若f（x）在上单调递增，则≥，
所以≥，
解得ω≤，即ω的取值范围是（0，]，故C正确；
对于D，若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则T＜≤，
所以，
解得4＜ω≤6，即ω的取值范围是（4，6]，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共2小题）
14．【解答】解：由，可得cosAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣sinAsinB＝0，
即（cosAcosB﹣sinAsinB）+（sinAcosB+cosAsinB）＝0，
即cos（A+B）+sin（A+B）＝0，整理得cos（A+B）＝sin（A+B），
所以tan（A+B）＝＝，结合0＜A+B＜π，可得A+B＝，
所以A＝﹣B＝，C＝π﹣（A+B）＝．
sin＝sin（+）＝sincos+cossin＝，
△ABC中，由正弦定理＝，得，解得a＝＝．
所以△ABC的面积S＝absinC＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：因为，可得D为BC的中点，即BD＝CD，
∠BAD＝30°，设∠ABC＝∠CAD，
在△ABD中，由正弦定理可得＝＝，①
在△ACD中，由正弦定理可得＝，②
可得＝＝2sinB，可得sinC＝2sin2B，
由题意可得C＝180°﹣2B﹣30°＝150°﹣2B，
所以sin（150°﹣2B）＝2sin2B，
即sin150°cos2B﹣cos150°sin2B＝2sin2B，
可得（1﹣2sin2B）+ 2sinBcosB＝2sin2B，
设t＝sinB∈（0，1），
可得2t2＝（1﹣2t2）+t，整理可得4t2＝1﹣2t2+2t，
即6t2﹣1＝2t，
整理可得48t4﹣24t2+1＝0，
解得t2＝＝，
因为0°＜B＜90°，所以0＜t＝sinα＜1，
当t2＝时，则cosB＝＝，
此时tanB＝＝；
取t2＝，所以cosB＝＝，
所以tanB＝＝．
故答案为：或．
四．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）补全2×2列联表，如下：
男生 女生 合计
经常锻炼 120 100 220
不经常锻炼 80 100 180
合计 200 200 400
零假设H0：该校学生是否经常锻炼与性别无关，
则，
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
所以有95%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关；
（2）（i）因为不经常锻炼的学生中男女抽取比例为4：5，
所以抽取男生4人，女生5人，
所以男女生都有人参会的概率P＝1﹣﹣＝；
（ii）随机抽取一个，他经常锻炼的概率，
则X～B（10，），
所以．
17．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为R，
可得f′（x）＝（x﹣c）2+2（x﹣c）x＝（x﹣c）（3x﹣c），
因为f（x）在x＝2处有极小值，
所以f′（2）＝（2﹣c）（6﹣c）＝0，
解得c＝2或c＝6，
当c＝2时，f′（x）＝（x﹣2）（3x﹣2），
当x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝2上有极小值，符合条件；
当c＝6时，经检验f（x）在x＝2处有极大值了，不符合条件，
综上所述，f（x）的单调增区间为，（2，+∞）；
（2）设f（x）与y＝﹣x+c切于，
此时k＝（x0﹣c）（3x0﹣c），
所以切线方程为＝，
因为该切线与y＝﹣x+c重合，
所以，
两式相除得（2x0﹣c）（x0﹣c）＝0，
解得或x0＝c（舍去），
所以，
解得c＝±2．
则实数c的值为±2．
18．【解答】解：（1）因为椭圆C的右焦点为F（1，0），且过点，
所以，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）易知直线l斜率存在，
又，F（1，0），
设直线l方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点R（x0，y0），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
此时Δ＞0，
所以，，
因为四边形APFQ是平行四边形，
所以PQ的中点也是AF的中点，
所以，
解得，
则直线l的方程为；
（3）证明：若△PQF的内心在直线AF上，
此时AF平分∠PFQ，
所以kPF+kQF＝0，
设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由韦达定理得x1+x2＝，x1x2＝，
此时kFP+kFQ＝＝0，
整理得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m＝0，
因为x1+x2＝，x1x2＝，
所以2k+m＝0，
解得m＝﹣2k．
所以直线l的方程为y＝k（x﹣2），此时直线l恒过定点（2，0）．
19．【解答】解：（1）由题设f'（x）＝lnx+1，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
而f（x）在区间（a，+∞）上单调，
所以，
即实数a的取值范围是；
（2）（i）g（x）＝xlnx﹣bx2＝x（lnx﹣bx），且x∈（0，+∞），
令h（x）＝lnx﹣bx，且x∈（0，+∞），
则，
若b≤0，h'（x）＞0，即h（x）在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符；
当b＞0时，时h′（x）＞0，时h′（x）＜0，
h（x）在上单调递增，在上单调递减，
则，得，
又h（1）＝﹣b＜0，，
另且，
则，
所以s（b）在上单调递增，则，所以，
即g（x）在和各存在一个零点，满足题设，
所以，
即b的取值范围是；
（ii）证明：记两个零点为x1，x2（0＜x1＜x2），结合g（x）（x2﹣cx+d）≤0恒成立，
则x1，x2为x2﹣cx+d的两个零点，则x1+x2＝c，x1x2＝d，
且，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，
则，
所以φ（t）＜φ（1）＝0，得证；
要证，即证，
令，
则，
则，
所以n（m）＞n（1）＝0，得证．
综上，．