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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解（二）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）单项式与单项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列由左至右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋3＝x（x－4）＋3 B．x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3x
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．（x＋2）（x－2）＝x2－4
3．（本题3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
5．（本题3分）已知a、b、c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．（本题3分）多项式分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．．
7．（本题3分）已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2－b2=c（a－b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．（本题3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
9．（本题3分）已知正数a，b满足，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
10．（本题3分）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则；
③第2024个整式为；
④当时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）分解因式： ．
12．（本题3分）在实数范围内分解因式：＝ ．
13．（本题3分）在实数范围内因式分解： ．
14．（本题3分）已知是的一个因式，则常数的值是
15．（本题3分）一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）分解因式：
(1)；
(2)．
17．（本题7分）因式分解
（1）
（2）
18．（本题8分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
19．（本题8分）（1）填空：
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
（3）计算．
20．（本题8分）把下列多项式分解因式：
（1）3a2﹣12ab+12b2
（2）m2（m﹣2）+4（2﹣m）
21．（本题9分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：
，，，，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为，，其中，且为整数．则．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解．
22．（本题9分）阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：等，都是连接数，其中，称为六位连接数，称为四位连接数．
(1)请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．
(2)是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
(3)若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第四章：因式分解（二）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）单项式与单项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为,
所以．和的公因式为.
故选A．
2．（本题3分）下列由左至右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2－4x＋3＝x（x－4）＋3 B．x2－4＋3x＝（x＋2）（x－2）＋3x
C．x2－4＝（x＋2）（x－2） D．（x＋2）（x－2）＝x2－4
解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、属于因式分解，故本选项符合题意；
D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（本题3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、，结果为差的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、，结果为和的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，结果为差的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
4．（本题3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴2x3﹣7x2+4x+2023
＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020
＝0+0+2020
＝2020，
故选：A．
5．（本题3分）已知a、b、c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵a、b、c是的三边，
∴，
∴不成立，只能是，
∴一定是等腰三角形．
故选：C．
6．（本题3分）多项式分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．．
解=x(x2-4)=x(x+2)(x-2）
7．（本题3分）已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2－b2=c（a－b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解：已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
8．（本题3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
解A、，不是分解因式，故此选项错误；
B、，正确；
C、，是多项式乘法，故此选项错误；
D、，是整式乘法运算，故此选项错误．
故选B．
9．（本题3分）已知正数a，b满足，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
解：，
，
，
，
，
∵a、b均为正数，
∴，
∴，即，解得或（不合题意，舍去），
∴．
故选：B．
10．（本题3分）有n个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则；
③第2024个整式为；
④当时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意得，，
，
，故①正确；
以此类推，，
，故④正确；
第一个整式为，
第二个整式为，
第三个整式为，
第四个整式为，……
以此类推，第个整式为，
第2024个整式为，故③正确；
第三个整式与第二个整式的差为，
，
解得：，故②错误；
综上所述，结论正确的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）分解因式： ．
解：，
故答案为： ．
12．（本题3分）在实数范围内分解因式：＝ ．
解：原式＝，
故答案为．
13．（本题3分）在实数范围内因式分解： ．
解：
．
故答案为：．
14．（本题3分）已知是的一个因式，则常数的值是
解∵4xy﹣4x2﹣y2﹣k=﹣k﹣(2x﹣y)2，它的一个因式1﹣2x+y=1﹣(2x﹣y)，
∴分解时是利用平方差公式，
∴﹣k=12=1，
∴k=﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（本题3分）一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ．
解：当时，．
设，则，
，
，
．
是一个完全平方数，
是一个完全平方数，
，，
，
，即，
当时，有最小值4，
此时的最小值为4114．
故答案为：486，4114．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）分解因式：
(1)；
(2)．
（1）解：；
（2）解：．
17．（本题7分）因式分解
（1）
（2）
解：（1）3x-12x3=3x（1-4x2）=3x（1+2x）（1-2x）．
（2）2ax2-4ax+2a=2a（x2-2x+1）=2a（x-1）2.
18．（本题8分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
解：（1）
；
（2）
．
19．（本题8分）（1）填空：
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
（3）计算．
解：（1）；；；
故答案为：0，1，2；
（2）（为正整数），
证明：
；
（3）原式
．
20．（本题8分）把下列多项式分解因式：
（1）3a2﹣12ab+12b2
（2）m2（m﹣2）+4（2﹣m）
解：（1）3a2﹣12ab+12b2
=3（a2﹣4ab+4b2）
=3（a﹣2b）2；
（2）m2（m﹣2）+4（2﹣m）
=（m﹣2）（m2﹣4）
=（m﹣2）（m+2）（m﹣2）
=（m﹣2）2（m+2）．
21．（本题9分）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：
，，，，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为，，其中，且为整数．则．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解．
（1）解：根据小明的方法得到公式：（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1，
所以除1外，所有的正奇数都是智慧数，
∴设2k+1=11， 解得k=5，k+1=6，
∴5和6是11的智慧分解，
同理可得：7和8是15的智慧分解；
（2）证明：设k≥2，且k为整数，
∵（k+1）2-（k-1）2=（k+1+k-1）（k+1-k+1）=4k，k=2时，4k=8，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；
（3）解：由（1）、（2）可知： 除1外，所有的奇数都是智慧数；
除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
这样还剩被4除余2的数，采用题目中小颖的方法，
得到特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，
推广到一般式，
证明如下： ∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，
使得4k+2=m2-n2， ∴4k+2=2（2k+1）=（m+n）（m-n） ①，
∵m+n和m-n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，
其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵（2022-1）÷3=673 2，
∴第2022个智慧数在1+673+1=675（组），
并且是第三个数，即675×4-1=2699，是个奇数，
∴根据小明的方法可得： 2k+1=2699，解得k=1349，k+1=1350，
即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．
22．（本题9分）阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：等，都是连接数，其中，称为六位连接数，称为四位连接数．
(1)请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．
(2)是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
(3)若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？
（1）解：为六位连接数；
∵，
∴能被13整除；
故答案为：，能；
（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：
设为六位连接数．
∵==，
∴能被13整除；
（3）设为四位连接数，则
∴
∴==+．
∵的结果能被13整除，
∴是整数．
∵取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有
∴
满足条件的四位连接数的共7个．
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