2024-2025学年广东省佛山市高一上学期1月期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市高一上学期1月期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角正角为( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.函数的最小值和最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若关于的方程有两相异实根，，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且当时，，则是( )
A. 奇函数，在上单调递增 B. 奇函数，在上单调递减
C. 偶函数，在上单调递增 D. 偶函数，在上单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则( )
A. B. C. D.
10.某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去年的数据，对年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间单位：年，规定表示年初的函数关系为，则下列结论正确的是( )参考数据：．
A. 的图象关于点中心对称
B. 的图象关于直线对称
C. 年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足
D. 预计年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过
11.年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐某学校对名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演、顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动、广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：
参与情况 参与人数
参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演
参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动
参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动
至少参与了其中的一个活动
则下列说法正确的是( )
A. 三项活动都没有参与的人数为 B. 三项活动都参与的人数最多为
C. 恰好参与一个活动的人数最少为 D. 恰好参与两个活动的人数最多为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.若正数，满足，则的最小值为 ．
14.定义在上的函数满足，当时，，则 ，不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，或．
当时，求
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知．
求
若是第一象限角，求的值．
17.本小题分
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数．
求曲线的对称中心
判断在区间上的单调性，并用定义证明．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的零点个数
若有两个零点，，有两个零点，，求的取值范围．
19.本小题分
如图，有一块矩形空地，其中米，米，计划在图中的矩形内种植某种蔬菜，其中米，米，并过点修建一条笔直的小路宽度忽略不计，点在线段上含端点，点在线段上含端点，设米，米．
求的值
求面积的最小值，并求面积取得最小值时的值
在线段上取一点，过点作，，垂足分别为，，求矩形面积的最大值．
参考答案
1.
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4.
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13.
14.
15.解：当时，，或
；
，
，或．
当，即时，，此时；
当，即时，；此时应满足
解得，
；
综上，实数的取值范围是．
16.解：依题意得，
所以或，
显然，所以或．
，
．
因为是第一象限角，由知，
又，，所以．
所以原式．
17.解：设，
则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
且，所以为奇函数．
所以函数的对称中心为．
函数在上单调递减．
证明：，，且，
则
，
因为，，所以，，，，
又，所以，所以，即，
所以函数在上单调递减．
18.解：函数的零点即方程的根，
设，则函数的零点个数转化为方程根的个数．
显然在上单调递减，在上单调递增，故．
所以，当时，没有零点
当时，有个零点
当时，有个零点．
由知有两个零点则，同理有两个零点则，综合可得．
结合即，可知，，即，．
同理可求得，，
所以
，
当且仅当即取等号，
所以因此的取值范围为
19.解：因为，所以．
同理，由，得，
而，所以，即，
所以．
由可知，即，，
当且仅当，即，时等号成立．
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为平方米，面积取得最小值时的值为．
由题可知，矩形的面积取决于点的位置，连接并延长交于点，
连接并延长交于点，则点在和的内部及其边界上，
显然，只有当点位于线段和线段上时，矩形的面积才有可能取到最大值．
则，即，，即．
过点作于点，作于点，设，．
如图，当点在线段上时，由相似关系可得，即，
所以，
此时矩形的面积，
又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米．
如图，当点在线段上时，由相似关系可得，即，
所以，
此时矩形的面积，
又，所以当，时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米．
综上可知，矩形的面积最大值为平方米．
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