2024-2025学年北京市东城区景山学校高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东城区景山学校高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是( )
A. B. C. D.
2.过点且斜率为的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知两条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列四个结论：
存在点，使得；
存在点，使得平面；
的面积越来越小；
四面体的体积不变．
其中，所有正确的结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若向量，且，则 ．
12.如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
13.直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程 ．
14.动直线与一点当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ．
15.如图，棱长为的正方体中，为线段上动点包括端点给出下列四个结论；
三棱锥中，点到面的距离为定值
过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
直线与面所成角的正弦值的范围为
当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线，．
若坐标原点到直线的距离为，求的值；
当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程．
17.本小题分
已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为．
求点关于直线的对称点的坐标；
求第三个顶点的坐标．
18.本小题分
直线的方程为．
证明直线过定点；
已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程．
19.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
证明：平面平面；
棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为棱的中点．

求证：平面；
若，再从条件条件条件中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求：
直线与平面所成角的正弦值；
点到平面的距离．
条件：二面角的大小为；
条件：
条件：．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为，记为．
动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围；
动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值；
动点在函数的图象上，点，的最大值记为如，当点的坐标为时，求的最小值，并求此时点的坐标．
参考答案
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16.解：设原点到直线的距离为，
则，解得或；
由，解得，即与的交点为．
当直线过原点时，直线的方程为；
当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，
所以直线的方程为．
故满足条件的直线的方程为或．
17.设点关于直线的对称点的坐标为，
则有，解得，故点的坐标为
设，则有，解得，故点的坐标为．

18.解： 证明：由得，
令，得，所以直线过定点．
分别令，，得，，且，所以，
所以的面积，
设，则，
当且仅当即时取等号，此时，，
所以的面积最小时，的周长为，
此时直线的方程为
19.证明：取的中点，连接，
在正方形中，，并且
在中，，
所以，
因为平面，
所以平面
而平面，
所以平面平面；
解：存在点，当时，满足题意，理由如下：
因为两两垂直，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以平面的法向量为
假设存在满足题意的点，且，
则，
设平面的法向量为，
则有
不妨设，
得，
所以
两边平方，整理得，
解得或舍，
经检验，满足题意，
因此，存在点，只需即可．

20.

连接，交于，连接，
底面是正方形，故是的中点，
又因为为棱的中点，
所以，在中，
而平面平面，
所以平面．
选：
因为四边形是正方形，
所以，
又因为，所以，
因为二面角的大小为，平面平面，所以，
在中，，
所以，
故，
又因为平面，
所以平面，
选：
因为四边形是正方形，
所以，
又因为，所以，
因为二面角的大小为，平面平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为为中点，所以，
所以，
所以，即，
因为平面，
所以平面，
选：
因为四边形是正方形，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为为中点，所以，
在中，，
故，
因为平面，
所以平面，
选同上．
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
故，
令为面的一个法向量，则
令，则，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
由知点到平面的距离．


21.由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得
，，
当时，成立，解得；
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述点的横坐标的取值范围是；
设出动点，则，
又，所以，
当时，，
此时，
当时，，
此时
当时，，
此时
又
所以
综合得，当时取等号．
即的最小值为
设点，则，
若存在实数使得，则对任意成立，
取，有，取，有，
得，
所以
取，是上是偶函数，
当时，若，，
若，，当且仅当时取等．
所以存在实数且，使得最小值为，点

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