2024-2025学年山东省淄博市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省淄博市某校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.平面内点到，的距离之和是，则动点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
4.如图，，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
5.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知为坐标原点，椭圆：的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，焦距为，以为直径的圆与椭圆在第一和第三象限分别交于，两点，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则不因改变而变化的是( )
A. 焦距 B. 离心率 C. 顶点坐标 D. 渐近线方程
10.在一次歌唱比赛中，以下表格数据是位评委给甲、乙两名选手评出的成绩分数，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差
B. 甲选手成绩的第百分位数小于乙选手成绩的第百分位数
C. 从甲的次成绩中任取个，均大于甲的平均成绩的概率为
D. 从乙的次成绩中任取个，事件“至多个超过平均分”与事件“恰有个超过平均分”是对立事件
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的动点，则下列说法正确的有( )
A. 线段长度的最小值为
B. 满足的情况只有种
C. 无论，如何运动，直线都不可能与垂直
D. 三棱锥的体积大小只与点的位置有关，与点的位置无关
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点是圆：外的一点，则的取值范围是______．
13.短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则周长为_____________．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与相交于点，若，则离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，多面体中，平面，，，，，．
在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由；
当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
写出下列试验的样本空间：
随意安排甲、乙、丙、丁人在天节日中值班，每人值班天，记录值班的情况；
从一批产品次品和正品的个数均大于件中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况．
18.本小题分
已知椭圆：的焦距为，且经过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ点，是椭圆上的两个动点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
19.本小题分
已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为．
求的方程；
过点作一条直线，交于，两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为动点到点的距离比它到直线的距离小，
所以动点到点的距离比它到直线的距离相等，
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
则轨迹的方程为．
设，，
因为，两点均在轨迹上，
所以，
两式相减得，
即．
因为线段的中点坐标为，
所以，
可得直线的斜率，
则直线的方程为．
即．
16.解：存在的中点满足条件，
取线段的中点，连接，，
且，且，
，，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
由，解得，
以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题可知：，，，，
设平面的一个法向量为，
又，，
则，令，则，，
面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
又，
则，令，，，
平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，．
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：如图，
设甲、乙、丙、丁分别为，，，，
所以样本空间，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，．
设正品为，次品为，样本空间．
18.解：Ⅰ因为椭圆的焦距为，且经过点，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
又，
因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
所以，，
则直线的斜率．
故直线的斜率为定值，定值为
19.解：由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，
解得或舍去，
故抛物线的方程为．
假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方．
由得，抛物线的准线的方程为．
设直线的方程为，，，，
联立得，
所以，，．
因为，，
所以，解得或．
故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，其坐标为或．
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