2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2.两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为( )
A. B. C. D.
3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
4.下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
5.已知点是：上的动点，点，的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
6.冬奥会组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取人进行比拼，记事件“甲被选乙不被选上”，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，则下列结论错误的是( )
A. 点的轨迹方程为 B. 最大面积为
C. 直线斜率的取值范围是 D. 的取值范围是
8.已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
10.设，若，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.抛物线：上的点到直线：的最小距离为，直线经过的焦点，交于、两点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的公共弦的长为 ．
13.某名校为落实教育帮扶“深耕计划”，选派了名教师到，，三个县城学校进行教育帮扶指导每个学校至少派人，不同的安排方式共有______种用数字解答．
14.已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
直线经过两直线：和：的交点．
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若直线与圆相切，求直线的方程．
17.本小题分
已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，的右焦点到该渐近线的距离为．
求的方程；
若过的直线与的左、右支分别交于点，，与圆：交于与，不重合的，两点．
求直线斜率的取值范围；
求的取值范围．
18.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图，为的中点，是上的动点与点、不重合，是上的动点与点、不重合．
证明：平面；
若点在平面内，当最小时，求；
是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方，且的周长为将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后，在新图形中对应点记为，．
当时，
求证：；
求平面和平面所成角的余弦值；
是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：的展开式中，当时，，
因为，，，，，，
所以，
当时，，
所以；
根据题意，令，得，
由知，，
所以．
16.解：直线经过两直线：和：的交点，
联立两直线：和：，
解得，，即交点坐标为，
直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
若直线与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，
根据题意得：圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为：；
综上：直线的方程为或．
17.解：因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
即，
即，则，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
解得，，
所以的方程为：；
由知，，设，，
由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
与联立得：，
所以，，
且，，
又，两点在轴同一侧，所以，
此时，即，
又圆的方程为，点到直线的距离，
由得，
由，得，所以或；
即直线的斜率的范围为；
由及弦长公式，
由垂径定理得，
所以，
其中，设，，
则．
所以的取值范围是．
18.解：证明：，，平面，
，平面，因为平面，
，
，是中点，，
，，平面，面．
延长至点，使得，由可知，平面，又平面，
平面平面，，
，
当，且时，最小，
又，，
，
假设存在点满足题意，平面平面，，
平面平面，平面，平面，
如图所示建系，
，，，设，
设平面法向量为，
，即，取，
又平面的法向量为，
，，满足．
即此时为线段上靠近点的四等分点．
19.解：证明：由椭圆定义可知，，
所以的周长，所以，因为离心率为，故，解得，
则，由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆方程为，
当时，直线的方程为，即：，
联立得，解得或，
当时，，当时，，
因为点在轴上方，所以，，
故A，折叠后有，
因为二面角为直二面角，即平面，交线为，
平面，所以平面，
因为平面，所以；
以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
其中平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，故，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
设折叠前，，折叠后对应的，，
设直线方程为，将直线与椭圆方程联立得，
，
则，
在折叠前可知
，
折叠后，在空间直角坐标系中，
，
由，
，
故，
所以，
分子有理化得，
所以，
由得
因为
，
故，
即，
将，代入上式得：
，
两边平方后，整理得，
即，解得，
因为，所以．
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