2024-2025学年贵州省黔西南州金成实验学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省黔西南州金成实验学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点，，若，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.直线：被圆：截得的弦的长是( )
A. B. C. D.
4.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得( )
A. 石 B. 石 C. 石 D. 石
5.已知函数在处有极大值，则( )
A. 或 B. C. D. 或
6.在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是( )
A. B. C. D.
7.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
8.世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展．提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆上有且只有一
个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 为函数的单调递增区间
B. 为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
10.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上恒成立，则
11.某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：( )
A. 时，点的轨迹为椭圆不含与轴的交点
B. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
C. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
D. 时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线不含与轴的交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为 写出一个正确答案即可；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为 ．
13.已知函数的导函数为，且满足，则 ．
14.已知数列的前项和为，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线；
求函数在上的最大值与最小值．
16.本小题分
证明不等式：
，；
．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点．
Ⅰ求证：无论点在棱的任何位置，都有成立；
Ⅱ若为中点，求二面角的余弦值；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知双曲线：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
求双曲线的方程；
直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.
14.
15.解：函数的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
则线在点处的切线方程为；
由，
则在递减，在递增，
因此为极小值点，
又，，，
可得的最小值为，最大值为．
16.解：设，，则．
令，得．
当时，，从而在内单调递增；
当时，，从而在内单调递减．
所以当时，在区间上取最大值．
所以，所以，，．
设，则令，得．
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减．
所以当时，取最小值．
所以，所以．
17.解：设等差数列的首项为，公差为，
则解得
．
，，
，
，
，得
，
．

18.Ⅰ证明：因为底面，底面，所以．
又，，所以平面．
又，平面，所以无论点在棱的任何位置，都有成立．
Ⅱ解：由知、、两两垂直，建系如图，
，，，
，
设平面的法向量为
则，令，得，
又因为，，，
所以平面．
所以平面的法向量为，
因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
Ⅲ解：假设在棱上是否存在一点，使平面，设，，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，
因为平面，所以，
所以当，时，平面．
即当时，平面．
19.解：由题意可得：，，，
解得，，，
双曲线的方程为．
，
设直线的方程为，，，
联立，化为：，
，化为．
，，
，
的面积，即，
化为，
解得，，
直线的方程为．
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