2023-2024学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市怀柔区高一上学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. 且 D. 且
3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
6.下列区间中，一定存在函数零点的是( )
A. B. C. D.
7.甲乙两名同学次数学测验成绩百分制如茎叶图所示，则下列结论正确的是( )
A. 甲同学的平均分比乙同学高 B. 甲同学的成绩比乙同学稳定
C. 甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差 D. 甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大
8.设，，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件
9.若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是( )
A. B.
C. D.
10.设、是非空集合，定义：已知，，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.命题“，”的否定为 ．
12.从某校随机抽取名学生，获得了他们一周体育锻炼时间单位：小时的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于小时的概率是 ．
组号 分组 频数
合计
13.计算： ； ．
14.从下列三个条件中：
；
，都有；
，都有．
任选两个 作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式： ．
15.设函数
若，则函数的零点个数有 个
若函数有最小值，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合．
求集合；
当时，求；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求与的值；
做出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；
若函数有三个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是每次抽奖相互独立．
求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率；
求甲中奖的概率．
19.本小题分
某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本万元与年产量吨之间的关系式为，且当年产量是吨时，总成本为万元．平均成本．
求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
若企业每吨产品的出厂价为万元，当年利润不少于万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？利润销售额成本
20.本小题分
亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第届亚运会在杭州顺利举行，年月日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分分，现随机抽取了名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图．
求直方图中的值；
根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数；
若在成绩为，的两组人中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中任意抽取人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在的概率．
21.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断函数在单调性并用定义加以证明；
设函数，若对，都有成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.，
12.

13.

14.答案不唯一

15.

16.由题意可得，解得，
则集合；
当时，，
则，故；
由题意可得，则，
即实数的取值范围为．

17.．
作出函数的图象，如图所示：
由图象可知，函数的单调递增区间为，．
若函数有三个零点，则函数与的图象有三个交点，
由图象可知，即实数的取值范围为．

18.设事件表示“甲第一次没抽中，第二次抽中的概率”，
则．
设事件表示“甲中奖”，则事件表示“甲没中奖”，
则，
所以

19.当年产量是吨时，总成本为万元，
所以，解得，
所以，
所以生产每吨产品的平均成本为，
当且仅当，即，
所以当年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为万元；
由题意可知，年利润，
令，得，
解得：，
所以该生产线年产量的最小值应为吨．

20.根据题意知，面试成绩落在，，，内的频率分别为，，，，
则落在内的频率为，
所以．
根据题意，可估计样本数据的众数为，
根据得，面试成绩落在内的频率是，
落在的频率是，
故这组数据的中位数在内，设为，所以，
则，所以估计样本数据的中位数为．
成绩为，的两组人数比例为：，
由分层抽样等比性质知在抽取人为，，，，抽取人为，
所以，任意抽出人的情况为、，，，，，，，，共种情况，
成绩在的情况为：，，，，
则去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在的概率为．

21.由题意可得，解得
此时，，
由于，满足为上的奇函数，
所以；
函数在上单调递增，证明如下：
任取，
则，
因为，
所以即
所以，
即，所以，
所以函数在上单调递增；
由题意可得成立，
由可知在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，
又因为，开口向上，对称轴，
所以当时，
；
所以当时，则有，解得；
当时，则有，解得，不满足，故舍去；
综上，．

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