第一章 整式的乘除 能力提升测试题（含解析）

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第一章整式的乘除 能力提升测试题
考试范围：第一章整式的乘除；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：
①3a+2b＝5ab；②4m3n﹣5mn3＝﹣m3n；③3x3 （﹣2x2）＝﹣6x5；④4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a；⑤（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2；⑥（a3）2＝a5．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．﹣a2﹣ab＝﹣a（a﹣b）
C．（﹣2a）2÷（2a）﹣1＝8a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　）
A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3
4．一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形花园，若把这个花园的长增加10米，宽减少10米．则改变后的花园的面积（　　）
A．一定变小 B．一定变大 C．没有变化 D．可能没变化
5．已知多项式x﹣a与x2+2x﹣1的乘积中不含x2项，则常数a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
6．已知：M＝211×58，则M是（　　）位正整数．
A．10 B．9 C．8 D．5
7．已知4x＝18，8y＝3，则52x﹣6y的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
8．如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
9．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
10．（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）﹣1的个位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．已知m+n＝3，mn＝﹣1，则（1﹣m）（1﹣n）的值为 　 　．
12．已知2a＝8，2b＝10，2c＝80，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　 　．
13．若关于x的多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）除以5x，所得商恰好为2x+1，则a+b+c＝　 　．
14．已知（x+3）2﹣x＝1，则x的值可能是 　 　．
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）阅读下列各式：
（a×b）2＝（a×b）×（a×b）＝a×a×b×b＝a2×b2；
（a×b）3＝（a×b）×（a×b）×（a×b）＝a×a×a×b×b×b＝a3×b3
（a×b）4＝（a×b）×（ab）×（a×b）×（a×b）＝a×a×a×a×b×b×b×b＝a4×b4
………
回答下列问题：
（1）猜想：（a×b）n＝ 　 　；
（2）请利用上述方法，计算：．
17．（9分）先化简，再求值：
（1）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x．
（2）[（2a+b）（2a﹣b）﹣（a+b）2+b（2b﹣a）]÷3a，其中|a﹣3|+（b+2）2＝0．
18．（9分）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x+3），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx﹣6．
（1）求a，b的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
19．（9分）阅读探究：
①；
②；
③；
④；…
（1）根据上述规律，求⑤12+22+32+42+52的值；
（2）根据以上式子的规律，请写出第n个式子；
（3）利用你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122．
20．（9分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．
（1）剩余草坪的面积是多少平方米？
（2）当a＝8，b＝2时，剩余草坪的面积是多少平方米？
21．（10分）已知关于x的代数式中不含x项与x2项．
（1）求m，n的值；
（2）求代数式m2023n2024的值．
22．（10分）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ 　 　）＝a3+　 　；
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
23．（11分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值．
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2 6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1．
因为不论x取何值，（x﹣6）2总是非负数，即（x﹣6）2≥0．
所以（x﹣6）2+1≥1．
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+　 　＝（x﹣　 　）2．
（2）将x2+10x﹣2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+10x﹣2的最小值．
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C B A A D B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：①3a与2b不是同类项，不能合并，①错误；
②4m3n与5mn3不是同类项，不能合并，②错误；
③3x3 （﹣2x2）＝﹣6x5，③正确；
④4a3b÷（﹣2a2b）＝﹣2a，④正确；
⑤（﹣a）3÷（﹣a）＝（﹣a）2＝a2，⑤错误；
⑥（a3）2＝a6，⑥错误．
选：B．
2．解：A、a2 a4＝a2+4＝a6，A选项错误，不符合题意；
B、﹣a2﹣ab＝﹣a（a+b），B选项错误，不符合题意；
C、（﹣2a）2÷（2a）﹣1＝（2a）2﹣（﹣1）＝（2a）3＝8a3，C选项正确，符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，D选项错误，不符合题意；
选：C．
3．解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b，
∴a+1＝3b．
选：B．
4．解：（a+10）（b﹣10）﹣ab
＝ab﹣10a+10b﹣100﹣ab
＝10（b﹣a）﹣100，
∵a＞b＞100，
∴b﹣a＜0，
∴10（b﹣a）﹣100＜0，
∴改变后的花园的面积变小．
选：A．
5．解：（x﹣a）（x2+2x﹣1）
＝x3+2x2﹣x﹣ax2﹣2ax+a
＝x3+2x2﹣ax2﹣x﹣2ax+a
＝x3+（2﹣a）x2﹣x﹣2ax+a
令2﹣a＝0，
∴a＝2
选：C．
6．解：M＝211×58＝23×28×58＝8×（2×5）8＝8×108．
M是9位正整数．
选：B．
7．解：∵4x＝18，8y＝3，
∴22x＝18，23y＝3，
∴（23y）2＝32，
即26y＝9，
∴22x﹣6y，
∴2x﹣6y＝1，
∴52x﹣6y＝51＝5．
选：A．
8．解：由题意可得，图1中阴影部分面积为（a﹣b）2，
图2中阴影部分面积为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
选：A．
9．解：∵a＝8131＝3124，
b＝2741＝3123，
c＝961＝3122，
∴3122＜3123＜3124，
即c＜b＜a．
选：D．
10．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）﹣1
＝（22﹣1）（24+1）…（264+1）﹣1
＝（24﹣1）…（264+1）﹣1
＝2128﹣1﹣1
＝2128﹣2，
∵2n的个位数是以2、4、8、6循环，
∴128÷4＝32，
∴2128的个位数是6，
∴2128﹣2的个位数是6﹣2＝4，
选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：（1﹣m）（1﹣n）
＝1﹣m﹣n+mn
＝1﹣（m+n）+mn．
当m+n＝3，mn＝﹣1时，
原式＝1﹣3﹣1
＝﹣3．
答案为：﹣3．
12．解：∵8×10＝80，
∴2a 2b＝2c，
∴2a+b＝2c，
∴a+b＝c．
答案为：a+b＝c．
13．解：∵（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）＝（17﹣a）x2﹣（3+b）x+4﹣c，
5x（2x+1）＝10x2+5x，
∴17﹣a＝10，﹣（3+b）＝5，4﹣c＝0，
∴a＝7，b＝﹣8，c＝4，
∴a+b+c＝3．
答案为：3．
14．解：当x+3＝1时，
解得：x＝﹣2，
（x+3）2﹣x＝（﹣2+3）2﹣（﹣2）＝14＝1；
当x+3＝﹣1时，
解得：x＝﹣4，
（x+3）2﹣x＝（﹣4+3）6＝1；
当2﹣x＝0时，
解得：x＝2，
（x+3）2﹣x＝（2+3）0＝1；
综上所述，x的值可能是﹣2或﹣4或2．
答案为：﹣2或﹣4或2．
15．解：图1阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；图2中阴影部分是两个边长为b的正方形减去长为a，宽为b的长方形的面积，即：S2＝2b2﹣ab；
∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝82﹣3×10
＝34；
答案为：34．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）（a×b）n＝an×bn，
答案为：an×bn；
（2）
＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）
＝﹣1
．
17．解：（1）原式＝9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1
＝9x﹣5，
当x时，
原式＝9×（）﹣5
＝﹣3﹣5
＝﹣8；
（2）原式＝（4a2﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2+2b2﹣ab）÷3a
＝（3a2﹣3ab）÷3a
＝a﹣b，
∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴原式＝3﹣（﹣2）
＝5．
18．解：（1）∵（3x﹣a）（2x+3）＝6x2+bx﹣6，
∴6x2﹣2ax+9x﹣3a＝6x2+bx﹣6．
即6x2+（9﹣2a）x﹣3a＝6x2+bx﹣6．
∴﹣3a＝﹣6，b＝9﹣2a．
∴a＝2，b＝5．
（2）（3x+2）（2x+3）
＝6x2+4x+9x+6
＝6x2+13x+6．
19．解：（1）根据所给的4个算式的规律：12+22+32+42+5255；
（2）根据所给的算式总结得到规律：12+22+32+…+n2等于；
（3）原式＝（12+22+…+112+122）﹣（12+22+32+42+52）
＝650﹣55
＝595．
20．解：（1）由题意可得：
（3a﹣b﹣b）（a+2b﹣b）
＝（3a﹣2b）（a+b）
＝3a2+ab﹣2b2；
（2）当a＝8，b＝2时，
3a2+ab﹣2b2
＝3×82+8×2﹣2×22
＝192+16﹣8
＝200（平方米），
答：剩余草坪的面积是200平方米．
21．解：（1）
，
∵不含x项与x2项，
∴，
解得：；
（2）．
22．解：（1）（a+b）（ a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
答案为：a2﹣ab+b2，b3；
（2）（a+b）（ a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
＝（x+y）（x2﹣xy﹣y2）﹣（x3+8y3）
＝x3﹣x2y﹣xy2+x2y﹣xy2﹣y3﹣x3﹣8y3
＝﹣2xy2﹣9y3．
23．解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
答案为：9，3；
（2）x2+10x﹣2
＝x2+10x+25﹣25﹣2
＝（x+5）2﹣27，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2﹣27≥﹣27，
∴x2+10x﹣2的最小值为﹣27；
（3）S1＞S2，理由如下：
S1＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，
S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1﹣S2＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1≥1，
∴S1﹣S2≥1，
∴S1＞S2．
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