第03讲 等比数列及其前n项和
（9类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列 求直线与双曲线的交点坐标 向量夹角的坐标表示
2023年新Ⅱ卷，第8题,5分 等比数列前n项和的基本量计算等比数列前n和的性质及应用 无
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等比数列通项公式的基本量计算 等差数列通项公式的基本量计算 数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新Ⅱ卷，第12题,5分 求等比数列前n项和 数列新定义
2020年新I卷，第18题,12分 等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和 无
2020年新Ⅱ卷，第18题,12分 等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等比数列的概念
2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题
4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
等比数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示
数学表达式
通项公式
，，，
等比数列通项公式与函数关系
等比数列为指数型函数
等比中项
若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
等比数列通项公式的性质
（1）若或
（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前n项和
等比数列前n项和与函数关系
等比数列前项和公式是指数型函数
等比数列前n项和的性质
（1），，……仍成等比数列
（2）
证明数列为等比数列的方法
（1）（为常数）为等比数列
（2）若,则，，三个数成等比数列
考点一、等比数列项、公比及通项公式的求解
1．（2024·山东青岛·一模）等比数列中，，，则（ ）
A．32 B．24 C．20 D．16
【答案】A
【分析】利用已知求出首项和公比,再求.
【详解】由题得
所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两个等式，结合方程的思想，全部转化为关于的方程，解方程组可得.
【详解】设数列的公比为，由得，所以，
又因为各项均为正数， 所以，
由得，所以，
故，
故选：A.
4．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
2．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，．
(1)求的通项公式：
(2)记为的前n项和，若，求m．
【答案】(1)或．
(2)．
【分析】（1）由条件求出公比，即可求解通项公式；
（2）根据（1）的结果，代入等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】（1）等比数列中，，．
，解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，或．
（2）记为的前n项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得．
3．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可；
（2）是严格增数列，利用恒成立即可求解.
【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2，
若，，则与矛盾，舍去，
若，，则，，满足题意，
所以．
（2）因为，是严格增数列，
所以对于任意正整数n都成立，
，
即对于任意正整数n都成立，所以，
因为在上严格递减，
所以当时，最大，最大值为，
所以的取值范围是.
考点二、等比中项的应用
1．（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= .
【答案】
【分析】根据等差数列的公差计算求出，再根据等比中项求出即可.
【详解】实数成等差数列，则等差数列的公差为，
成等比数列，则，
由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则.
故答案为：.
2．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据等比中项的定义得出；再根据等差数列的通项公式得出，化简即可解答.
【详解】因为是与的等比中项，
所以.
又因为数列为等差数列，公差为，
所以，化简得，即，
所以.
故选：A.
3．（2024·广东茂名·模拟预测）在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 .
【答案】165
【分析】由等比和等差数列的性质求出公差，再由前项和公式求出结果即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意得，即，
因公差大于零，解得，（舍），
所以，
故答案为：165.
1．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质可得，可求结论.
【详解】由各项为正数的等比数列，且，
可得，所以.
故选：B.
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
【答案】D
【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得.
【详解】由成等比数列，得，
所以，解得，
所以.
故选：D
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【答案】D
【分析】由等比中项性质求得，由等差中项性质得，根据等比数列通项公式基本量运算求得，进而求解即可.
【详解】由等比中项性质知.
由成等差数列，得，所以，
所以等比数列的公比，所以，
所以.
故选：D.
考点三、等比数列的性质
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果；
【详解】若，是的两个根，则，
因为数列是等比数列，，.
故选：C.
2．（广东·高考真题）若等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】.
【详解】由得，
所以
【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
3．（全国·高考真题）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质，设，，，
则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案
【详解】设，，，
则A，B，C成等比数列，公比为，且,
由条件得，
所以，所以，所以.
故选：B
4．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A． B．7 C．6 D．
【答案】A
【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
2．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质求，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，，即，得，
.
故选：C
3．（2024·四川成都·模拟预测）设数列是等比数列，且，则 .
【答案】64
【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解.
【详解】设公比为，
由可得，故，
所以，
故答案为：64
考点四、等比数列前n项和的求解
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】设公比为，推导出，即可求出的值.
【详解】设公比为，
当时，不符合题意；
当时，
又，
所以，解得.
故选：B
3．（全国·高考真题）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
2．（2024·江西南昌·三模）已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设等比数列公比为，由已知条件得，解得，再使用等比数列的通项公式及数列求和公式求解即可.
【详解】由题意，设等比数列公比为，
则，解得或，
由因为数列为单调递减的等比数列，
所以，
所以，
.
故选：AD.
3．（全国·高考真题）已知数列为等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前n项和，证明．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】(1)结合已知条件求出公比，进而可得到答案；(2)结合(1)中结论求出，然后结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）因为，，
所以由等比数列性质可知，，即，
故，
从而数列的通项公式为.
（2）由(1)中结论可知，，
则，
故，
由基本不等式可知，，
即，
所以，
考点五、等比数列前n项和的性质
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
2．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】∵为等比数列的前n项和，，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得.
【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，
则，
由，得，整理得，
由等比数列的公比小于1，得，解得，
所以.
故选：B
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案.
【详解】法一：因为等比数列的公比为，
则，，
所以，解得.
法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，
所以，即，解得..
故选：C
1．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【分析】根据题意，由等比数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为为等比数列，所以成等比数列，
即成等比数列，可得，所以.
故选：C
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.
【详解】因为，且，
所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比数列性质可知，成等比数列，公比为
所以，解得，
故选：A
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.
故选：C.
考点六、等比数列通项公式与前n项和的关系
1．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 .
【答案】
【分析】根据已知和求通项及等比数列通项公式可得结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，，因为为等比数列，所以，
即，解得或0（舍去），
所以，，公比，所以.
故答案为：.
2．（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知，
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值.
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）利用数列的通项与前n项和的关系求解；
（2）利用（1）的结论得到求解.
【详解】（1）解：当时，；
当时，由，
得，
两式相减得，即，
又，且，
所以是等比数列，
所以；
（2）由（1）知：，
则数列的前n项和为，
所以不等式，即为，
即，所以，
所以使得成立的n的最小值为11.
3．（23-24高三上·广东潮州·期末）公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据作差求出，即可求出公比与参数的值；
（2）由（1）可得，则，利用等差数列求和公式求出，从而得到，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1），
当时，；
当时，，
所以，
所以，
，，
又数列为等比数列，则，
又，
，解得；
（2）由（1）可得，
所以，
，
当时，，
．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
1．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，则“为等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先考查充分性：利用，验证即可，再考查必要性，当时，满足条件，但不是等比数列，即可判断.
【详解】若是等比数列，
则，
，
所以，
即．
若，
令满足条件，但不是等比数列．
所以是充分不必要条件．
故选：A．
2．（浙江·高考真题）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）求数列{||}的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意得，则
又当时，由，
得.
又,
所以，数列的通项公式为.
（Ⅱ）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，满足上式，
所以，
【考点】等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
3．（山东·高考真题）设数列的前n项和为.已知.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）利用数列前项和与通项的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，，故
当时，此时，即
所以，
（Ⅱ）因为，所以，
当时，
所以，
当时，
，
所以，两式相减，得
所以，
经检验，时也适合，
综上可得：.
【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的情况，属于中档题.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式；
（2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
【详解】（1）因为，故，故，
而为等比数列，故其公比为，
又，故，故，
故.
（2）由题设可得，
若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列，
则，因为等差数列，
故即，故，
故即，这样不同矛盾，
故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.
考点七、等比数列的函数特性与最值
1．（北京·高考真题）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.
考点：等比数列
2．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.
【详解】不妨设，则，满足，
但是严格减数列，充分性不成立，
当时，是严格增数列，但，必要性不成立，
故甲是乙的既非充分又非必要条件.
故选：D
3．（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，有，
由函数单调递增，且，可得.
有，由数列单调递减，
所以取得最大值时的值为9，
故选：B.
4．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.
【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；
，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；
，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列有最大值，也有最小值；
，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
5．（23-24高三上·江西·期中）（多选）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
【答案】BC
【分析】由，，可得，，结合分析可得，，，则为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.，根据单调递减和，可知为的最大项，则选项C正确，选项D错误.
【详解】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】由等比数列的通项公式可得，，
当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；
当是递减数列，可得或，故必要性不满足；
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据数列的单调性即可求解，即可根据选项逐一求解.
【详解】根据题意，在时取得最小值，所以为单调递增数列，所以，所以A正确，B错误；
当时，，满足题意，所以C错误；
由可得，即，所以，所以D正确．
故选：AD．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据求出、、，由等比中项有，进而求得，得到等比数列的首项、公比、通项公式，再结合的单调性，即可求出最大时的值.
【详解】，，，
因为是等比数列，所以，有，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列是递减数列，，，
所以时，最大.
故答案为：.
4．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列，
因此有，，
所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
考点八、等比数列中的数学文化
1．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
【答案】A
【分析】由等比数列的性质求解，
【详解】设为公比为的等比数列，则，
解得，则，
故选：A
2．（北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
3．（2023·江苏·模拟预测）（多选）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．白银比为
【答案】ACD
【分析】由递推公式得出，即可判断A；计算，，，由等比数列的定义即可判断B；设数列是公比为是等比数列，求出和的值，得出，即可判断C；由通项公式得出，化简后根据白银比的定义，求出白银比即可判断D．
【详解】对于A：因为，，，，，，，，故A正确；
对于B：因为，，，故B错误；
对于C：设数列是公比为是等比数列，则，
所以，所以，
所以或；
当时，，
当时，，
解得，故C正确；
对于D：因为
，
因为，
所以当时，，，故D正确，
故选：ACD．
1．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数.
【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，，解得，
所以，此人后三天所走的里程数为.
故选：D.
2．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算．
【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
3．（2023·全国·模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】依题意，，.
因为，，所以.
故数列是以14为首项，7为公比的等比数列.
故，，
而，故.
故，，
选项A：.判断错误；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：C.
考点九、等比数列的证明
1．（全国·高考真题）数列的前n项和记为，已知，（），求证：
（1）数列是等比数列；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列.
（2）由（1）求得，由此结合已知条件化简得到.
【详解】（1）∵，，∴．
即，∴．
故是以2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
∴．
又，．
∴对于任意正整数n，都有．
【点睛】数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的推理往往是由多个“三段论”构成的．“如果，，则”这种推理规则叫做三段论推理．在演绎推理中，只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正确的，结论必定是正确的，否则所得的结论是错误的．
2．（四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知．
(1)证明：当时，是等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析.
(2)当时，;当时.
【分析】（1）当 时，由题设条件知 ,由此可知 ，即可证明结论．
（2）当时，由题设条件结合（1）可求得；当时，则，当时，由题设推出 ，求得，综合可得出的通项公式．
【详解】（1）当时，由题意知，
令，则 ，解得 ，
且，，
两式相减得，
于是，
又 ，所以是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）当时，由（1）知，即,
当时，则，
当且时，由得，
两式相减得，即，
故
，
因此 ，
令 ，则即，
即为首项为，公比为b的等比数列，
故 ，
则,时，适合上式，
故.
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在，，
【分析】（1）由已知可得，可得是首项为、公比为－1的等比数列，可求通项公式；
（2）假设成立，由（1）可得，化简可得存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立.
【详解】（1）由，得，
所以， 又，
故，由递推公式可得,
所以，
所以是首项为、公比为－1的等比数列.
故，即；
（2）由（1）可得，所以
，
假设成立，
则，
化简得.
可知当为正偶数，即时，（*）式对任意的正整数总成立.
因此，存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立.
4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，若是递增数列，求实数的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用及已知条件得到递推式，然后证明并验证首项非零即可；
（2）求出，并将命题转化为恒成立，然后取即得到，再证明时不等式恒成立.
【详解】（1）由知，得.
由已知有，
故，得.
而，故数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）根据（1）的结论有，即.
那么就有.
命题等价于恒成立，即.
此即，化简得到.
从而要求的取值范围使得恒成立.
一方面，对该不等式取可得到，即；
另一方面，若，则，，
故我们恒有，即.
所以的取值范围是.
5．（22-23高三上·浙江宁波·期末）已知正项数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)，证明：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得，得到是以为公比的等比数列，求出通项公式；
（2）求出，利用裂项相消法即可求证.
【详解】（1）由，，
得，又，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）证明：因为
，
所以
.
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可.
【详解】（1）由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比中项的性质求解即可.
【详解】由等比数列的性质，得，所以.
故选:B.
2．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可.
【详解】若等比数列的公比为，
因为，
则，矛盾，故
设等比数列公比为，则，
即等比数列的前项和要满足，
又因为，所以.
故选：B
二、多选题
3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD.
【详解】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
三、填空题
4．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 .
【答案】255
【分析】根据题意结合通项公式求，进而结合等比数列求和公式运算求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
所以.
故答案为：255.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 .
【答案】
【分析】数列公比为，则，则由题意可得，解出公比，从而可求出.
【详解】设数列公比为，则，
成等差数列，，
即，整理得，
解得，或（舍去），
∴
故答案为：
四、解答题
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的基本量计算即可求解；
（2）裂项相消法求得，再利用数列单调性即可求解.
【详解】（1）设数列的公比为，
由成等差数列可得，故，解得，
由可得，解得，
故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故，
又因为为递增数列，则，又当时，
所以，故.
7．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式；
（2）利用错位相减法可得数列的前n项和．
【详解】（1）设数列的公比为，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
两式相减得，
∴．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
9．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.
【详解】（1）由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
10．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据等比数列的定义，可先列出等比数列前三项，结合等比中项建立方程求解公比即可；
（2）由等比数列求和公式求得，然后结合裂项相消计算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
结合，得数列的前三项分别为，
由题意，得，
所以，
解得或，
因为数列是单调递增的，所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
故
，
故数列的前项和.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】先利用分类讨论思想结合指数函数的单调性证明充分性，再举反例证明不必要性，即可判断.
【详解】当时，，因为，所以此时数列递增，存在是最小项，
当且，，
当，时，可知数列递增，存在是最小项，
当，时，可知数列还是递增，存在是最小项，
综上“”是“数列存在最小项”的充分条件；
当，，不妨取：，，
则
，,
当时，，即此时是最小项，
即“”不是“数列存在最小项”的必要条件，
综上可知：“”是“数列存在最小项”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由题意可得，则可推出，所以数列是等比数列，即可求得答案.
【详解】依题意，（），，
当时，
，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
二、多选题
3．（2024·江西·模拟预测）已知是等比数列的前5项中的其中3项，且，则的前7项和可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据等比数列分析可知：且或8，分或，结合等比数列通项公式分析求解，再结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为等比数列中所有奇数项同号，所有偶数项同号，
结合已知可知，其中2，8这两项的奇偶性相同，
又因为，可知或8，则有：
若，，则，解得，符合题意，
所以的前7项和为；
若，，则，解得，此时，符合题意，
所以的前7项和为；
综上所述：的前7项和为或．
故选：AB．
三、填空题
4．（2024·北京·三模）已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ．
【答案】（答案不唯一，（，））
【分析】根据给定条件，可得，公比，再写出数列的一个通项公式即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，
显然，即，于是，解得，
，满足，，
取，.
故答案为：
5．（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ．
【答案】
【分析】设无穷等比数列的公比为，的前项和为，根据所给条件求出、，即可求出，再取极限即可.
【详解】设无穷等比数列的公比为，的前项和为，
则，解得或，
当时，解得，
所以，
所以；
当时，解得，
所以，
所以；
综上可得的各项和为.
故答案为：
四、解答题
6．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由及，
得，
解得，于是，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
7．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造等比数列数列即可求得通项公式；
（2）代入（1）中的通项公式可得，再根据，结合累加求和证明即可.
【详解】（1）由可得，则，即，
故是以为首项，为公比的等比数列.
故，则，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
综上有，即得证.
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助与的关系可消去，得到，借助将其转换为后结合等比数列定义即可得证；
（2）借助错位相减法计算即可得.
【详解】（1），即，
即，则，即，
即，又，
故数列是以为首项、以为公比的等比数列.
（2）由（1）易得，即，则，
则，
有，
则
，
故.
9．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
【答案】(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）等比数列满足，，所以单调递增，
设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
10．（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，成等差数列可得：，利用两边同时除以，即可构造为，所以第一问就可以得证并计算通项；
（2）关键是对通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到和，最后就能证明不等式成立.
【详解】（1）由，，成等差数列可得：，
因为，可得，所以两边同时除以得：，
上式可化为：
所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列
所以，即
（2）因为
所以
又因为
所以，
（当n＝1时等号成立），
综上可知：.
1．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.
【详解】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故选：C.
3．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
4．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
5．（2020·全国·高考真题）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
6．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：
.
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
7．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
8．（2020·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式.
（2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和.
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
［方法三］：
由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，．
所以
．
所以数列的前100项和．
【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．
9．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
10．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【分析】（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.
（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.
所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依题意设，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 等比数列及其前n项和
（9类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列 求直线与双曲线的交点坐标 向量夹角的坐标表示
2023年新Ⅱ卷，第8题,5分 等比数列前n项和的基本量计算等比数列前n和的性质及应用 无
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等比数列通项公式的基本量计算 等差数列通项公式的基本量计算 数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新Ⅱ卷，第12题,5分 求等比数列前n项和 数列新定义
2020年新I卷，第18题,12分 等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和 无
2020年新Ⅱ卷，第18题,12分 等比数列通项公式的基本量计算求等比数列前n项和 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等比数列的概念
2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题
4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
等比数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，用表示
数学表达式
通项公式
，，，
等比数列通项公式与函数关系
等比数列为指数型函数
等比中项
若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项
等比数列通项公式的性质
（1）若或
（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列
等比数列前n项和
等比数列前n项和与函数关系
等比数列前项和公式是指数型函数
等比数列前n项和的性质
（1），，……仍成等比数列
（2）
证明数列为等比数列的方法
（1）（为常数）为等比数列
（2）若,则，，三个数成等比数列
考点一、等比数列项、公比及通项公式的求解
1．（2024·山东青岛·一模）等比数列中，，，则（ ）
A．32 B．24 C．20 D．16
2．（2022·全国·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
2．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，．
(1)求的通项公式：
(2)记为的前n项和，若，求m．
3．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围．
考点二、等比中项的应用
1．（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= .
2．（2024·江西九江·三模）已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东茂名·模拟预测）在公差为正数的等差数列中，若，，，成等比数列，则数列的前10项和为 .
1．（2024·广东江门·一模）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
考点三、等比数列的性质
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（广东·高考真题）若等比数列的各项均为正数，且，则 .
3．（全国·高考真题）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A． B．7 C．6 D．
1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
2．（2024·北京朝阳·一模）已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．9 B．16 C．21 D．25
3．（2024·四川成都·模拟预测）设数列是等比数列，且，则 .
考点四、等比数列前项和的求解
1．（2023·全国·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
3．（全国·高考真题）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
2．（2024·江西南昌·三模）已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（全国·高考真题）已知数列为等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前n项和，证明．
考点五、等比数列前项和的性质
1．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
1．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
考点六、等比数列通项公式与前项和的关系
1．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 .
2．（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知，
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值.
3．（23-24高三上·广东潮州·期末）公比为的等比数列的前项和．
(1)求与的值；
(2)若，记数列的前项和为，求证：．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
1．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，则“为等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（浙江·高考真题）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）求数列{||}的前项和.
3．（山东·高考真题）设数列的前n项和为.已知.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求的前n项和.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
考点七、等比数列的函数特性与最值
1．（北京·高考真题）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（2023·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24高三上·江西·期中）（多选）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列 B．
C．为的最大项 D．无最大项
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
4．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点八、等比数列中的数学文化
1．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（ ）
A．7里 B．14里 C．21里 D．112里
2．（北京·高考真题）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
3．（2023·江苏·模拟预测）（多选）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．白银比为
1．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
3．（2023·全国·模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点九、等比数列的证明
1．（全国·高考真题）数列的前n项和记为，已知，（），求证：
（1）数列是等比数列；
（2）．
2．（四川·高考真题）设数列的前n项和为，已知．
(1)证明：当时，是等比数列；
(2)求的通项公式．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，若是递增数列，求实数的范围.
5．（22-23高三上·浙江宁波·期末）已知正项数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)，证明：.
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知为等比数列的前项积，若，且（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．
三、填空题
4．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 .
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 .
四、解答题
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求的取值范围．
7．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
8．（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
9．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
10．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
一、单选题
1．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
3．（2024·江西·模拟预测）已知是等比数列的前5项中的其中3项，且，则的前7项和可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（2024·北京·三模）已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ．
5．（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ．
四、解答题
6．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
7．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前n项和，证明：.
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
9．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
10．（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：.
1．（2024·天津·高考真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．
(1)求数列前项和；
(2)设，．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
4．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
5．（2020·全国·高考真题）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
6．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
7．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．
8．（2020·山东·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
6．9．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
10．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
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