专题2.4 指数与指数函数【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 指数幂的运算】 2
【题型2 指数方程与指数不等式】 2
【题型3 指数函数的图象与性质】 2
【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 3
【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 3
【题型6 指数函数的综合问题】 4
1、指数与指数函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.
【知识点1 指数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【题型2 指数方程与指数不等式】
【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ．
【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ．
【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集是 ．
【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知和是方程的两根，则 .
【题型3 指数函数的图象与性质】
【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】
【例4】（2024·云南·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 指数函数的综合问题】
【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数．
(1)当时，不等式总成立，求a的取值范围；
(2)试求函数（）在的最大值．
【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数.
(1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围.
【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的解析式；
(3)若存在，满足，求的取值范围．
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
6．（2023·吉林·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．是有理数 B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在实数集单调递减
C． D．或
三、填空题
12．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 .
13．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ．
14．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）计算：
(1)；
(2)
16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
17．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
19．（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
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【新高考专用】
【题型1 指数幂的运算】 2
【题型2 指数方程与指数不等式】 3
【题型3 指数函数的图象与性质】 4
【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 6
【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 7
【题型6 指数函数的综合问题】 9
1、指数与指数函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.
【知识点1 指数运算的解题策略】
1．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1 指数幂的运算】
【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（ ）
A．5 B． C． D．
【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可.
【解答过程】，
故选：A.
【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【解答过程】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解题思路】
给平方后再开方求解即可.
【解答过程】，所以.
故选：A.
【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【解答过程】.
故选：C.
【题型2 指数方程与指数不等式】
【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ．
【解题思路】由可得出，结合可求得的值.
【解答过程】由可得，即，
因为，可得，故.
所以，方程关于的方程的解为.
故答案为：.
【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为求解即可.
【解答过程】原不等式可化为
因为函数单调递减，
∴，解得．
∴不等式的解集是．
故答案为：.
【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集是 ．
【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为求解即可.
【解答过程】由，得，
因为函数单调递增，
∴，即，解得．
∴不等式的解集是．
故答案为：.
【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知和是方程的两根，则 .
【解题思路】由题知，，进而得，再结合求解即可.
【解答过程】解：方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案为：.
【题型3 指数函数的图象与性质】
【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【解答过程】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，
所以函数的值域为，故B正确；
，，
所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：C.
【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【解答过程】令，则，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数的单调递减区间，
又函数，
即函数为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数的单调递减区间为和，
即的单调递减区间为和．
故选：C．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.
【解答过程】由对称中心性质可知函数满足，
即，
整理可得，即，
解得.
故选：C.
【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【解答过程】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：A.
【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】
【例4】（2024·云南·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据中间数比较与，根据中间数比较与.
【解答过程】因为，，
所以，因为，，
所以，所以.
故选：D.
【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【解答过程】因为指数函数是单调减函数，所以，
又由幂函数在上单调增函数，所以，
又因为指数函数是单调增函数，所以，
综上可得：，
故选：D.
【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D.
【解答过程】对于A，B，a，，，则,一定成立；
对于C，取，满足，则，
当时，，故C中不等式不一定成立；
对于D，由，由于在R上单调递增，则成立，
故选：C.
【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【解题思路】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【解答过程】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C.
【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】设，，则，所以为奇函数．
又，
则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，
所以图象的对称中心为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以，所以，解得，
故满足的的取值范围为．
故选：B.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【解答过程】由解析式易知：单调递增，
当时，恒成立，则，得．
故选：B．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据奇偶性定义判断出为偶函数，再根据上的单调性得到参数的取值范围.
【解答过程】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数．
当时，函数，单调递减．
若成立，则，解得或．
又，所以正实数的取值范围是．
故选：A．
【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【解答过程】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A.
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，
对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.
故选A．
【题型6 指数函数的综合问题】
【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式；
（2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为是偶函数，所以，解得，
当时，可得，可得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
即，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数．
(1)当时，不等式总成立，求a的取值范围；
(2)试求函数（）在的最大值．
【解题思路】（1）根据函数单调性得到，恒成立，结合函数开口方向，得到不等式组，求出答案；
（2）换元后得到，，分，，和分类讨论，得到函数最大值，求出.
【解答过程】（1）函数在定义域R上单调递增，
不等式，
依题意，，恒成立，
由于开口向上，故只需，无解，
所以的取值集合是．
（2）函数，，
令，，，
当时，函数在上单调递增，；
当时，，，
当，即时，开口向上，函数在上单调递增，
所以；
当即时，开口向下，；
当即时，开口向下，函数在上单调递增，
．
综上.
【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数.
(1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）；
(2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论；
（2）利用奇函数定义可求得，经验证满足题意；
（3）将不等式转化成在恒成立，再利用基本不等式即可得出.
【解答过程】（1）由指数函数单调性可知单调递增，
对分类讨论如下：
①当时，为常函数；
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递减
③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递增
（2）易知函数的定义域为，
是奇函数，，
即，
所以，
经验证时，满足，
所以与的关系式为.
（3）由已知得，
整理可得：在恒成立，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的解析式；
(3)若存在，满足，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求得的值；
（2）根据奇函数的定义求解析式；
（3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围.
【解答过程】（1）∵，是奇函数，
∴，则；
（2）当时，，，又是奇函数，则，
当时，，，又是奇函数，则，
因为是定义在R上的奇函数，则，
故；
（3）若，则由，有，且，从而有，
若，则由，有，而，所以等式不成立；
若，则由，有，即，且，从而有，
综上：的取值范围为.
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【解答过程】．
故选：A．
2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【解答过程】A选项，且，故，A错误；
B选项，且，故，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，且，故，D正确.
故选：D.
3．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】解：因为，
所以.
故选：D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项.
【解答过程】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误;
对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误;
对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误;
利用排除法可以得到，在满足题意，A正确.
故选：A.
5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（）
A．或3 B．或2 C．3 D．2
【解题思路】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可．
【解答过程】因为是奇函数，所以，所以．
即，则，解得，
经检验符合题意，所以，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以， ，整理得，
解得或(舍去)，所以；
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，，整理得，
解得或(舍去)，所以，
综上，或3．
故选：A．
6．（2023·吉林·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【解答过程】由单调递减可知：，即；
由单调递增可知：，即
所以.
故选：D.
7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）
A．是有理数 B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数
【解题思路】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.
【解答过程】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误.
故选：C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】先通过求出的关系，再根据函数的最小值为1可求出，代入，直接解不等即可.
【解答过程】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即恒成立，
即 恒成立，
即恒成立，
所以，即，
所以，
又因为函数有最小值为1，
所以且，即，
所以，即，
所以，所以不等式，
即，即，
解得或，
故选：D．
二、多选题
9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案.
【解答过程】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【解答过程】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD.
11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在实数集单调递减
C． D．或
【解题思路】
根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【解答过程】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在上均为增函数，
故在上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
三、填空题
12．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 .
【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【解答过程】
故答案为：.
13．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ．
【解题思路】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案.
【解答过程】由题意得在上有意义，故在上恒成立，
故，
当时，，而，满足，符合题意，
当时，，在上恒成立，
令，，
其中在上单调递减，
故，
故，
综上，t的取值范围是，
故答案为：.
14．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .
【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，即可得到，则不等式，即，再根据指数函数的性质得到，解得即可.
【解答过程】因为是定义在上的偶函数，且当时，，
设，则，所以，又，所以 ，
所以，则，
所以不等式，即，即，即，
即，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）计算：
(1)；
(2)
【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【解答过程】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
.
16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【解题思路】（1）利用指数的运算法则计算即可.
（2）根据完全平方式计算即可求出.
【解答过程】解：
（1）
；
（2），所以
.
17．（2024·上海黄浦·二模）设，函数.
(1)求的值，使得为奇函数；
(2)若，求满足的实数的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案；
（2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）由为奇函数，可知，
即，解得，
当时，对一切非零实数恒成立，
故时，为奇函数.
（2）由，可得，解得，
所以
解得：，所以满足的实数的取值范围是.
18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；
（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
【解答过程】（1）当时，在上单调递增，
∴当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
∴的取值范围是.
（2）当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令（当时取等号），则，
∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，
∴.
19．（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可；
（2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；
（3）将题意转化为方程有两个不相等的正根，
【解答过程】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得，
当时，， ，符合函数为奇函数，可知符合题意．
设，有
，
由，有，有，故函数在上单调递增；
（2）由
．
（1）当时，不等式为恒成立，符合题意；
（2）当时，有，解得，
由上知实数的取值范围为；
（3）由，方程可化为，
若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，
故有，即解得．
故实数的取值范围为．
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