九年级数学上册试题 第26章第一节 二次函数的概念-沪教版（含解析）

第26章第一节 二次函数的概念
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系．
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
4．若函数是关于x的二次函数，则（ ）
A． B．3 C．3或 D．2
5．函数 (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（ ）．
A．或 B． C．且 D．
6．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．设y=y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
9．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．-11 B．-2 C．1 D．-5
10．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
二、填空题
11．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
12．已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
13．已知函数为二次函数，则的值为 ．
14．已知抛物线的图象经过，，则此抛物线的顶点坐标是 ．
15．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．
（1）当m 时，该函数为二次函数；
（2）当m 时，该函数为一次函数．
16．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为 ．
17．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
则抛物线的解析式是 ．
18．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
三、解答题
19．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)； (2) ； (3) ；
(4) ； (5)； (6) (为常数)．
20．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．
（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？
（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？
21．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？
．
22．已知函数（是常数），当满足什么条件时，
(1)它是二次函数？
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
23．求分别满足下列条件的二次函数解析式：
(1)二次函数图像经过三点．
(2)二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．
24．一个二次函数．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？
25．如图2所示，有一根长60cm的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．

26．关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？
27．原来公园有一个半径为 1 m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 .
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当半径增大到多少时面积增大1倍；
(3)试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.
28．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)

（1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)；
（2）若市场上草皮的单价为元米2，当时，求购买草皮需多少元？
29．证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．
【解析】解：A、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意；
故选D．
2．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【解析】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数 ，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【解析】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：，是二次函数，符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【解析】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选A．
5．B
【分析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案．
【解析】由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足 (a，b，c为常数，且)的函数叫做二次函数；
故选：B．
6．B
【分析】将代入解析式，求出值，再将代入解析式，求出值即可．
【解析】解：将代入函数解析式，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
故选：B．
7．A
【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式
【解析】解：设
把，，分别代入得
，
解得，
∴该函数的解析式是：，
故选：A
8．C
【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．
【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
9．D
【分析】由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．
【解析】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称，
则错误应出现在x=-2或x=2时，
故函数的顶点坐标为（0，1），
y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，
故a=-3，
故y=-3x2+1，
当x=±2时，y=4a+1=-11，
故错误的数值为-5，
故选D．
10．B
【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案
【解析】由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
二、填空题
11．②④
【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【解析】解：①y=5x-5为一次函数；
②y=3x2-1为二次函数；
③y=4x3-3x2自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2-2x+1为二次函数；
⑤y=函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
12．
【分析】根据函数图象经过原点，把代入函数表达式，即可求出m的值，再根据二次函数的定义，排除不符合题意的m的值即可．
【解析】解：把代入得：，
解得：，
∵为二次函数，
∴，即，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案．
【解析】解：依题意，得
解得
故答案为
14．
【分析】利用待定系数法求解析式，再将其化为顶点式，即可求解．
【解析】∵抛物线的图象经过，，
，
解得：
∴，
∴抛物线的顶点坐标为
故答案为：
15． ≠2 =2
【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；
【解析】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2．
（ 2 ）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数，
∴m﹣2=0，m≠0，
∴m=2．
故答案为：（1）≠2；（2）=2
16．
【分析】利用待定系数法求解函数解析式．
【解析】解：依题意，设函数解析式为
∵当自变量时，函数值
∴，解得
∴函数的解析式为
故答案为：．
17．
【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【解析】根据题意，得：
将代入到，得：
∴
∴
故答案为：．
18．
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【解析】解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）不是二次函数，是一次函数；
（2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0；
（3）不是二次函数；
（4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；
（5）时，不是二次函数；
（6）时，不是二次函数．
20．解：（1）
；
（2）．
21．解：是关于的二次函数；
不是二次函数；
是一次函数，不是二次函数；
是关于的二次函数，
故和是二次函数．
22．（1）解：由二次函数的定义可得，；
（2）由一次函数的定义可得，且；
（3）根据正比例函数的定义可得，，，．
23．（1）解：设二次函数的解析式为，将代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）设二次函数的解析式为，将点代入得，
，
解得，
二次函数的解析式为．
24．解：（1）依题意有，
解得：k=2，
∴k的值为2；
（2）把k=2代入函数解析式中得：，
当x=3时，y=14，
∴y的值为14．
25．∵铁丝的长是60cm，一边长xcm，
∴另一边长是（30-x）cm，
∴S=x（30-x）＝- x2＋30x（0＜x＜30）.
26．解：乙的说法对．
理由如下：
，
无论取何值，，即有，
所以，
故无论取何值，该函数一定是二次函数．
27．（1）y=πx2-π×12=πx2-π；
（2）由题意得：πx2-π=π，解得：x=；
（3）面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x=，
面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2=，
面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x=，
……
面积是原来的n倍时，半径是.
28．（1）右下角图形另一边长为：
∴图中的阴影部分面积为：
∴阴影部分的面积为平方米；
（2）由（1）可知，当时
∴
∴购买草皮需元．
29．∵
又∵
∴
∴对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数．