九年级数学上册试题 25.2求锐角的三角比的值-沪教版（含解析）

25.2求锐角的三角比的值
一．选择题
1．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则cosA的值（　　）
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，那么∠A的正弦值是（　　）
A． B． C．3 D．
4．计算的值是（　　）
A． B．1 C． D．3
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
7．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
8．已知α为锐角，，则α等于（　　）
A．30° B．50° C．60° D．80°
9．若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（　　）
A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90°
10．下列选项正确的是（　　）
A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2
C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1
二．填空题
11．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　 　．
12．若2cos∠A＝1，则锐角∠A＝　 　°
13．已知sinα sin45°＝，则锐角α为　 　．
14．在△ABC中，若，则∠C＝　 　．
15．比较大小：sin80° 　 　sin50°（填“＞”或“＜”）．
16．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 　 　．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cos（∠A﹣∠B）＝　 　．
18．因为，，所以cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°，由此猜想：当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知：cos210°＝　 　．
三．解答题
19．计算：2sin30°+cos60°﹣cos245°
20．根据图示填空：
（1）sinB＝＝
（2）cos∠ACD＝．
21．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA cosA的值．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a＝2，sin，求b和c．
24．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，求t的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．
26．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
答案
一．选择题
1．
【分析】根据题意可得所得的三角形与原三角形相似，从而可得∠A的大小没有发生变化，即可解答．
【解析】解：∵Rt△ABC的边长都扩大2倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有发生变化，
∴cosA的值不变，
故选：A．
2．
【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴cosA＝＝，
故选：C．
3．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
4．
【分析】先计算，再计算二次根式乘法即可．
【解析】解；，
故选：C．
5．
【分析】根据锐角三角函数的正弦值的定义解答即可．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
则sinA＝＝，
故选：A．
6．
【分析】令BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC＝＝2x，由锐角的余弦定义即可求出cosA＝＝．
【解析】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
∴令BC＝x，则AB＝3x，
∴AC＝＝2x，
∴cosA＝＝．
故选：B．
7．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
【解析】解：∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
8．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求得α﹣20°的值，然后求得α的度数即可．
【解析】解：∵已知α为锐角，cos（α﹣20°）＝，
∴α﹣20°＝30°，
∴α＝50°．
故选：B．
9．
【分析】利用cosα＝sin（90°﹣α），载根据锐角三角函数的增减性，即可求出α的取值范围．
【解析】解：∵cosα＝sin（90°﹣α），sinα＞cosα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
10．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可判断．
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，
∴sin31°＝，cos31°＝，
∴sin31°+cos31°＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴+＞1，
∴sin31°+cos31°＞1，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】根据余弦的定义即可求解．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴cosA＝＝＝．
故答案为：．
12．
【分析】先计算出cos∠A＝，然后根据60°的余弦值为求解．
【解析】解：∵2cos∠A＝1，
∴cos∠A＝，
∴锐角∠A＝60°．
故答案为：60．
13．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出sinα＝，即可得出答案．
【解析】解：∵sinα sin45°＝，
∴sinα ＝，
故sinα＝，
则锐角α为45°．
故答案为：45°．
14．
【分析】利用非负数和为零得出2sinA﹣1＝0，，求出∠A、∠B度数，再由三角形内角和定理求解即可．
【解析】解：∵，
∴2sinA﹣1＝0，，
∴，，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
15．
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可．
【解析】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知，
∵80°＞50°，
∴sin80°＞sin50°，
故答案为：＞．
16．
【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解析】
解：过P作PA⊥x轴于A，
∵P（3，4），
∴PA＝4，OA＝3，
由勾股定理得：OP＝5，
∴α的余弦值是＝，
过答案为：．
17．
【分析】设CD＝x，根据勾股定理列方程，求出x的值，再得出AD＝BD＝2﹣x，再根据锐角三角函数的定义求出cos（∠A﹣∠B）即可．
【解析】解：过A作∠BAD＝∠B，交BC于点D，
设CD＝x，
∵BC＝2，
∴BD＝AD＝2﹣x，
根据勾股定理，AC2+CD2＝AD2，即12+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
∴AD＝2﹣＝，
cos（∠A﹣∠B）＝cos∠CAD＝＝＝，
故答案为：．
18．
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）＝﹣cosα．把210°代入计算即可．
【解析】解：∵cos（180°+α）＝﹣cosα，
∴．
故答案为：．
三．解答题
19．解：2sin30°+cos60°﹣cos245°＝＝＝1
20．解：（1）sinB＝＝．
故答案为：BC，AC；
（2）cos∠ACD＝．
故答案为：AC．
21．解：如图，
在Rt△ABC中，∵BC＝2、AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
则cosB＝＝＝．
22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA cosA＝×＝．
答：sinA cosA的值为．
23．解：如图，
∵a＝2，sin，
∴c＝＝＝6，
则b＝＝＝4．
24．解：过A作AB⊥x轴于B．
∴，
∵，
∴，
∵A（t，4），
∴AB＝4，
∴OA＝6，
∴．
25．解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝，
设AC＝3x，AB＝4x，
由勾股定理得：BC＝＝x，
在Rt△ABC中，cosB＝＝＝．
26．解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．