九年级数学上册试题 25.3解直角三角形-沪教版（含解析）

25.3解直角三角形
一、单选题
1．在直角中，，，，求为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，， ，则的值为（　　）
A． B． C． D．8
3．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，E是上一点，于点F，则的长是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在中，于点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，点D为边中点，连接，已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
7．如图，在中，，点D和点E分别是边和上的点，，，，，则的长为（ ）

A．4.8 B．4.5 C．4 D．3.2
8．如图，在边长为的正方形中，，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．在中，，，边上的高为，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题
11．在中，，，，那么 ．
12．中，，，，那么 .（用表示）
13．如图，在中，，于点D，若，，则的长为 ．
14．如图，在中，，，垂足为，，，则长为 ．

15．小明将一副新买的三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
16．如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是 ．
17．一次函数与x轴夹角的余切值为 ．
18．如图，在矩形 中，点，分别在边，上，与关于直线 对称，过点作于点，交于点，交于点，若，则的长为 ．
三、解答题
19．在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形．
20．在中，．
(1)已知，，求的值；
(2)已知，，求、的值．
21．已知：如图，是的高，．求的值．
22．中，，，点在上，，，求的长．

23．如图，已知在锐角三角形中，，，．
(1)求，，的长．
(2)的值为________．
24．如图，在中，，，垂足为D．
(1)求作的平分线，分别交，于点P，Q．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
25．如图，在中，，是边上的中线，延长至点，作的角平分线，过点作于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
26．如图，在中，，D是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
27．在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，．
(1)如图，求证：是的中点；
(2)已知点和边上的点满足，连接，，．
（）如图，求证：四边形是菱形．
（）如图，连接，若，，求值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值．
【解析】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了解直角三角形，涉及余弦和正切的概念，根据画出图形，将三角函数的值转化为直角三角形的边长之比，结合正切定义即可求得答案．
【解析】解：由题意，
则，得
，
．
故选：A．
3．B
【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．
【解析】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故选：B
4．A
【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可进行求解．
【解析】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，；
故选A．
5．B
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解析】解：，
．
，，
，
，
，
．
故选：B．
6．C
【分析】由余弦函数求得，根据直角三角形斜边中线的性质求得，推出，据此求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∵，点D为边中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积求出的长即可．
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
8．C
【分析】先根据“同角的余角相等”可得，在中，根据三角函数的定义可求得，进而可得.
本题主要考查了正方形的性质和根据三角函数定义解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键。
【解析】解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．D
【分析】作出草图，先在中利用正弦对边：斜边求出，然后在中，利用余弦邻边：斜边列式求解即可得到的长．
【解析】解：如图，在中，，
，
在中，，
．
故选：D．
10．B
【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【解析】∵菱形的边长为6，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴．
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】设，则，求出，然后解出的值即可解题．
【解析】解：∵，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查解直角三角形的知识，利用的正弦值解答即可．
【解析】解：中，，，
，
，
．
故答案为：．
13．4
【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出是解题的关键．解直角三角形求得，再利用三线合一即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
，，
∴．
故答案为：4．
14．
【分析】根据已知条件在中，用和表示，在中，根据余弦求出的长，得到答案．
【解析】解：在中，，，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
故选：．
15．
【分析】设，解，得出，解，得出，代入，计算即可求得答案．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，设，用含k的代数式表示出与是解题的关键．
【解析】解：设，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
16．
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【解析】解：在中，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角函数的定义，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点求法及余切值的定义是解题的关键．先求出与轴和轴的交点坐标，再利用余切值的定义求解即可．
【解析】解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
即，
则，
当时，解得：，
即，
则，
则，
则一次函数与x轴夹角的余切值为．
故答案为：
18．
【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，设，，由勾股定理可求，利用锐角三角函数可求的值，可得，的长，由锐角三角函数可求的长，进而勾股定理，即可求解．
【解析】解：与关于直线对称，
，，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
三、解答题
19．解：在中，，
．
又，
，
，
，
．
，即，
解得，
则，
．
20．（1）
解：在中，，，，
；
（2）
解：在中，，，，
，．
21．∵是的高，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
23．（1）解：在中，， ，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
24．（1）解：如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与，相交，得到两个交点，以两个交点为圆心，大于两个交点距离的一半为半径分别作弧，连接C与两弧的交点，为所作；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
25．（1）证明：∵，是边上的中线，
∴，，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，是边上的中线，，，
∴，，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
26．（1）证明：，
．
，
，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：，
．
，，
．
，
，
．
设，则．
，
，
解得，
．
27．（1）证明: 由旋转的性质得: ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中点；
（2）（）证明: 连接，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（）过点作于点，
则，
在中，由勾股定理得:，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴。
∴，
∴，
∴．