九年级数学上册试题 25.3解直角三角形同步测试-沪教版（含解析）

25.3解直角三角形
一、单选题
1．如图，在中，，，则的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
2．如图，在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若点的坐标为，则等于（ ）

A． B． C． D．
5．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
6．在四边形中，，，，，，则四边形周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，和都是锐角，若，，则（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，直线与坐标轴交于点A、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是的中点.若，则点C的坐标是（ ）

A．（3，） B． C．，3） D．
10．如图，正方形的边长为，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．如图，已知△ABC中，，，则AC= cm．
12．如图，在中，，，，则的长为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝ ．
14．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ．
15．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 ．
16．如图，在中，，为上一点，，，．则＝ ．
17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于 ．
18．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ．
三、解答题
19．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
20．如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结．
(1)求线段的长；
(2)求的正切值．
21．如图，在中，，，点在边AC上，且，，垂足为点，联结，求：
(1)线段的长；
(2)的余弦值．
22．如图，在中，是边上的高．已知，，．
(1)求的长；
(2)如果点E是边的中点，连接，求的值．
23．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求：
(1)反比例函数的解析式；
(2)点的坐标；
(3)的余弦值．
24．在中，，，点为线段上一动点，连接．
(1)如图1，若，，求线段的长．
(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：．
25．如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．
(1)当点与点重合时，如果，求的长；
(2)当点在线段的延长线上，
①求的值；
②如果，求的余切值．
答案
一、单选题
1．B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出．
【解析】解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
2．D
【分析】本题主要考查解直角三角形，过点C作，交的延长线于点D，在中，可求得和，利用勾股定理求得，根据正弦定义即可求得答案．
【解析】解：过点C作，交的延长线于点D，
∵，
∴，
在中，，
∴，
，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
3．A
【分析】根据题意为求点A到直线的距离，即求中边上的高，构造直角三角形，利用已知信息结合三角函数的定义解之即可．本题考查了解直角三角形 构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【解析】解：依题意，过点A作，交延长线于点D，
∵，
∴，
在中，
，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】根据点的坐标为，得，，由的正弦值是的对边与斜边的比值即可解答．
【解析】解：如图：

点的坐标为，
，，
由勾股定理，得，
．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【解析】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，
∴，，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的值为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．
过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，通过证明，得出四边形是矩形，进而得出，，，即可解答．
【解析】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形周长，
故选：A．
7．C
【分析】过A作，垂足为D，根据正弦的定义得到，，从而得到，即可判断．
【解析】解：如图，过A作，垂足为D，
∵，，
∴，，
∴，
故选C．

8．A
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．由直线与坐标轴交于点、，得到，结合，得到，利用正切函数计算即可，
【解析】解：∵直线与坐标轴交于点、，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
解得，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】过点A作轴，垂足为F，由四边形是矩形易证得是等边三角形,进而，解直角三角形得，，所以，由矩形是中心对称图形知点A，点C关于原点对称，得点．
【解析】∵四边形是矩形
∴
∵
∴，
过点A作轴，垂足为F，

则
∴点
∵点A，点C关于原点对称，
∴点，
故选：B
10．B
【分析】过点作于点，解，进而解，求得，根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
，
在中，，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，解直角三角形即可求出AC．
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB
在Rt△BDC中：
在Rt△ADC中：
故答案为：．
12．
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【解析】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解析】如图，延长AD、BC相交于点E，
∵∠B=90°，
∴，
∴BE=，
∴CE=BE-BC=2，AE=，
∴，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，，
∴CD=．
14．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则．
【解析】解：∵是边的中点，，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】过点作于点E．由题意即得出四边形为菱形，从而得出，．再根据正弦的定义可求出，最后由菱形的面积公式计算即可．
【解析】如图，过点作于点E．
由题意可知四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】根据以及勾股定理可得BC=4，AC=3，从而得到CD=3，进而得到，过点D作DE⊥AB于点E，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，解得：k=1或1（舍去），
∴BC=4，AC=3，
∵，
∴AC=CD，
∴，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵，
∴可设，则，
由勾股定理得：，
∵BD=1，
∴，解得：或（舍去），
∴，
∴．
故答案为：
17．16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题．
【解析】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18．
【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解．
【解析】解：在中，，
∴；，
∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，
∵，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
连接，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴；
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）解：过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
20．（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴
∴
在中，，
∴，
（2）∵，，
∴
∵
∴
∴，
∴
又∵，
∴
21．（1）∵，，
∴．
∵，，
根据勾股定理，得，
∴，，
∴，
∴；
（2）过点E作，垂足为，如图，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，
．
22．（1）解：∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是边上的高，
∴，
解得：（负根舍去），
∴；
（2）如图，过作于，
∵由（1）得：，，，
∴，
∵为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过A作于D，则，
设，
∵轴，
∴，，
∴，
解得，经检验，符合所列方程，
故点C坐标为；
（3）解：∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
将代入中，得，则，
∴，
又，，
∴，
∴．
24．（1）解：在中，，
，，
，，
∵BD=，
∴AD=AB -BD=5；
（2）证明：取的中点，连接，如图：
在中，点为斜边的中点，
，
，
为等边三角形，
，∠OCB=∠BOC=60°，
，
为等边三角形，
，，
∵∠DCE=∠OCB=60°，
，
∴∠OCD=∠BCE=90°，
在和中，
，
，
∵∠EBC=∠DOC=120°，
∴∠OCB+∠EBC=180°，
，
在上截取，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，∠BEF=∠HDF，
，
，
∴∠HDG=∠OCD，
又，
∴∠G=∠HDG，
∴HG=HD，
∵HG=BE，
∴GF=HG+FH=BE+BF．
25．（1）如图，当点与点重合时，设，
四边形是矩形，
，，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
；
（2）①如图，交于点，连接，
由（1）得，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
；
②如图，连接，
，
设，则，设，且，，则，
，
，
，，，
，
，
，
即，
，
由①得，，
，
，
两边平方并整理得，
，
，，
，，
，
，
，
即的余切值．