九年级数学上册试题 25.4 解直角三角形的应用-沪教版（含解析）

25.4 解直角三角形的应用
一、单选题
1．如果斜坡的坡度为，那么这条斜坡的坡角为（　　）
A．75度 B．60度 C．45度 D．30度
2．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，已知直线为水平线，，从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　）
A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米
7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ）
A．厘米 B．厘米
C．厘米 D．厘米
8．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
9．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
10．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
11．已知斜坡坡度为，如果斜坡长为米，那么斜坡的高为 米．
12．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼的高度为 米．（用含的式子表示）
13．如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，如果，，那么立柱的长度是 米．
14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物M的俯角为α，tanα＝，水平飞行900米后，到达点B处，又测得标志物M的俯角为β，tanβ＝，那么此时飞机离地面的高度为 米．
15．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号）
16．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，则教学楼的高度为 ．(点都在同一平面上，结果保留根号)

17．如图，已知斜坡长为，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡角为，则平台的长为 ．（参考数据：）
18．一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当∠B=90°时，点到门框的距离，则的长为 cm．
三、解答题
19．如图，梯形ABCD是某水库大坝的横断面，其坝顶宽5米，坝底宽33米，坝的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水坝横截面的面积．
20．如图，小明一家从家所在地自驾前往古镇游玩，古镇在小明家的正北方向千米处，由于道路清障，小明一家先从沿西北方向行驶至地，再从地沿北偏东方向行驶至古镇，求小明一家从地到地实际行驶的路程是多少千米？（结果精确到千米）
（参考数据：，，，）
21．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
22．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上．
(1)求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度；
(2)依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：）
23．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点．达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为，细绳在右侧达到最高点时与一个水平放置的挡板所成的角度为．（参考数据：）

(1)求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差．
(2)求这段细绳的长度．
24．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．
（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？

25．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区．
(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．
表：轮椅坡道的最大高度和水平长度
坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8
最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30
水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40
26．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）．
问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：）
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据坡角的正切坡度，列式可得结果．
【解析】解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：，
．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案．
【解析】解：如图，在中，
米，，
，
（米），
故选：．
3．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值．
【解析】解：∵，
米，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了俯角的定义，根据俯角是往下看，观测者的视线与水平线的夹角即为俯角，结合图形，即可求解．
【解析】解：∵直线为水平线，，
∴从甲楼的楼顶处观测乙楼的楼顶处的俯角是，
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用．
【解析】如图，过作于点，
则有四边形是矩形，
∴米，米，，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
6．B
【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可．
【解析】解：如图：
，
，
千米，
千米，千米，
千米，
千米，
故选B．
7．D
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【解析】解：如图：过作于，
中，厘米，，
．
（厘米）．
故选：D．
8．A
【分析】过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，根据锐角三角函数可得，从而得到，即可求解．
【解析】解：如图，过点P作于点C，则这条河的宽度是的长，
∵，
∴，
∵米，
∴，
即，
∴，
即米，
即这条河的宽度是米，
故选：A．
9．B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC BE＝67 40＝27cm．
故选B．
10．B
【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【解析】解：如图，过点作于，过作于，
则，
∵，
∴设米，则米，
∴米，
∵米，
∴，
解得，
∴，
∴米，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
故选：．
二、填空题
11．60
【分析】设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米，根据勾股定理计算即可．
【解析】解： ∵斜坡坡度为3：4，
∴设斜坡的高3x米，水平宽度为4x米，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=1002，
解得，x=20，
即斜坡的高为3×20=60（米），
故答案为：60．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A作于点D，根据题意得，，米，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解析】解：首先过点A作于点D，如下图所示，
则，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米．
故答案为：
13．5
【分析】本题考查含的直角三角形知识，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．含角的直角三角形，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半即可求解．
【解析】解： 垂直于横梁，，．
．
故答案为：5．
14．1200
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地面的高度．
【解析】解：作交于点，如图所示，
，，
，
，
，
故答案为：1200．
15．
【分析】过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度．
【解析】解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点，
∵，，，
∴四边形APBD是矩形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形APBD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．米
【分析】作于点E，作于点F，由得米，由AB=57知米，由四边形BCEF是矩形知米，由知米，从而得到 米．
【解析】过点D作于点E，作于点F，

由题可得：
AB=57，DE=30，，，
在Rt△ADE中，，
∴，
∴，
∵AB=50，
∴，
∵四边形BCEF是矩形，
∴，
在Rt△DCF中，，
∴，
∴，
∴米．
故答案为米．
17．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解直角三角形，求出，再解直角三角形，求出，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【解析】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵ ，
∴，，
∵，点是的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平台的长约为，
故答案为：．
18．
【分析】过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解．
【解析】
解：过作，为垂足，
，
，
，
，
，
，

．
故答案：．
解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点，
，
，
，
，
设，则，
，
由题空1得：，，
，
又
，
，
即：，
整理得：，
解得：，（舍去），
．
故答案：．
三、解答题
19．∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3
设AE=DF=2x米，则BE=4x米，CF=3x米
∵AD=5米
∴EF=5米
∵BC=33米
∴AE=8米
∴水坝横截面的面积为平方米．
20．解：如图所示，过点作于点，
∵点在点的西北方向，
∴，
∴，，
∵点在点的北偏东方向，
∴，
∵，
设，则,，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴（千米）
答：从地到地实际行驶的路程是千米．
21．（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设．
∵在中，，
又∵在中，，
∴，
∵，
∴．
∴（米）．
即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）解：作，交l于点F．
在中，有：（米），
∴．
∴该轮船能行至码头靠岸．
22．（1）解：根据题意，在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米．
∴乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度为米．
（2）解：如图，过点作于点，设米，
在中，，
∴米，
由（1）得米，
在矩形中，米，
米，
在中，米，
∵，且，
∴，解方程得，米，
∴大树的高度为米．
23．（1）解：连接交于点, 可知,

由题意可得则
故之间的高度差为；
（2）由 知, 的高度差也是,
故,
解得：
则
答: 这段细绳的长度为.
24．解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴四边形ABOE是矩形，
∴∠OBA＝90°，
∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，
∴OD＝BD sin60°＝20（cm），
∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；
（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，
由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，
∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，
∴CG＝10cm，
∴KH＝10cm，
∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，
在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，
∴DK＝10cm，
∴此时连杆端点D离桌面l的高度为10+10+5=（15+10）cm
∴比原来降低了（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，
答：比原来降低了（10﹣10）厘米．

25．（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m，
∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4，
∴AE＝4×2.4＝9.6（m），
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AE＝DF＝9.6m，
∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），
AB＝＝＝10.4（m）＝CD，
∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），
答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．
（2）解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4，
∴E＝5×4＝20（m），
∴A＝20﹣9.6＝11.4（m），
G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），
∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），
点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），
∵14.2＜14.4，
∴轮椅坡道的设计不可行．
26．问题一
解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，
，
，
四边形为矩形，米，
，
，
由题可知，米，米，
在中，由勾股定理得米，
则，
在中，，
解得米，即影长为米，
问题二
解：
延长交于点，
，
，即，
中，，则，
，
在中，，
，则，
当点N在点E右侧时，，
则，
当点N在点E左侧时，，
则，
当点N与点E重合时，，即，
综上所述，；
问题三
解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，
当时，都为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
由题可知：，
，
当时，解得：
，
即．