九年级数学上册试题 第二十五章《锐角的三角比》单元复习检测卷-沪教版（含解析）

第二十五章《锐角的三角比》单元复习检测卷
一、单选题
1．如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（　　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）
A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米
5．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则 ．
8．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D是△ABC的重心，那么 ．
9．如图，已知△ABC与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ．
10．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为 ．
11．如图，在等边△ABC内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为 ．
12．如图，某飞机于空中处探测到某地面目标在点处，此时飞行高度米，从飞机上看到点的俯角为飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动．当飞机飞行米到达点时，地面目标此时运动到点处，从点看到点的仰角为，则地面目标运动的距离约为 米．（参考数据：）

13．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在直线上的点处，则点B的对应点的坐标为 ．
14．如图，正方形中，，为边的中点，点在上，过点作，分别交边、于点、．连接，如果是以为底边的等腰三角形，那么 ．
15．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ．
16．如图，在菱形中，，，如果将菱形绕着点逆时针旋转后，点恰好落在菱形的初始边上的点处，那么点到直线的距离为 ．
17．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为 ．
18．如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 ．
三、解答题
19．如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于.
(1)求证：点是的重心；
(2)如果，求的正弦值.
20．如图，在中，，，垂足为点D，，垂足为点，和相交于点．过点A作，交边延长线于点，点是边上一点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为．
实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为．
问题解决：
(1)请用含的代数式表示仰角；
(2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号）
22．在菱形中，，点在射线上，连接、．
(1)如图，当点是边的中点，求的正切值；
(2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长；
(3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，△BCH与以点、、所组成的三角形相似，求的长．
23．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G．
(1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长；
(2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且△CGB∽△BAG时，求的值；
(3)当F是中点，且时，求的长．
24.如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．

(1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围；
(2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由．
答案
一、单选题
1．D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【解析】解：当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
当，，
，
，
，
综上所述，与的差不能确定，
故选：D．
2．B
【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【解析】解：根据题意作图如下：
由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
3．B
【分析】根据折叠性质得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，进而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，进而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，
由折叠可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，
∵∠B=90°，
∴∠AFB=30°，
∴,
∴CF=BC-BF=，
∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，
∴∠EFC=60°，
∴在Rt△CEF中，．
故选：B
4．A
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【解析】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，
∴BF=10（米），AF=24（米），
∴BG=AF+AE=54（米），
Rt△BGC中，∠CBG=43°，
∴CG=BG tan43°≈54×0.93=50.22（米），
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，
∴DE=AE=30（米），
∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
作于，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质得，根据锐角三角函数的定义得，求出，表示出正方形和△ABC的面积，即可求解．
【解析】解：作于，设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
∵
，
，
，
，
．
故选：B．
6．B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
二、填空题
7．
【分析】过E点作EF∥AD，对应边成比例，令AD=CE=8k，则OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于点H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面积法求出CH，从而得出答案．
【解析】如图，作EF∥AD交BC于点F，
∵AD⊥AE，AD平分∠CAB，
∴O是CD中点， ，
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，，
∵AD=CE，
令AD=CE=8k，则OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k，
在Rt△ACO中，AC=，
∵AO垂直平分CE，
∴AC=AE=；
过C点作AH⊥AE交AE于点H，
在△ACE中，通过等面积法可得：，
∴CH=，
在Rt△ACH中， ；
故答案为：．
8．
【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．
【解析】解：如图，延长交于F，
∵点D是△ABC的重心，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∵△ADE和△ABC都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过作于点，构造相似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【解析】如图，过作于点，
在中，由勾股定理得：
∵△ABC与相似，，，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．
【分析】作于点，作于点．则，设，，则，，即可利用表示出的长，在直角中利用勾股定理求得的值，进而求得，得到的长．
【解析】解：作于点，作于点．则．
，
．
设，，则，，
在直角△中，，
则，
，
，
，
，
．
则，
解得：．
又中，
即，
解得：，
则，．
故答案是：．
11．
【分析】由旋转的性质证明是等边三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，过点E作EH⊥CD，垂足为H．设DH=x，则CH=4-x．由勾股定理得出 62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，
∵绕点逆时针旋转，且与重合，
∴ ，AD=AE
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
又AB=AC，AD=AE
∴
∴
过点作，垂足为．
设，则．
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：
12．
【分析】根据题意可得，AC=1200m，，，，，，如图所述，过点作于点，在中，根据正切的计算方法可求出的值，在中根据角的正切值可求出的值，由此即可求解．
【解析】解：根据题意可得，AC=1200m,，，，，，
∴如图所述，过点作于点，

∵，即，且，，
∴，
∴四边形是矩形，即，，
在，AC=1200m，，
∴，则，
∴，
在中，，，
∴，则，
∴，
故答案为：．
13．或
【分析】分两种情况：①当点A在上时：连接作于H，证明得到即可得到答案；②当点A在延长线上时：过点作轴，连接，根据对顶角相等和旋转的性质得出，再根据勾股定理求出，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出，然后利用勾股定理求得即可得出答案．
【解析】解：①当点A在上时：
连接作于H，如图所示，
由题意知：
则
由旋转的性质可知，
在△AOB和中
∴点的坐标为
②当点A在延长线上时：
过点作轴，连接，如图
由①知，
由旋转可知，
，
，
故答案为：或．
14．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点A′，过点F作于H，易证，得出；利用勾股定理求出的长，进而得出．利用互余角的三角函数的关系，得出，在和中利用的值列出方程，即可求得结论．
【解析】解：延长交于点A′，过点F作于H，
∵是正方形，
∴，
∴．
在和中，
．
∴．
∴．
∵E为边的中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴．
在中，，
∴．
在中， ，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
15．或．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解
【解析】当时，如图，过点D作于H，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或；
16．3
【分析】由旋转、菱形的性质可知，，则，，，，根据E到直线的距离为，计算求解即可．
【解析】解：如图，菱形绕着点D逆时针旋转后为菱形，
由旋转、菱形的性质可知，，
∴，，
∴，
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=30°，
∴到直线的距离为．
故答案为：3．
17．
【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案．
【解析】解：当从到的变化过程中，如图所示，
，
，
当时，点从点开始向方向运动，
当时，的移动到最大距离，
此时，
在中，，
，
，
当时，点开始离开点向点方向运动，
当时，点停止运动，
在中，，
，
点返回运动的路径长为，
点Q移动的路径长为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，由点是的重心，可得分别为的中点，进而由是等边三角形可得，，，设，则，解得，又证明得是等腰直角三角形，得到，点四点共线，即得平分，平分，延长交于，则垂直平分，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，得到，根据点在形内，，可得，得到，又根据可得，由，，即可求出线段的取值范围，正确作出辅助线是解题的关键．
【解析】解：如图，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，
∵点是的重心，
∴分别为的中点，
∵是等边三角形，
∴，，，
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点四点共线，
∴平分，平分，
延长交于，则垂直平分，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
在中，，
∴，
∵点在形内，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）证明：矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
点是的重心；
（2）解：点是的重心，
，
，，
，
，
∵∠ABE=90°，，
，
，
在中，，
．
20．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点M作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
21．（1）解：如图：延长交于L，
由题意得：
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：延长交于点M，
由题意得：，
设米，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵，
∴
解得：
∴米，
∴米，
∴大楼EF的高度为米．
22．（1）解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∵点是边的中点，
∴，，
∴，
又，
∴，
设，
∴，，
在中，，
∴的正切值是．
（2）解：取的中点M，连接，
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵的面积等于
∴
∵与是同高的，设这个高为
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴ ，
∴．
（3）过作点，垂足为
由（1）得：是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵△BCH与以点、G、组成的三角形相似
∴点只能与点G对应，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去，
∴．
23.（1）解：过点作于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
，
∵AD∥BC
∵∠ADE=∠CDE,
，
；
（2）过点作于点，如图，
由（1）知：，
，
，
∵△CGB∽△BAG，
为等腰直角三角形，
（3）①当点在上时，如图，
由（1）知：，
∵是中点，
在和中，
，
，
∵AG=1,ADF=6,
∴，
∴；
②当点在上时，连接，延长，交于点，如图，
由（1）知：，
∵是中点，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ANG∽△BCG，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为5或．
24.（1）解：如图所示，作于点，于点，设与，交于点，

∴四边形是矩形，
∴，，
∵梯形中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴当时，点和点重合，
第一种情况，当时，，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当正方形的边恰好经过点时，点于点重合，则此时，如图所示，

∴，，
∴，即秒时点与点重合，
第二种情况，当时，，如图所示，

∴由上述证明可得，，
∴，
∴，
∴
；
当点与点重合时，如图所示，

∵，
∴，
第三种情况，当时，如图所示，，

∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
；
当点与点重合时，如图所示，

∴，
第四种情况，当时，如图所示，，

∴，，，
∴
；
综上所述，与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围为
；
（2）解：∵，
∴，
∴由（1）可知，，且，
∴，
第一种情况，当时，如图所示，

∴，
解得，；
第二种情况，当时，如图所示，作于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
解得，；
第三种情况，当时，如图所示，作于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
解得，；
综上所述，当或或时，△PEF是等腰三角形．