九年级数学上册试题 第二十五章《锐角的三角比》单元复习卷-沪教版（含解析）

第二十五章《锐角的三角比》单元复习卷
一、单选题
1．如果的各边长都缩小为原来的倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ）
A．都扩大为原来的2倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C=90 ，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，已知，，，那么的长等于 ( )
A．1 B．9 C． D．
5．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tanD的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，E，F为垂足．设的面积为S，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ．
12．计算： ．
13．在中，，，，那么△ABC的面积为 ．
14．沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，这个斜坡的坡度 ．
15．如图，在△ABC中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是 ．
17．若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰△ABC，，且，则 ．
18．如图，已知在中，，，，是边 上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于 ．
三、解答题
19．计算：（1）sin260°-tan30° cos30°+tan45°；
（2）．
20．如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
（1）线段的长；
（2）的值．
22．如图，四边形中，．
(1)如果，求的值；
(2)如果，求四边形的面积．
23．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
24．已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求：
(1)反比例函数的解析式；
(2)点的坐标；
(3)的余弦值．
25．如图，已知直线与x轴、y轴交于点A、C，点A与点B关于直线轴对称，点D在直线上，且D在第三象限，．
(1)求证：求点D及直线解析式；
(2)求的正弦值；
(3)如果P是射线上一点，且以点P，A，B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
26．已知在△ABC中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形．
(1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值；
(2)如图2，如果，点在△ABC内，设，求与的函数关系式，并写出定义域：
(3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答．
【解析】三角形各边长度都缩小为原来的倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
2．A
【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．
【解析】解：∵∠C=90°，
∴=，
故选：A．
3．C
【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．
【解析】∵，，
而，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查解直角三角形，根据题意，表示出的正切即可解决问题．
【解析】解：在中，
，
又因为，，
所以，
解得．
故选：A．
5．A
【分析】连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用正切的定义求解即可．
【解析】如图，连接小正方形的对角线，
设每个小正方形的边长为1，
则由勾股定理得，，
∵，
即，
∴是直角三角形，
∴．
故选：A．
6．D
【分析】根据题意作x轴的垂线，根据，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了．
【解析】过P作x轴的垂线，交x轴于点A，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标是．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案．
【解析】解：如图，在中，
米，，
，
（米），
故选：．
8．D
【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．
【解析】解：∵是斜边边上的高，
∴都是直角三角形．
在中，
∵，故选项B不正确；
在中，
∵，故选项A、C不正确．
在中，
∵，
∴．
∴，故选项D正确．
故选：D．
9．D
【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．
【解析】设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，BC＝AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+m，
∴tan∠ADC＝＝＝2﹣．
故选：D．
10．C
【分析】过点F作FH⊥AE于H，根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠D=∠B=60°，∠BAD=180°－∠B=120°，从而求出∠HAF=60°，然后根据平行四边形的面积公式可得BC·AE=S，利用锐角三角函数求出AF=，FH=，最后根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：过点F作FH⊥AE于H

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B=60°，∠BAD=180°－∠B=120°
∵，
∴∠BAE=90°－∠B=30°，∠DAF=90°－∠D=30°
∴∠HAF=∠BAD－∠BAE－∠DAF=60°
∵的面积为S，
∴BC·AE=S
在Rt△ADF中，AF=AD·sinD=
在Rt△AHF中，FH=AF·sin∠HAF==
∴S△AEF=AE·FH
=AE·
=·AE
=
故选C．
二、填空题
11．
【分析】根据余弦的定义进行解答
【解析】在Rt△ABC中，AC＝，
，故填．
12．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【解析】解：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，再由勾股定理得到，解得，则，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【解析】解：如图所示，在中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
故答案为：．

14．2.4
【分析】根据勾股定理求出此人行走的水平距离，根据坡度的概念计算即可．
【解析】解：由勾股定理得，此人行走的水平距离为：=12，
则此斜坡的坡度i=5：12=1：2.4，
故答案为：2.4．
15．7
【分析】过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解析】解：过点A作于，作的垂直平分线交于点、交于，
在中，，，
则，
解得：，
由勾股定理得：，
在中，，
则，
∴，
是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】过点作于点，易证，从而可求出，，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】解：如图，过点作于点，设，
在与中，
，
，
，，
，tan∠ADB＝＝，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝a，
∵S△ABD＝BD AE＝AB AD，
∴AE＝CF＝a，
∴BE＝FD＝a，
∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案．
【解析】解：如图，过点A作于，过点作于，
，
设，则，
，，
，
根据勾股定理得，，
．
故答案为：．
18．
【分析】由题意可得如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，则有，然后可得，进而可得，则有，，最后问题可求解．
【解析】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AB于点F，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，，
∴，
∴；
故答案为．
三、解答题
19．解：（1）原式=
=
=．
（2）原式=
=
=-
=-
20．（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
21．解：（1） 是边上的高，，，
，
∵AB=15,BD= =9,
∴BD=14,
∴CD=BC-BD=14-9=5.
（2） 为边的中点，
∴ED=EA=EC
∴tan∠EDC=tan∠ECD= =
22．（1）解：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，
四边形的面积．
23．（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
24．（1）解：设反比例函数的解析式为，
∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：过A作于D，则，
设，
∵轴，
∴，，
∴，
解得，经检验，符合所列方程，
故点C坐标为；
（3）解：∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
将代入中，得，则，
∴，
又，，
∴，
∴．
25．（1）解：直线与轴、轴交于点、，
，，
点与点关于直线轴对称，
，
点在直线上，
设，
，
，
∴或，经检验符合题意；
∵D在第三象限，
．
设直线解析式为y=kx+b（k≠0），
，
，
直线解析式为．
（2）解：过作，连接，
同理可得：直线的解析式为，
当时，则，
∴直线与轴的交点，
，
，
，
∵，，
∴，
中，．
（3）解：如图，
由，可得，
直线的表达式为，
，
即，，
当，则，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形时，
∴；
当，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
．
综上，或．
26．（1）解：在中，，
又，
，
，
，
在中，
，
又，，
，
四边形是平行四边形，
，
点在上，
，
，
，
，
在中，；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点E作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
当点恰好在上时，
，
，
∵，则，
，
在中，，
又，则，
，
，
，
，
当点在△ABC内时，；
（3）解：设，则，
，
设矩形的对角线与相交于点，连接，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
，
过点作于点，
又，
，
，
，
，
，，
，
．