广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷
1．（2024高二上·南宁期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则，
又因为，故.
故选：C.
【分析】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的定义，根据题意，设直线的倾斜角为，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案.
2．（2024高二上·南宁期末）已知是等比数列，若，则公比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
设等比数列的公比为q，可得，则.
故选：D.
【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，根据题意，利用等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程，求得等比数列的公比，即可得到答案.
3．（2024高二上·南宁期末）若直线和直线垂直，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故选：A.
【分析】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得a的值，即可得到答案.
4．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由 双曲线， 可得，所以，
因为是双曲线上的一点，且， 所以，
即，解得（舍去），或.
故选：B.
【分析】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，根据双曲线的标准方程，求得，结合双曲线的定义，得到，进而求得的值，即可得到答案.
5．（2024高二上·南宁期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ）
A．42 B．48 C．60 D．72
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由数列为等差数列，所以也为等差数列，
因为，
所以，
所以.
故选：.
【分析】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的性质的应用，由等差数列的性质，得到为等差数列，结合题意，列出方程，求得的值，进而求得的值，得到答案.
6．（2024高二上·南宁期末）在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，由，
所以
，
所以.
故选：C.
【分析】本题主要考查了空间向量的运算法则，以及加法的几何意义，根据题意，利用空间向量的运算法则，得到，再由向量数量积的运算律，求得的长，即可得到答案.
7．（2024高二上·南宁期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：记曲线，
由题意，，
∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，
记直线，即，∴直线过定点.
如图所示：
，
当直线与曲线相切时，.
由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.
故选：B.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及数形结合法的应用，根据是过定点的直线，曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，画出直线与曲线的图形，结合数形结合，利用点到直线的距离公式，列出方程，进而求得答案.
8．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，，设，
则，
由，得，
解得，又在双曲线上，
所以，即，整理得，
即，由解得.
故选：B.
【分析】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，设，根据题意，利用平面向量数量积和线性运算的坐标表示，建立方程组，解得，代入双曲线 ，得到a与c的关系式，列出方程e的方程，进而求得双曲线的离心率，得到答案.
9．（2024高二上·南宁期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果且，那么直线不经过第三象限.
B．若直线与平行，则与的距离为.
C．圆C：关于直线对称的圆方程为.
D．点为圆上任意一点，则的最大值为6.
【答案】A,B,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；与直线关于点、直线对称的直线方程；圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：对于A，当时，直线等价于，
由于且，所以直线的斜率，轴截距，
即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确；
对于B，由直线与平行，则，
此时可化简直线与，再由平行线间距离公式得：
，故B正确；
对于C，由圆C：可得，圆心，
设圆心关于直线的对称圆心为，
则，解得，
则对称圆的方程为，故C正确；
对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方，
即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为，
所以圆上的动点到原点的最大距离是，
即的最大值是，故D错误；
故选：ABC．
【分析】利用直线方程的性质，可判断A正确，利用平行线间的距离公式，可判断B正确；利用点关于直线对称点的研究，可判断C正确，把可以看成动点到原点距离的平方，利用圆的几何意义，可判断D不正确，即可得到答案．
10．（2024高二上·南宁期末）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8 B．椭圆的离心率为
C．的长为 D．的面积为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意：为面积是的正三角形，
故且，故；
的周长为，故A正确；
椭圆的离心率，故B错误；
设，则，由知；
由余弦定理：，所以，故C错误；
，故D正确，
故选：AD.
【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及几何性质的应用，根据题意，利用的面积计算出的值，进而计算的周长和离心率，即可判断A和B；在，利用余弦定理和三角形的面积公式，求得的长和面积，可判断C和D，进而得到答案.
11．（2024高二上·南宁期末）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为
C．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：选项A：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，正确；
选项B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，
设，则，
设直线与所成角为，则，
因为，则，
当时，可得，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
可知，且，所以；
所以异面直线与所成角的取值范围是，正确；
对于C：因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，
因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；
对于D，由，
设，则
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，当时，等号成立，错误.
故选：ABC.
【分析】由底面正方形的面积不变，点到平面的距离不变，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确；由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定C正确；设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定D错误.
12．（2024高二上·南宁期末）抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=
【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线y 2=4x，得2p=4，p=2，∴．
∵M在抛物线y 2=4x上，且|MF|=3，
∴xM+1=3，即xM=2．
故答案为：2．
【分析】由抛物线的方程求出，再由已知结合抛物线定义求得点M的横坐标．
13．（2024高二上·南宁期末）已知数列的前项和公式为，则的通项公式 .
【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，符合.
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查了数列的前n项和与通项的关系，由数列的前项和公式为，
根结合，准确计算，即可得到答案.
14．（2024高二上·南宁期末）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，，所以，
又，所以.
因为且，所以，整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，所以，
又，所以，
因为，所以的最小值为，
当且仅当三点共线时取等.
故答案为：.
【分析】先由 动点M与两定点Q，P的距离之比， 求得阿波罗尼斯圆的方程，进而求得定点坐标，再由，得到，结合三点共线求出最小值，即可得到答案.
15．（2024高二上·南宁期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：令为线段的中点，又，则，
又在圆上运动，故，
所以，故点的轨迹方程为.
（2）解：如图所示：
由（1）知圆心，且半径，
所以圆心到的距离，
所以直线与曲线相离.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）设，根据中点坐标公式，求得，再由在圆上运动，代入化简，即可求得点M的轨迹方程；
（2）有（1）得出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离，得出与圆的半径的大小关系，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可判断位置关系，得到答案.
（1）令为线段的中点，又，则，
又在圆上运动，故，
所以，故点的轨迹方程为.
（2）由（1）知圆心，且半径，
所以圆心到的距离，
所以直线与曲线相离.
16．（2024高二上·南宁期末）已知等差数列的前项和为，若且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由题意知：，
即：，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）解：
因为
所以
化简得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的前项和公式与通项公式，列出方程组，求得，写出数列的通项公式，得到答案；
（2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，化简计算，即可得到答案.
（1）由题意知：，
即：，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以
化简得：.
17．（2024高二上·南宁期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由底面，底面，则，
又，且均在面内，则平面；
（2）解：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，
则，故，
若为面的一个法向量，则，
令，则，而是面的一个法向量，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由底面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意，空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）由底面，底面，则，
又，且均在面内，则平面；
（2）由题设，构建如下图示空间直角坐标系，
则，故，
若为面的一个法向量，则，
令，则，而是面的一个法向量，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）解： 设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
（2）解：（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，结合和在曲线上，列出方程组，求得a和b的值，即可求得曲线C的方程；
（2）（i）根据题意，设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，得到，结合斜率公式，化简，代入运算，即可得证；
（ii）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合（i）知，得到，求得或，进而求得直线过定点，得到答案.
（1）
设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
（2）（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．
19．（2024高二上·南宁期末）设为椭圆的左，右焦点，已知点在椭圆上，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的面积.
（3）黄金分割的比例被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆均是“完美椭圆”，其中便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆上任取一点，以为切点作椭圆的切线与直线且交于点，以为直径作圆，设此圆恒过椭圆的右顶点，求证：.
【答案】（1）解：由点在椭圆上，则，
由面积的最大值为2，则，故，
所以，故.
（2）由（1）知，则，联立，
所以，则，显然，
所以，，则，
由到的距离，
所以的面积.
（3）令且，若椭圆上为切点的切线为，则，令，则切线为，
联立椭圆，可得，
所以，则，
即，则，
由题意有，则，故，
所以
又，则，代入上式整理得，
所以为所求切线方程，将代入，得，
所以，故中点为，
且，
以为直径的圆为，
当，有，
所以，则，
所以，
以为直径的圆恒过，即，同理对于任意，都有，
如下图，对于，即，则，即，
又椭圆均是“完美椭圆”，即，
所以，可得，
同理可得且，即是首项为1，公比为的等比数列，
所以，而为正整数，
故，得证.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，结合椭圆性质及三角形面积公式可得，再由，求，进而得到椭圆方程；
（2）根据题意，直线，联立方程组得到，，利用弦长公式和点线距离公式，以及三角形面积公式，求得三角形的面积，得到答案；
（3）根据题意，设且，若椭圆上为切点的切线为，联立椭圆求参数关系，进而得到为所求切线方程，再写出以为直径的圆并确定所过的定点得，同理可得，结合新定义有是首项为1，公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式证不等式.
（1）由点在椭圆上，则，
由面积的最大值为2，则，故，
所以，故.
（2）由（1）知，则，联立，
所以，则，显然，
所以，，则，
由到的距离，
所以的面积.
（3）令且，若椭圆上为切点的切线为，
则，令，则切线为，
联立椭圆，可得，
所以，则，
即，则，
由题意有，则，故，
所以
又，则，代入上式整理得，
所以为所求切线方程，将代入，得，
所以，故中点为，
且，
以为直径的圆为，
当，有，
所以，则，
所以，
以为直径的圆恒过，即，同理对于任意，都有，
如下图，对于，即，则，即，
又椭圆均是“完美椭圆”，即，
所以，可得，
同理可得且，即是首项为1，公比为的等比数列，
所以，而为正整数，
故，得证.
1 / 1广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷
1．（2024高二上·南宁期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·南宁期末）已知是等比数列，若，则公比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2024高二上·南宁期末）若直线和直线垂直，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线，设是双曲线上的一点，分别是双曲线的左，右焦点，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．（2024高二上·南宁期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ）
A．42 B．48 C．60 D．72
6．（2024高二上·南宁期末）在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
7．（2024高二上·南宁期末）直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·南宁期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果且，那么直线不经过第三象限.
B．若直线与平行，则与的距离为.
C．圆C：关于直线对称的圆方程为.
D．点为圆上任意一点，则的最大值为6.
10．（2024高二上·南宁期末）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为8 B．椭圆的离心率为
C．的长为 D．的面积为
11．（2024高二上·南宁期末）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围为
C．使直线AP与平面ABCD所成角为的动点P的轨迹长度为
D．若F是的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的最小值为
12．（2024高二上·南宁期末）抛物线y 2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=
13．（2024高二上·南宁期末）已知数列的前项和公式为，则的通项公式 .
14．（2024高二上·南宁期末）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为 .
15．（2024高二上·南宁期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由.
16．（2024高二上·南宁期末）已知等差数列的前项和为，若且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
17．（2024高二上·南宁期末）如图，在四棱锥中，底面满足，底面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（2024高二上·南宁期末）已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
19．（2024高二上·南宁期末）设为椭圆的左，右焦点，已知点在椭圆上，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的面积.
（3）黄金分割的比例被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆均是“完美椭圆”，其中便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆上任取一点，以为切点作椭圆的切线与直线且交于点，以为直径作圆，设此圆恒过椭圆的右顶点，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则，
又因为，故.
故选：C.
【分析】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的定义，根据题意，设直线的倾斜角为，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案.
2．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为，
设等比数列的公比为q，可得，则.
故选：D.
【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，根据题意，利用等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程，求得等比数列的公比，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故选：A.
【分析】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得a的值，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由 双曲线， 可得，所以，
因为是双曲线上的一点，且， 所以，
即，解得（舍去），或.
故选：B.
【分析】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，根据双曲线的标准方程，求得，结合双曲线的定义，得到，进而求得的值，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由数列为等差数列，所以也为等差数列，
因为，
所以，
所以.
故选：.
【分析】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的性质的应用，由等差数列的性质，得到为等差数列，结合题意，列出方程，求得的值，进而求得的值，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，由，
所以
，
所以.
故选：C.
【分析】本题主要考查了空间向量的运算法则，以及加法的几何意义，根据题意，利用空间向量的运算法则，得到，再由向量数量积的运算律，求得的长，即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：记曲线，
由题意，，
∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，
记直线，即，∴直线过定点.
如图所示：
，
当直线与曲线相切时，.
由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，.
故选：B.
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及数形结合法的应用，根据是过定点的直线，曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分，画出直线与曲线的图形，结合数形结合，利用点到直线的距离公式，列出方程，进而求得答案.
8．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，，设，
则，
由，得，
解得，又在双曲线上，
所以，即，整理得，
即，由解得.
故选：B.
【分析】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，设，根据题意，利用平面向量数量积和线性运算的坐标表示，建立方程组，解得，代入双曲线 ，得到a与c的关系式，列出方程e的方程，进而求得双曲线的离心率，得到答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；与直线关于点、直线对称的直线方程；圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：对于A，当时，直线等价于，
由于且，所以直线的斜率，轴截距，
即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确；
对于B，由直线与平行，则，
此时可化简直线与，再由平行线间距离公式得：
，故B正确；
对于C，由圆C：可得，圆心，
设圆心关于直线的对称圆心为，
则，解得，
则对称圆的方程为，故C正确；
对于D，由于可以看成动点到原点距离的平方，
即可求圆心到原点的距离为，而圆的半径为，
所以圆上的动点到原点的最大距离是，
即的最大值是，故D错误；
故选：ABC．
【分析】利用直线方程的性质，可判断A正确，利用平行线间的距离公式，可判断B正确；利用点关于直线对称点的研究，可判断C正确，把可以看成动点到原点距离的平方，利用圆的几何意义，可判断D不正确，即可得到答案．
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意：为面积是的正三角形，
故且，故；
的周长为，故A正确；
椭圆的离心率，故B错误；
设，则，由知；
由余弦定理：，所以，故C错误；
，故D正确，
故选：AD.
【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及几何性质的应用，根据题意，利用的面积计算出的值，进而计算的周长和离心率，即可判断A和B；在，利用余弦定理和三角形的面积公式，求得的长和面积，可判断C和D，进而得到答案.
11．【答案】A,B,C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：选项A：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，正确；
选项B：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，
设，则，
设直线与所成角为，则，
因为，则，
当时，可得，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
可知，且，所以；
所以异面直线与所成角的取值范围是，正确；
对于C：因为直线与平面所成的角为，
若点在平面和平面内，
因为最大，不成立；
在平面内，点的轨迹是；
在平面内，点的轨迹是；
在平面时，作平面，如图所示，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
所以点的轨迹的长度为，
综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；
对于D，由，
设，则
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，可得，
所以，当时，等号成立，错误.
故选：ABC.
【分析】由底面正方形的面积不变，点到平面的距离不变，可判定A正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，结合向量的夹角公式，可判定B正确；由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定C正确；设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定D错误.
12．【答案】2
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线y 2=4x，得2p=4，p=2，∴．
∵M在抛物线y 2=4x上，且|MF|=3，
∴xM+1=3，即xM=2．
故答案为：2．
【分析】由抛物线的方程求出，再由已知结合抛物线定义求得点M的横坐标．
13．【答案】
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：当时，；
当时，，符合.
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查了数列的前n项和与通项的关系，由数列的前项和公式为，
根结合，准确计算，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：设，，所以，
又，所以.
因为且，所以，整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，所以，
又，所以，
因为，所以的最小值为，
当且仅当三点共线时取等.
故答案为：.
【分析】先由 动点M与两定点Q，P的距离之比， 求得阿波罗尼斯圆的方程，进而求得定点坐标，再由，得到，结合三点共线求出最小值，即可得到答案.
15．【答案】（1）解：令为线段的中点，又，则，
又在圆上运动，故，
所以，故点的轨迹方程为.
（2）解：如图所示：
由（1）知圆心，且半径，
所以圆心到的距离，
所以直线与曲线相离.
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）设，根据中点坐标公式，求得，再由在圆上运动，代入化简，即可求得点M的轨迹方程；
（2）有（1）得出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离，得出与圆的半径的大小关系，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可判断位置关系，得到答案.
（1）令为线段的中点，又，则，
又在圆上运动，故，
所以，故点的轨迹方程为.
（2）由（1）知圆心，且半径，
所以圆心到的距离，
所以直线与曲线相离.
16．【答案】（1）解：由题意知：，
即：，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）解：
因为
所以
化简得：.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的前项和公式与通项公式，列出方程组，求得，写出数列的通项公式，得到答案；
（2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，化简计算，即可得到答案.
（1）由题意知：，
即：，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以
化简得：.
17．【答案】（1）证明：由底面，底面，则，
又，且均在面内，则平面；
（2）解：由题设，构建如下图示空间直角坐标系，
则，故，
若为面的一个法向量，则，
令，则，而是面的一个法向量，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由底面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意，空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）由底面，底面，则，
又，且均在面内，则平面；
（2）由题设，构建如下图示空间直角坐标系，
则，故，
若为面的一个法向量，则，
令，则，而是面的一个法向量，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解： 设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
（2）解：（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为，结合和在曲线上，列出方程组，求得a和b的值，即可求得曲线C的方程；
（2）（i）根据题意，设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，得到，结合斜率公式，化简，代入运算，即可得证；
（ii）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合（i）知，得到，求得或，进而求得直线过定点，得到答案.
（1）
设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
（2）（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．
19．【答案】（1）解：由点在椭圆上，则，
由面积的最大值为2，则，故，
所以，故.
（2）由（1）知，则，联立，
所以，则，显然，
所以，，则，
由到的距离，
所以的面积.
（3）令且，若椭圆上为切点的切线为，则，令，则切线为，
联立椭圆，可得，
所以，则，
即，则，
由题意有，则，故，
所以
又，则，代入上式整理得，
所以为所求切线方程，将代入，得，
所以，故中点为，
且，
以为直径的圆为，
当，有，
所以，则，
所以，
以为直径的圆恒过，即，同理对于任意，都有，
如下图，对于，即，则，即，
又椭圆均是“完美椭圆”，即，
所以，可得，
同理可得且，即是首项为1，公比为的等比数列，
所以，而为正整数，
故，得证.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，结合椭圆性质及三角形面积公式可得，再由，求，进而得到椭圆方程；
（2）根据题意，直线，联立方程组得到，，利用弦长公式和点线距离公式，以及三角形面积公式，求得三角形的面积，得到答案；
（3）根据题意，设且，若椭圆上为切点的切线为，联立椭圆求参数关系，进而得到为所求切线方程，再写出以为直径的圆并确定所过的定点得，同理可得，结合新定义有是首项为1，公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式证不等式.
（1）由点在椭圆上，则，
由面积的最大值为2，则，故，
所以，故.
（2）由（1）知，则，联立，
所以，则，显然，
所以，，则，
由到的距离，
所以的面积.
（3）令且，若椭圆上为切点的切线为，
则，令，则切线为，
联立椭圆，可得，
所以，则，
即，则，
由题意有，则，故，
所以
又，则，代入上式整理得，
所以为所求切线方程，将代入，得，
所以，故中点为，
且，
以为直径的圆为，
当，有，
所以，则，
所以，
以为直径的圆恒过，即，同理对于任意，都有，
如下图，对于，即，则，即，
又椭圆均是“完美椭圆”，即，
所以，可得，
同理可得且，即是首项为1，公比为的等比数列，
所以，而为正整数，
故，得证.
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