浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期返校联考数学试题
1．（2024高二下·浙江开学考）已知抛物线的焦点在直线上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·浙江开学考）已知向量，，则在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·浙江开学考）已知点及直线上一点B，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024高二下·浙江开学考）已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2024高二下·浙江开学考）若圆与圆只有一个交点，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2024高二下·浙江开学考）已知的三个内角分别为A，B，C，则的值可能是（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
7．（2024高二下·浙江开学考）圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲性 D．抛物线
8．（2024高二下·浙江开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·浙江开学考）已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
10．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段上一点（含端点），则直线与平面所成角不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
11．（2024高二下·浙江开学考）已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．数列中任意三项不能构成等比数列
D．数列中可能存在三项成等比数列
12．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
13．（2024高二下·浙江开学考）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有 排座位.
14．（2024高二下·浙江开学考）设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为 .
15．（2024高二下·浙江开学考）已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为 .
16．（2024高二下·浙江开学考）已知点P是直线上一点，点Q是椭圆上一点，设点为线段PQ的中点，O为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 .
17．（2024高二下·浙江开学考）设，函数.
（1）若有且只有一个零点，求a的取值范围；
（2）若的一个极值点为1，求函数的极值.
18．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
19．（2024高二下·浙江开学考）如图，是边长为2的等边三角形，且.
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（2024高二下·浙江开学考）记为数列的前n项和，已知，且，，成等比数列.
（1）写出，并求出数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，若对任意的，恒成立，求a的取值范围.
21．（2024高二下·浙江开学考）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
22．（2024高二下·浙江开学考）已知等轴双曲线C过定点，直线l与双曲线C交于P，Q两点，记，，，且.
（1）求等轴双曲线C的标准方程；
（2）证明：直线l过定点.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知抛物线的焦点为，又因为焦点在直线上，
则，则。
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的标准方程求焦点坐标的方法，再由已知条件和代入法得出p的值。
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：已知向量，，
则在上的投影为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求投影的方法，进而得出在上的投影。
3．【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知点到直线的距离为，
又因为点B是直线上任意一点，则，所以的值不可能为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式得出的最小值，从而找出不可能的取值。
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的公比为，又的各项为正，所以，；
则由可得，
两式相除整理可得，解得或（舍）；
代入可得.
故选：C
【分析】利用，构造方程组可解得公比，代入计算得.
5．【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆与圆只有一个交点，所以两圆外切或内切，
当两圆外切时，因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆心距为，
则，所以，，当时，则a=2（舍）；
当时，则（舍），所以a不存在；
当两圆内切时，则，所以，，
所以，当时，则；当时，则a=2，所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两圆相切的位置关系判断方法，再结合分类讨论的方法，进而得出满足要求的实数a的值。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，所以，即
所以，，所以，的值可能是1。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合构造法，令再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出进而得出取值范围，从而得出可能的值。
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，
切线的斜率为，则直线的方程是，
，
，①
，②
由①②可得，，③
，④
所以由③④可得，，故点的轨迹是圆.
解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，
过右焦点作于，延长与直线交于点，
则有，所以全等，所以，
由椭圆光学性质知，
设，则，
，所以，
故，即点的轨迹是圆；
故选：.
【分析】方法一：利用椭圆的切线方程的结论，进而得到直线的方程，联立切线的方程和直线的方程，化简即可确定点的轨迹；
方法二：设与椭圆相切于点，过右焦点作于，延长与直线交于点，则有全等，所以，设，结合直角三角形边与交的关系可得，，所以，故，即可求解；
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数
由题意，则，，，
由于(当且仅当x=0时取等号）恒成立，所以，
由于(当且仅当x=0时取等号）恒成立，
所以，(当且仅当x=0时取等号），
即(当且仅当x=0时取等号），所以，，
构造函数
当时，在上单调递减，
所以，所以，在上单调递减，
所以，所以，在上单调递减
所以，对任意，所以，，
综上所述，。
故答案为：B.
【分析】构造函数则，，，再利用导数判断单调性的方法，进而得出函数的值域，从而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【解答】对A，因为，所以可取，
则有或，表示两条直线，A正确；
对B，因为，所以可取，
则有，表示圆，B正确；
对C，因为，所以可取，
则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确；
对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；
故选：ABC.
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
10．【答案】C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由平面，底面为正方形得两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取得，
因为为线段上一点（含端点），
所以设，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
明显随着的增大而减小，当时，，当时，，
即，又，
所以，所以不可能是或.
故选：CD.
【分析】建立空间直角坐标系，由向量法求出线面角，再根据单调性求出范围，进而可得答案.
11．【答案】B,C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：已知数列为等差数列，，，设公差为d，
所以，，所以，，
因为数列的前n项和为，所以，
因为数列满足，所以，，
对于A，则，
所以，(常数）
所以，由等差数列的定义，则数列为等差数列，所以A错，B对；
对于C，假设数列能构成等比数列，
即成立，由（1）得
所以，整理可得，
即有
所以，即m-p=0，可得m=p与矛盾，
所以，数列中任意三项不能构成等比数列，所以C对；
对于D，因为数列的通项公式为，
所以，(常数），
所以，由等差数列的定义知数列为等差数列，又因为的值不为常数，
所以，由等比数列的定义，数列中不可能存在三项成等比数列，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而解方程组得出公差的值，再结合等差数列通项公式得出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而得出数列的通项公式，再结合等差数列、等比数列的定义，进而判断出数列，从而判断出选项A和选项B，再利用等差数列的性质，进而判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项。
12．【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】假设正方体的棱长为2.
对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，
可知，即截面的形状是正三角形，故A正确；
对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，
如果为直角梯形，例如，
由正方体的性质可知：，可知平面，
又因为平面，则∥或重合，
由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误；
对于选项C： Q为所在棱中点，如图，
则正方体的体积为8，三棱柱的体积为，
所以截面将正方体分成，故C正确；
对于选项D：如图所示，假设为的中点，，
则，
，
可得，
则六边形的周长为，
显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；
故选：AC.
【分析】
对于A：取相应棱的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面垂直分析判断；对于C：Q为所在棱中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设为的中点，，结合几何性质求周长，进而分析判断.
13．【答案】20
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，此问题为等差数列的问题，设等差数列的首项为，
公差为d，等差数列前n项和为，又因为
所以，，则，又因为，
所以n=20，所以这个报告厅共有20排座位。
故答案为：20.
【分析】利用已知条件和等差数列的定义，进而转化为等差数列的问题，再结合等差数列的前n项和公式得出这个报告厅共有的座位排数。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以，曲线在点处的切线为，又因为切线与直线垂直，
则，所以实数a的值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数求曲线的切线的方法，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数a的值。
15．【答案】
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则设正四面体ABCD的棱长为2，
则异面直线AM与BC所成的角的余弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合正四面体的结构特征和中点的性质，再结合三角形法则和平行四边形法则以及数量积的运算法则，从而得出向量的模，再结合数量积求向量夹角的余弦值公式得出异面直线AM与BC所成角的余弦值。
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线关于原点的对称直线为记直线OP与直线的交点为
连接，则设因为所以，
所以，
当时，直线与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，所以舍去；
当时，符合题意，此时则椭圆的离心率为。
故答案为：.
【分析】利用直线与直线关于原点对称的方法得出对称直线，再联立两直线求交点的方法和中点的性质和几何法求最值的方法，从而由已知条件和直线与椭圆相交的位置关系以及的最小值，从而找出满足要求的a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的值。
17．【答案】（1）解：，若有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是0
故，，即函数无零点；
，
（2）解：
的一个极值点为1，，
，
当时，，单调递减
当，时，，单调递增
，
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法进而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合导数求极值点的方法得出a的值，进而得出函数f(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值。
18．【答案】（1）易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
（2）如下图所示：
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式利用化简整理可得点的轨迹的方程为；
（2）求出面积最大时点，可得的直线方程为，再由弦长公式可得结果.
（1）易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
（2）如下图所示：
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
19．【答案】（1）
是边长为2的等边三角形，，又，
中，，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为，
则，
又，即，，
平面，又平面，，
又.
（2）由（1）知，
又，且，
且平面，平面，
又，，
设中点为，则，又，且，
，且，平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则，
，，，
，；
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，，
，取，则，
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据题意，由点到面的距离公式可证平面，再由勾股定理即可得到结果；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
（1）
是边长为2的等边三角形，，又，
中，，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为，
则，
又，即，，
平面，又平面，，
又.
（2）由（1）知，
又，且，
且平面，平面，
又，，
设中点为，则，又，且，
，且，平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则，
，，，
，；
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，，
，取，则，
20．【答案】（1）解：由，，成等比数列得，且，
当时；
当时，，又
，
，
（2）解：解法一：由（1）易得，
则，故，
，而
，.
解法二：设，则；
是一个等比数列
，
，而
，.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）由，，成等比数列和等比中项公式得出，且，
再由赋值法得出等差数列第二项的值，再利用的关系式和等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用两种方法求解。
解法一：由（1）易得，进而得出数列的通项公式，再结合等比数列求和公式得出，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围；
解法二：设，则；再利用作商法和等比数列的定义判断出数列是一个等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列求和公式得出，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解：当时，，
，故在单调递增，
又，时，，时，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：当时，
令，则，
在单调递增，又，，
，使得，且是在上的唯一零点，
在上为负，在上为正，
故在处取到极小值，也就是最小值.
，即，，
当时，求证：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2）当时，，令，
再利用求导的方法判断函数的单调性，又因为，，再结合函数的零点存在性定理，
则，使得，且是在上的唯一零点，再结合函数的零点存在性定理得出函数的极小值，进而得出函数的最小值，从而证出当时，不等式成立。
22．【答案】（1）解：设等轴双曲线；
过，，的标准方程为.
（2）证明： 设直线l的方程为；
联立方程：
设，，则；；
化简整理得：
，
，
或
当，直线l恒过定点；
当，直线l恒过定点，故舍去.
综上所述，命题得证.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）设等轴双曲线，再利用等轴双曲线C过定点个代入法，进而得出实数的值，从而得出等轴双曲线C的标准方程。
（2）设直线l的方程为，联立直线与双曲线方程和韦达定理以及判别式法，再利用两点求斜率公式得出或，再结合分类讨论的方法和直线恒过定点判断方法，进而证出直线l过定点。
1 / 1浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期返校联考数学试题
1．（2024高二下·浙江开学考）已知抛物线的焦点在直线上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：已知抛物线的焦点为，又因为焦点在直线上，
则，则。
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的标准方程求焦点坐标的方法，再由已知条件和代入法得出p的值。
2．（2024高二下·浙江开学考）已知向量，，则在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：已知向量，，
则在上的投影为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求投影的方法，进而得出在上的投影。
3．（2024高二下·浙江开学考）已知点及直线上一点B，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知点到直线的距离为，
又因为点B是直线上任意一点，则，所以的值不可能为1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合点到直线的距离公式得出的最小值，从而找出不可能的取值。
4．（2024高二下·浙江开学考）已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的公比为，又的各项为正，所以，；
则由可得，
两式相除整理可得，解得或（舍）；
代入可得.
故选：C
【分析】利用，构造方程组可解得公比，代入计算得.
5．（2024高二下·浙江开学考）若圆与圆只有一个交点，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为圆与圆只有一个交点，所以两圆外切或内切，
当两圆外切时，因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆心距为，
则，所以，，当时，则a=2（舍）；
当时，则（舍），所以a不存在；
当两圆内切时，则，所以，，
所以，当时，则；当时，则a=2，所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合两圆相切的位置关系判断方法，再结合分类讨论的方法，进而得出满足要求的实数a的值。
6．（2024高二下·浙江开学考）已知的三个内角分别为A，B，C，则的值可能是（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，所以，即
所以，，所以，的值可能是1。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合构造法，令再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出进而得出取值范围，从而得出可能的值。
7．（2024高二下·浙江开学考）圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲性 D．抛物线
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，
切线的斜率为，则直线的方程是，
，
，①
，②
由①②可得，，③
，④
所以由③④可得，，故点的轨迹是圆.
解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，
过右焦点作于，延长与直线交于点，
则有，所以全等，所以，
由椭圆光学性质知，
设，则，
，所以，
故，即点的轨迹是圆；
故选：.
【分析】方法一：利用椭圆的切线方程的结论，进而得到直线的方程，联立切线的方程和直线的方程，化简即可确定点的轨迹；
方法二：设与椭圆相切于点，过右焦点作于，延长与直线交于点，则有全等，所以，设，结合直角三角形边与交的关系可得，，所以，故，即可求解；
8．（2024高二下·浙江开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数
由题意，则，，，
由于(当且仅当x=0时取等号）恒成立，所以，
由于(当且仅当x=0时取等号）恒成立，
所以，(当且仅当x=0时取等号），
即(当且仅当x=0时取等号），所以，，
构造函数
当时，在上单调递减，
所以，所以，在上单调递减，
所以，所以，在上单调递减
所以，对任意，所以，，
综上所述，。
故答案为：B.
【分析】构造函数则，，，再利用导数判断单调性的方法，进而得出函数的值域，从而比较出a，b，c的大小。
9．（2024高二下·浙江开学考）已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A．两条直线 B．圆
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程；曲线与方程
【解析】【解答】对A，因为，所以可取，
则有或，表示两条直线，A正确；
对B，因为，所以可取，
则有，表示圆，B正确；
对C，因为，所以可取，
则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确；
对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；
故选：ABC.
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
10．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段上一点（含端点），则直线与平面所成角不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】由平面，底面为正方形得两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取得，
因为为线段上一点（含端点），
所以设，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
明显随着的增大而减小，当时，，当时，，
即，又，
所以，所以不可能是或.
故选：CD.
【分析】建立空间直角坐标系，由向量法求出线面角，再根据单调性求出范围，进而可得答案.
11．（2024高二下·浙江开学考）已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．数列中任意三项不能构成等比数列
D．数列中可能存在三项成等比数列
【答案】B,C
【知识点】等差关系的确定；等比关系的确定
【解析】【解答】解：已知数列为等差数列，，，设公差为d，
所以，，所以，，
因为数列的前n项和为，所以，
因为数列满足，所以，，
对于A，则，
所以，(常数）
所以，由等差数列的定义，则数列为等差数列，所以A错，B对；
对于C，假设数列能构成等比数列，
即成立，由（1）得
所以，整理可得，
即有
所以，即m-p=0，可得m=p与矛盾，
所以，数列中任意三项不能构成等比数列，所以C对；
对于D，因为数列的通项公式为，
所以，(常数），
所以，由等差数列的定义知数列为等差数列，又因为的值不为常数，
所以，由等比数列的定义，数列中不可能存在三项成等比数列，所以D错。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而解方程组得出公差的值，再结合等差数列通项公式得出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而得出数列的通项公式，再结合等差数列、等比数列的定义，进而判断出数列，从而判断出选项A和选项B，再利用等差数列的性质，进而判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项。
12．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
【答案】A,C
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】假设正方体的棱长为2.
对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，
可知，即截面的形状是正三角形，故A正确；
对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，
如果为直角梯形，例如，
由正方体的性质可知：，可知平面，
又因为平面，则∥或重合，
由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误；
对于选项C： Q为所在棱中点，如图，
则正方体的体积为8，三棱柱的体积为，
所以截面将正方体分成，故C正确；
对于选项D：如图所示，假设为的中点，，
则，
，
可得，
则六边形的周长为，
显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；
故选：AC.
【分析】
对于A：取相应棱的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面垂直分析判断；对于C：Q为所在棱中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设为的中点，，结合几何性质求周长，进而分析判断.
13．（2024高二下·浙江开学考）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有 排座位.
【答案】20
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，此问题为等差数列的问题，设等差数列的首项为，
公差为d，等差数列前n项和为，又因为
所以，，则，又因为，
所以n=20，所以这个报告厅共有20排座位。
故答案为：20.
【分析】利用已知条件和等差数列的定义，进而转化为等差数列的问题，再结合等差数列的前n项和公式得出这个报告厅共有的座位排数。
14．（2024高二下·浙江开学考）设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为曲线，所以，所以曲线在点处的切线的斜率为，
所以，曲线在点处的切线为，又因为切线与直线垂直，
则，所以实数a的值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数求曲线的切线的方法，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数a的值。
15．（2024高二下·浙江开学考）已知正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为正四面体ABCD，点M为棱CD的中点，则设正四面体ABCD的棱长为2，
则异面直线AM与BC所成的角的余弦值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合正四面体的结构特征和中点的性质，再结合三角形法则和平行四边形法则以及数量积的运算法则，从而得出向量的模，再结合数量积求向量夹角的余弦值公式得出异面直线AM与BC所成角的余弦值。
16．（2024高二下·浙江开学考）已知点P是直线上一点，点Q是椭圆上一点，设点为线段PQ的中点，O为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：直线关于原点的对称直线为记直线OP与直线的交点为
连接，则设因为所以，
所以，
当时，直线与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，所以舍去；
当时，符合题意，此时则椭圆的离心率为。
故答案为：.
【分析】利用直线与直线关于原点对称的方法得出对称直线，再联立两直线求交点的方法和中点的性质和几何法求最值的方法，从而由已知条件和直线与椭圆相交的位置关系以及的最小值，从而找出满足要求的a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再根据椭圆的离心率公式得出椭圆C的离心率的值。
17．（2024高二下·浙江开学考）设，函数.
（1）若有且只有一个零点，求a的取值范围；
（2）若的一个极值点为1，求函数的极值.
【答案】（1）解：，若有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是0
故，，即函数无零点；
，
（2）解：
的一个极值点为1，，
，
当时，，单调递减
当，时，，单调递增
，
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法进而得出实数a的取值范围。
（2）利用已知条件结合导数求极值点的方法得出a的值，进而得出函数f(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值。
18．（2024高二下·浙江开学考）如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
【答案】（1）易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
（2）如下图所示：
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式利用化简整理可得点的轨迹的方程为；
（2）求出面积最大时点，可得的直线方程为，再由弦长公式可得结果.
（1）易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
（2）如下图所示：
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
19．（2024高二下·浙江开学考）如图，是边长为2的等边三角形，且.
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
是边长为2的等边三角形，，又，
中，，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为，
则，
又，即，，
平面，又平面，，
又.
（2）由（1）知，
又，且，
且平面，平面，
又，，
设中点为，则，又，且，
，且，平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则，
，，，
，；
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，，
，取，则，
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据题意，由点到面的距离公式可证平面，再由勾股定理即可得到结果；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
（1）
是边长为2的等边三角形，，又，
中，，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为，
则，
又，即，，
平面，又平面，，
又.
（2）由（1）知，
又，且，
且平面，平面，
又，，
设中点为，则，又，且，
，且，平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则，
，，，
，；
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，，
，取，则，
20．（2024高二下·浙江开学考）记为数列的前n项和，已知，且，，成等比数列.
（1）写出，并求出数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，若对任意的，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）解：由，，成等比数列得，且，
当时；
当时，，又
，
，
（2）解：解法一：由（1）易得，
则，故，
，而
，.
解法二：设，则；
是一个等比数列
，
，而
，.
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）由，，成等比数列和等比中项公式得出，且，
再由赋值法得出等差数列第二项的值，再利用的关系式和等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用两种方法求解。
解法一：由（1）易得，进而得出数列的通项公式，再结合等比数列求和公式得出，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围；
解法二：设，则；再利用作商法和等比数列的定义判断出数列是一个等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合等比数列求和公式得出，再根据不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
21．（2024高二下·浙江开学考）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）解：当时，，
，故在单调递增，
又，时，，时，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：当时，
令，则，
在单调递增，又，，
，使得，且是在上的唯一零点，
在上为负，在上为正，
故在处取到极小值，也就是最小值.
，即，，
当时，求证：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2）当时，，令，
再利用求导的方法判断函数的单调性，又因为，，再结合函数的零点存在性定理，
则，使得，且是在上的唯一零点，再结合函数的零点存在性定理得出函数的极小值，进而得出函数的最小值，从而证出当时，不等式成立。
22．（2024高二下·浙江开学考）已知等轴双曲线C过定点，直线l与双曲线C交于P，Q两点，记，，，且.
（1）求等轴双曲线C的标准方程；
（2）证明：直线l过定点.
【答案】（1）解：设等轴双曲线；
过，，的标准方程为.
（2）证明： 设直线l的方程为；
联立方程：
设，，则；；
化简整理得：
，
，
或
当，直线l恒过定点；
当，直线l恒过定点，故舍去.
综上所述，命题得证.
【知识点】恒过定点的直线；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）设等轴双曲线，再利用等轴双曲线C过定点个代入法，进而得出实数的值，从而得出等轴双曲线C的标准方程。
（2）设直线l的方程为，联立直线与双曲线方程和韦达定理以及判别式法，再利用两点求斜率公式得出或，再结合分类讨论的方法和直线恒过定点判断方法，进而证出直线l过定点。
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