2.2 分式方程-【浙江专用】2025年名师导航中考数学一轮复习学案(学生版+教师版)

文档属性

名称 2.2 分式方程-【浙江专用】2025年名师导航中考数学一轮复习学案(学生版+教师版)
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文件大小 3.0MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2025-02-21 13:06:16

文档简介

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第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1分式方程的解法 ☆☆☆ 浙江中考数学(省卷)中,分式方程的部分,考查2道题,分值为10分左右,通常以选填题(1题)、 应用题(1题)的形式考查。对于分式方程的复习,需要学生熟练掌握分式方程的解法和实际应用,整体来说难度中等,分式方程含参问题难度稍微高些,但考查频率不算太高。
考点2 分式方程的实际应用 ☆☆
中考本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题(较难)、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握。
2
2
■考点一 分式方程的解法 2
■考点二 分式方程的应用 8
14
21
■考点一 分式方程的解法
1.分式方程的概念:分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程.
注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,是判定一个方程为分式方程的依据。
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为 整式 方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘以各分式的最简公分母.
(2)解分式方程的步骤:①找 最简公分母 ,当分母是多项式时,先分解因式;②去分母,方程两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程;③解整式方程;④ 验根 .
3.增根
在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的 增根 。由于可能产生增根,所以解分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使 最简公分母为零 的根是增根,否则是原方程的根.
注意:增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解,当然原分式方程就一定无解。
■考点二 分式方程的应用
1. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审题(找等量关系);②设未知数;③列分式方程;④解分式方程;⑤检验(一验分式方程,二验实际问题);⑥答。
2. 分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间=,时间=,总利润=单件利润×销售量,利润率=利润÷成本×100%等。
■考点一 分式方程的解法
◇典例1:(2024·浙江台州·二模)解方程:.
【答案】
【详解】解:两边同时乘,得:,解得:,
经检验,是原分式方程的解.
◆变式训练
1.(2024·浙江·三模)解下列方程:(1); (2).
【答案】(1), (2)
【详解】(1)解:
或,
解得:,;
(2)
两边同时乘以得:
解方程得:,
经检验:是原方程的解,
∴原方程的解为.
2.(2024·浙江杭州·一模)(1)计算: (2)解方程:
【答案】(1)3;(2)
【详解】(1)

(2)
去分母得,
解得:
经检验,是原方程的解.
◇典例2:(2024·浙江金华·模拟预测)小华化简分式出现了错误,解答过程如下:
解:去分母得:①
去括号得:②
移项得:③
合并同类项得:④
系数化为1得:⑤
经检验,是原分式方程的解.
请指出错误步骤(一步即可),并写出正确的解答过程.
【答案】从① 步开始出错,正确的解析过程见详解
【详解】解:去分母时,等式两边的各项都要乘以公分母,
∴在去分母时应为:,故从①步开始出错;
正确的解析过程如下,方程两边同时乘以,去分母得,
去括号得,
移项得,
合并同类项得,
系数化为1得,
检验,当时,原分式方程的分母不为0,有意义,∴是原分式方程的解.
◆变式训练
1.(2024·浙江金华·二模)小汪解答“解分式方程:”的过程如下:
你认为他的解题过程正确吗?若正确,请检验;若不正确,请指出错误(从第几步开始错),并写出正确的解答过程.
解:去分母得:…①, 去括号得:…②, 移项得:…③, 合并同类项得:…④, 系数化为1得:…⑤, 经检验,是原分式方程的解.
【答案】第①步开始错,正解见解析
【详解】不正确,从第①步开始错,正确步骤如下:
原方程去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
检验:当时,,
故原方程的解为.
2.(2024·浙江温州·一模)小丁和小迪分别解方程过程如下:
小丁: 解:去分母,得 去括号,得 合并同类项,得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解:去分母,得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验,是方程的增根,原方程无解
老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误,请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线,然后写出正确的解答过程.
【答案】小丁和小迪的解法都是第一步错误;见解析
【分析】本题考查分式方程的解法,根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可.
【详解】解:小丁和小迪的解法都是第一步错误.
正确解法如下:去分母得:,
移项,合并同类项得: 解得:
检验:将代入中可得:,故原分式方程的解是.
◇典例4:(2024·浙江舟山·一模)小红带着数学兴趣小组研究分式,下列说法正确的是( )
A.当时, B.当时,
C.当时, D.当越来越大时,的值越来越接近于1
【答案】D
【详解】解:当时,,原说法错误,选项A不符合题意;
当时,去分母得,解得,经检验是方程的解,原说法错误,选项B不符合题意;
当时,∵,∴,原说法错误,选项C不符合题意;
当越来越大时,的值越来越接近于1,说法正确,选项D符合题意;故选:D.
◆变式训练
1.(2024·四川达州·模拟预测)对于实数、,定义一种新运算“”为:,这里等式右边是实数运算.例如:,则方程解的情况是( )
A. B. C. D.无解
【答案】D
【详解】解:由题意可得,,∵,∴,
去分母得,解得:,
把代入得,,∴原方程无解,故选;D.
2.(2024·浙江·模拟预测)仔细观察下面的等式,试解答下面的题目:
(1)解方程:,解得 ;(2)解方程:,解得 .
【答案】 4或
【详解】(1),,
可得或,故答案为:或;
(2),

故可得 故答案为:
3.(2024·河北沧州·模拟预测)在如图所示的正方形数阵中规定运算:,若,则 ,此时关于 的分式方程的解为 .
【答案】
【详解】解:由题意可得,即,解得:,
则分式方程为,去分母得:,解得:,
检验:当时,,故分式方程的解为,故答案为:;.
◇典例4:(2024·浙江杭州·一模)已知关于的分式方程的解是非负数,则的取值范围是 ,时,分式方程的解为 .
【答案】 且 /2
【详解】解:原方程去分母得:,解得:,
∵原方程的解是非负数,∴且,解得:且;
当时,,检验:当时,,
故此时原方程的解为,故答案为:且;.
◆变式训练
1.(2023·黑龙江·统考中考真题)若分式方程的解为负数,则a的取值范围是( )
A.且 B.且 C.且 D.且
【答案】D
【详解】解:去分母得:,解得:,
∵分式方程的解是负数,∴,,即,
解得:且,故选:D.
2.(2024·安徽六安·九年级校考期末)若关于x的分式方程有增根,则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【详解】去分母得:,解得
∵分式方程有增根,∴,即,∴增根为3,,
把代入整式方程得:,解得.故选:D.
3.(2024·四川遂宁·模拟预测)若关于x的方程无解,则m的值为( )
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
【答案】D
【详解】方程两边同乘,得,整理得,
原方程无解,当时,;
当时,或,此时,,解得或,
当时,无解;当时,,解得;
综上,m的值为0或4;故选:D.
4.(2024·湖北·模拟预测)若分式方程的解为整数,则整数___________.
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项,化简、用来表示,再根据解为整数来确定的值.
【详解】解:,
整理得:
若分式方程的解为整数,
为整数,当时,解得:,经检验:成立;
当时,解得:,经检验:分母为0没有意义,故舍去;
综上:,故答案是:.
■考点二 分式方程的应用
◇典例5:(2024·浙江温州·二模)某地发生地震后,受灾地区急需大量物资.某帐篷生产企业接到任务后,加大生产投入,提高效率,实际每天生产帐篷比原计划多100顶.已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同,设该企业现在每天生产帐篷x顶,可列出方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:设该企业现在每天生产帐篷x顶,则原计划每天生产顶,根据题意得,
故选:D.
◆变式训练
1.(2024·浙江杭州·二模)某工程需要在规定时间内完成,如果甲工程队单独做,恰好如期完成;如果乙工程队单独做,则多用3天,现在甲、乙两队合做2天,剩下的由乙队单独做,恰好如期完成,求规定时间.如果设规定日期为x天,下面所列方程中正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:设规定日期为x天,甲工程队单独做,恰好如期完成;如果乙工程队单独做,则多用3天,∴乙完成的天数是天,∴甲的工作效率为,乙的工作效率为,
现在甲、乙两队合做2天,∴剩下的工作量为,
剩下的由乙队单独做,恰好如期完成,∴,
整理得,, 故选:C .
2.(2024·浙江台州·一模)某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动,全程36千米.因堵车大巴车晚到,推迟了10分钟出发,途中大巴车平均每小时比原计划多走,结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划平均速度为x千米/时,则可列方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:途中大巴车平均每小时比原计划多走,且大巴车原计划的平均速度为千米时,
大巴车实际的平均速度为千米时.根据题意得:.故选:D.
3.(2024·浙江台州·二模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,请人去买几株椽.每 株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱,试问6210文能买多少株椽?若设这批椽的数量为x株,则可列分式方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,且这批椽的数量为株,
每株椽的价钱为文.根据题意得:.故选:B.
◇典例6:(2024·河南驻马店·三模)小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球,已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同,如下是两位同学了解到的具体情况:
下面是两位同学分别列出来的两个方程:
小王:;小李:;其中的x表示的意义为( )
A.均为篮球的数量
B.均为篮球的单价
C.小王方程中的x表示篮球的数量,小李方程中的x表示篮球的单价
D.小王方程中的x表示篮球的单价,小李方程中的x表示篮球的数量
【答案】C
【详解】解:由0.7所处位置可得出,小王所列方程中,x表示篮球的数量,小李方程中的x表示篮球的单价,所以,只有选项C中的x表示的意义正确,故选:C
◆变式训练
1.(2024·山西运城·三模)随着科学技术的不断发展,“无人机”在农业生产中得到广泛应用.经实践调查,一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍,120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时,则一架无人机平均每小时喷洒农药( )
A.32亩 B.45亩 C.60亩 D.75亩
【答案】C
【详解】解:设一个人平均每小时喷洒农药x亩,则一架无人机平均每小时喷洒农药亩,
根据题意得:,解得:,经检验,是原方程的解,且符合题意,
则一架无人机平均每小时喷洒农药亩,故选C
2.(2024·浙江杭州·二模)某书店分别用400元和500元两次购进同一种书,第二次数量比第一次多10本,且两次进价相同,则该书店第一次购进 本.
【答案】40
【详解】解:设第一次购进x本书,则第二次购进本书,则
,解得,经检验,是分式方程的解,且符合题意,故答案为40.
3.(2024·浙江杭州·一模)某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出售,若用40元钱买这种水果,可以比打折前多买2斤,则该水果打折前的单价为 元/斤.
【答案】5
【详解】解:设该水果打折前的单价为元斤,则打折后的单价为元斤,
根据题意得:,解得:,经检验,是所列方程的解,且符合题意,
该水果打折前的单价为5元斤.故答案为:5.
◇典例7:(2024·浙江温州·三模)如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动,准备租赁,两款野餐垫.已知款野餐垫单价是款的倍,用元租款比租款多张.
(1)求,两款野餐垫的租赁单价.(2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完,每张野餐垫都坐满,最多能提供多少人就坐?写出此时的租赁方案.
【答案】(1)款野餐垫的租赁单价为元,则款野餐垫单价是元
(2)最多提供人就坐;租款野餐垫张,则租款野餐垫张
【详解】(1)解:设款野餐垫的租赁单价为元,则款野餐垫单价是元,根据题意得,
解得:,经检验是原方程的解,∴元,
答:款野餐垫的租赁单价为元,则款野餐垫单价是元;
(2)解:设租款野餐垫张,则租款野餐垫张,
∵是正整数,∴
设提供人就坐,根据题意得,
∴当取得最大值时,,∴
此时的租赁方案为:租款野餐垫张,则租款野餐垫张.
答:最多提供人就坐;租款野餐垫张,则租款野餐垫张.
◆变式训练
1.(2024·浙江衢州·模拟预测)常山“双柚汁”因为口感清新,营养价值丰富而深受市民的喜爱,某超市购进两种不同品牌的双柚汁,品牌总花费元,单价元箱,品牌总花费元,单价元箱,其中品牌双柚汁比品牌多箱.(1)求品牌购进的数量;(2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁,在品牌售出一半,品牌售出后,超市决定加大销售力度,对品牌按买箱送箱捆绑销售,品牌每箱降价元销售;①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额;②若超市的总利润不低于元,求的最大值.
【答案】(1)100箱 (2)①元;②的最大值为元
【详解】(1)解:由题意可知,品牌购进箱,品牌购进箱,
品牌双柚汁比品牌多箱,,解得,
经检验,是分式方程的解,品牌购进箱;
(2)解:①由(1)可知,品牌购进箱,品牌购箱,
品牌售出一半,即箱,每箱元共销售元,品牌售出即箱,每箱元共销售元,
品牌按买箱送箱,剩余箱可凑个箱送箱,共销售元,
品牌每箱降价元销售,即每箱售价元,剩余产品共销售元,
全部售完后的销售额元;
②由题意得: 解得:,的最大值为10元.
2.(2024·重庆渝北·模拟预测)某工厂有40名工人,生产甲、乙两种摩托车配套零件,每个工人每天能加工甲种零件30个,或乙种零件20个.
(1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件,应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套?(2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司,一月份的销售总额为30万元,受市场影响,二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了,销量比一月份少了500个,结果二月份的销售总额比一月份多了3万元,求一月份每个完整部件的销售单价为多少元?
【答案】(1)应安排10名工人生产甲零部件,30名工人生产乙零部件,才能使生产出来的两种零部件刚好配套 (2)一月份每个完整部件的销售单价为50元
【详解】(1)解:设应安排名工人生产甲零部件,名工人生产乙零部件,才能使生产出来的两种零部件刚好配套.依题意,得.解得,所以.
答:应安排10名工人生产甲零部件,30名工人生产乙零部件,才能使生产出来的两种零部件刚好配套.
(2)解:设一月份每个完整部件的销售单价为y万元,则二月份每个完整部件的销售单价为万元,依题意,得,解得:万元元,
经检验:是方程的解,且符合题意,故一月份每个完整部件的销售单价为50元.
1.(2024·四川泸州·中考真题)分式方程的解是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:,





经检验是该方程的解,故选:D.
2.(2024·黑龙江绥化·中考真题)一艘货轮在静水中的航速为,它以该航速沿江顺流航行所用时间,与以该航速沿江逆流航行所用时间相等,则江水的流速为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:设江水的流速为,根据题意可得:,解得:,
经检验:是原方程的根,答:江水的流速为.故选:D.
3.(2024·四川广元·中考真题)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买A、B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:设B种绿植单价是x元,则A种绿植单价是元,根据题意得:
,故选:C.
4.(2024·四川达州·中考真题)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工个零件.可列方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:设乙每小时加工个零件,则甲每小时加工个零件,
由题意得,故选:D.
5.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如果关于的分式方程的解是负数,那么实数的取值范围是( )
A.且 B. C. D.且
【答案】A
【详解】解:方程两边同时乘以得,,解得,
∵分式方程的解是负数,∴,∴,
又∵,∴,∴,∴,∴且,故选:.
6.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)已知关于x的分式方程无解,则k的值为( )
A.或 B. C.或 D.
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况,理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分母,化为整式方程,再分两种情况分别求解即可.
【详解】解:去分母得,,整理得,,
当时,方程无解,
当时,令,解得,
所以关于x的分式方程无解时,或.故选:A.
7.(2024·四川遂宁·中考真题)分式方程的解为正数,则的取值范围( )
A. B.且 C. D.且
【答案】B
【详解】解:方程两边同时乘以得,,解得,
∵分式方程的解为正数,∴,∴,
又∵,即,∴,∴的取值范围为且,故选:.
8.(2024·山东·中考真题)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
【答案】B
【详解】解:设改造后每天生产的产品件数为,则改造前每天生产的产品件数为,
根据题意,得:,解得:,经检验是分式方程的解,且符合题意,
答:改造后每天生产的产品件数.故选:B.
9.(2024·浙江·中考真题)若,则 。
【答案】
【详解】解:去分母得:,移项合并得:,解得:,
经检验,是分式方程的解,故答案为:
10.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)若分式方程的解为正整数,则整数m的值为 .
【答案】
【详解】解:,化简得:,
去分母得:,移项合并得:,解得:,
由方程的解是正整数,得到为正整数,即或,
解得:或(舍去,会使得分式无意义).故答案为:.
11.(2024·四川达州·中考真题)若关于的方程无解,则的值为 .
【答案】或2
【详解】解:去分母得:,解得:,
∵关于的方程无解,∴当或时,分式方程无解,
解得:或(经检验是原方程的解),
即或,无解.故答案为:或2.
12.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)小丁和小迪分别解方程过程如下:
小丁: 解:去分母,得 去括号,得 合并同类项,得 解得 ∴原方程的解是 小迪: 解:去分母,得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验,是方程的增根,原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
【答案】都错误,见解析
【详解】小丁和小迪的解法都错误;
解:去分母,得,
去括号,得,
解得,,经检验:是方程的解.
【点睛】本题考查分式方程的解法,熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
13.(2024·广东广州·中考真题)解方程:.
【答案】
【详解】解:,
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
解得:,
经检验,是原方程的解,
该分式方程的解为.
14.(2024·江苏常州·中考真题)书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画在装裱前的大小是,装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm.若装裱后与的比是,且,,,求四周边衬的宽度.
【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是
【详解】解:由题意,得:,,
∵与的比是,∴,解得:,经检验是原方程的解.
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是.
15.(2024·黑龙江大庆·中考真题)为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时):7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23:00—次日7:00,峰时电价比谷时电价高元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价.
【答案】该市谷时电价元/度
【详解】解:设该市谷时电价为元/度,则峰时电价元/度,根据题意得,,
解得:,经检验是原方程的解,答:该市谷时电价元/度.
16.(2024·山东泰安·中考真题)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人.甲组每天加工件农产品,乙组每天加工件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍,求甲、乙两组各有多少名工人?
【答案】甲组有名工人,乙组有名工人
【详解】解:设甲组有名工人,则乙组有名工人.
根据题意得:,解答:,
经检验,是所列方程的解,且符合题意,.
答:甲组有名工人,乙组有名工人.
17.(2024·山东威海·中考真题)某公司为节能环保,安装了一批型节能灯,一年用电千瓦·时.后购进一批相同数量的型节能灯,一年用电千瓦·时.一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时.求一盏型节能灯每年的用电量.
【答案】千瓦·时
【详解】解:设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时,
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得 解得 经检验:是原分式方程的解.
答:一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
18.(2024·广西·中考真题)综合与实践:在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为,每次拧干后校服上都残留水.
浓度关系式:.其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务:(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要多少清水?(2)如果把清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
【答案】(1)只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要清水.
(2)进行两次漂洗,能达到洗衣目标;(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【详解】(1)解:把,代入得,
解得.经检验符合题意;
∴只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要清水.
(2)解:第一次漂洗:把,代入,∴,
第二次漂洗:把,代入,
∴,而,∴进行两次漂洗,能达到洗衣目标;
(3)解:由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,
∴从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.
19.(2024·重庆·中考真题)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条?
(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备?
【答案】(1)该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条;(2)需要更新设备费用为万元
【详解】(1)解:设该企业甲类生产线有条,则乙类生产线各有条,则,
解得:,则;答:该企业甲类生产线有10条,则乙类生产线各有20条;
(2)解:设购买更新1条甲类生产线的设备为万元,则购买更新1条乙类生产线的设备为万元,则,解得:,经检验:是原方程的根,且符合题意;则,
则还需要更新设备费用为(万元);
20.(2024·重庆·中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要、两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15000元,已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元.(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元?(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米?
【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元,则种外墙漆每千克的价格为元.
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米.
【详解】(1)解:设种外墙漆每千克的价格为元,则种外墙漆每千克的价格为元,
∴,解得:,∴,
答:种外墙漆每千克的价格为元,种外墙漆每千克的价格为元.
(2)设甲每小时粉刷外墙面积为平方米,则乙每小时粉刷外墙面积是平方米;
∴,解得:,经检验:是原方程的根且符合题意,
答:甲每小时粉刷外墙的面积是平方米.
1.(2024·山东临沂·模拟预测)当比多1时,( )
A.4 B.6 C. D.
【答案】B
【详解】解:∵比多1 ∴即 ∴
经检验是的解故选:B
2.(2023·江苏苏州·模拟预测)甲,乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走千米,结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地,求乙每小时走多少千米?( )
A. B.或 C. D.
【答案】C
【详解】解:设甲,乙相遇前甲每小时走x千米,相遇后甲每小时走千米,则乙每小时走x千米,根据题意得:甲乙相遇前的速度一样,可知甲乙相遇时,都是走了总路程的一半即10千米,
则,即,
整理得:,解得:或(舍去),
当时,,是原分式方程的解,则乙每小时走4千米,故选:C.
3.(2024·上海·模拟预测)野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷,每套试卷含数理化三科,每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员,在销售过程中,因多出5套试卷,以每套10元的白菜价送给了其他同学,最后野豪猪内卷会盈利950元,则一套试卷的进价为( )
A.50元 B.100元 C.120元 D.240元
【答案】A
【详解】解:设每套试卷的进价为元,则每套试卷的售价为元,
根据题意得,整理得,
解得,(不合题意,舍去),经检验,是原方程的解,且符合题意;
答:每套试卷的进价为50元,故选:A.
4.(2024·浙江金华·三模)在课外活动跳绳时,相同时间内小季跳下,小范比小季多跳下,已知小范每分钟比小季多跳下,设小季每分钟跳下,可列出方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解:设小季每分钟跳下,那么小范每分钟跳,
根据题意得:,故选:B.
5.(2024·浙江台州·二模)为进一步深入开展“五水共治”工作,提升水环境质量,某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务,为了减少施工对居民生活的影响,实际施工时每天的工作效率比原计划增加了,结果提前10天完成这一任务,设原计划每天完成x 米的清淤任务,则所列出的方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】解:设原计划每天完成x米的清淤任务,则实际施工时每天完成米的清淤任务,
根据题意,得,故选:D.
6.(2024·浙江·一模)如图,分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y(单位:元)与行驶路程S(单位:千米)的关系,已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的2倍少0.1元,设电动汽车每千米所需的费用为x元,则可列方程为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:由题意得:燃油汽车每千米所需的费用为元,
由函数图象可知,燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时,所行驶的路程相等,
则可列方程为,故选:A.
7.(2023·浙江宁波·模拟预测)如图,装裱一幅宽、长的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,装裱上去的上下部分宽都为,若装裱上去的左右部分的宽都为,则( )
A.9 B.12 C.16 D.18
【答案】A
【详解】解:根据题意,大矩形的长为:(),宽为:,
∵大矩形与原矩形画相似,∴或,
解得,或(不符合题意,舍去),
检验,当时,原分式方程的分母不为0,有意义,∴,故选:A .
8.(2024·山东菏泽·校考三模)对于实数和,定义一种新运算“”为:,这里等式右边是实数运算.例如:.则方程的解是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意化简:,∴,解得:,
经检验:是原分式方程的解,故选:.
9.(2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测)若关于的分式方程的解为正实数,则实数的取值范围是( )
A.且 B.且 C. D.且
【答案】D
【详解】解:,方程两边同乘得,,解得,,
,,由题意得,,解得,,
实数的取值范围是:且.故选:D.
10.(2023·黑龙江绥化·统考二模)若关于x的分式方程无解,则m的值为(  )
A.0 B.2或4 C.4 D.0或2
【答案】D
【详解】解:方程两边同乘,得,整理得,
∵原方程无解,∴当时,;
当时,此时,,当时,无解;当时,,解得;
综上,m的值为0或2;故选:D.
11.(2024·河北沧州·校考模拟预测)“若关于的方程无解,求的值.”尖尖和丹丹的做法如下(如图1和图2):

下列说法正确的是( )
A.尖尖对,丹丹错 B.尖尖错,丹丹对 C.两人都错 D.两人的答案合起来才对
【答案】D
【详解】解:由题意可得,去分母可得,,移项合并同类项得,,
当时,即时方程无解,
当时,即时,,
∵方程无解,
即是方程的增根,可得:,解得:,
∴,解得:,故选D;
12.(2023·浙江宁波·模拟预测)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,.若,则x的值为 .
【答案】/
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算,解分式方程,利用因式分解解高次方程,正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键.根据新定义可得,由此建立方程解方程即可.
【详解】解:∵,∴,
又∵,∴,∴,∴,∴,
∵即,∴,解得,
经检验是方程的解,故答案为:.
13.(2024·广东 校考二模)解分式方程 .
【答案】
【详解】解:方程可变为,,
方程两边都乘以最简公分母得,,
去括号,得,解得,
检验:当时,,∴原方程的解是.
14.(2023·浙江·模拟预测)已知关于的方程的方程恰好有一个实数解,求的值及方程的解.
【答案】, 或,;或或,或,
【详解】解:两边同乘,得,
若,
若,由题意,知,
解得,
当时,,当时,,
若方程有两不等实根,则其中一个为增根,
当时,,,
当时,,.
15.(2024·浙江杭州·模拟预测)小王同学解分式方程的过程,请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
解:去分母得:①
去括号得:②
移项得:③
合并同类项得:④
系数化为1得:⑤
是原分式方程的解⑥
【答案】错误的步骤是①、②,正确解答见解析
【详解】解:错误的步骤是①、②,正确解答如下:
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
解得:,
检验:当时,,
所以分式方程的解为.
16.(2024·浙江·一模)微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔,请根据他们如图的聊天截屏信息,求出第一家网店每支签字笔的单价.
【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元
【详解】解:设第一家网店每支签字笔的单价是x元,现在每支签字笔的价格是元,
依题意得:,解得:,
经检验:是原方程的解,
答:第一家网店每支签字笔的价格是10元.
17.(2024·山西长治·模拟预测)平遥推光漆器是中国四大名漆器之一,以手掌推光和描金彩绘技艺著称,是山西省著名的汉族传统手工艺品,历史悠久,它始于唐开元年间,盛于明清,距今已有一千二百余年的历史,随着中国网络快速发展,平遥漆器博物馆不断向线上拓展.某漆器厂计划制作3000个“漆器”摆件进行网上销售,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数案量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务,问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件?
【答案】200个
【详解】解:设原计划平均每天制作个“漆器”摆件,
由题意得:,解得:,
经检验,是原方程的解,且符合题意,
答:原计划平均每天制作200个“漆器”摆件.
18.(2024·江苏盐城·二模)学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ,购买足球共花费750元,购买篮球共花费900元,购买足球的数量比购买篮球的数量多15个.
请从①篮球的单价是足球单价的3倍;②足球的单价是篮球单价的2倍;③篮球的单价比足球的单价贵60元;这3个选项中选择一个作为条件(填序号),并求出足球的单价.
【答案】①;足球的单价为30元
【详解】解:选择①篮球的单价是足球单价的3倍,理由如下:
设足球的单价为元,则篮球的单价为元,
由题意得:,解得:,
经检验,是原方程的解,且符合题意,
即足球的单价为30元,故答案为:①(答案不唯一).
19.(2024·重庆铜梁·一模)某建筑公司承建一段6000米的高速路,计划由甲、乙两个工程队同时施工,12天可完成总工程,已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米.根据以上信息,解答下列问题:(1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米?(2)实际施工时,因为遭遇雨季,甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米,甲乙同时施工,完成总工程时,甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的,求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米?
【答案】(1)甲工程队计划每天施工200米,乙工程队计划每天施工300米
(2)甲工程队实际每天施工100米,乙工程队实际每天施工200米
【详解】(1)设甲工程队计划每天施工米,则乙工程队计划每天施工米,
根据题意得:,解得,,
甲工程队计划每天施工200米,乙工程队计划每天施工300米;
(2)完成总工程时,甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的,
甲工程队施工总量为,乙工程队施工总量为;
根据题意得,解得,经检验,是原方程的解,符合题意,
,,
甲工程队实际每天施工100米,乙工程队实际每天施工200米.
20.(2024·安徽马鞍山·三模)李师傅的厢式大卡车的自重为18吨,车厢的容积为,负责将两种产品从甲地运往乙地,两种产品部分规格参数如下表:
每件产品的重量(吨) 每件产品的体积
1.2
1.5
(1)若满载,单独运输产品的件数是产品的1.5倍,求的值;
(2)本月李师傅要将两种产品共20件一次性运往乙地.在以往运输过程中,发现途中经过的某座跨江大殜上有如图所示的限重标志牌,显示载重后总重量超过45吨的车辆禁止通行,通过计算,李师傅发现这趟运输正好不超载,求这次运输各装载两种产品多少件?
【答案】(1)(2)这次运输装载产品10件,产品10件
【详解】(1)解:由题意,得,解得,
经检验,为原分式方程的解且符合题意,;
(2)解:设这次运输装载产品件,则这次运输装载产品件,
由题意,得,解得,,
答:这次运输装载产品10件,产品10件.
21.(2024·黑龙江·校考模拟预测)某商场欲购进A和B两种家电,已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元,经计算,用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同.请解答下列问题:(1)这两种家电每件的进价分别是多少元?(2)若该商场欲购进两种家电共100件,总金额不超过53500元,且A种家电不超过67件,则该商场有哪几种购买方案?(3)在(2)的条件下,若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元,该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工,其余家电全部售出后仍获利5050元,请直接写出这10件家电中B种家电的件数.
【答案】(1)A种家电每件的进价为500元,B种家电每件的进价为600元
(2)共有三种购买方案,方案一:购进A种家电65件,B种家电35件,方案二:购进A种家电66件,B种家电34件,方案三:购进A种家电67件,B种家电33件
(3)这10件家电中B种家电的件数4件
【详解】(1)设A种家电每件进价为x元,B种家电每件进价为元.
根据题意,得. 解得.
经检验是原分式方程的解. .
答:A种家电每件的进价为500元,B种家电每件的进价为600元;
(2)设购进A种家电a件,购进B种家电件.
根据题意,得. 解得.,.
为正整数,,则, 共有三种购买方案,
方案一:购进A种家电65件,B种家电35件,
方案二:购进A种家电66件,B种家电34件,
方案三:购进A种家电67件,B种家电33件;
(3)解:设A种家电拿出件,则B种家电拿出件,
根据(1)和(2)及题意,当购进A种家电65件,B种家电35件时,得:

整理得:,解得:,不符合实际;
当购进A种家电66件,B种家电34件时,得:

整理得:,解得:,不符合实际;
当购进A种家电67件,B种家电33件时,得:

整理得:,
解得:,符合实际;则B种家电拿出件.
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第二章 方程与不等式
2.2 分式方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1分式方程的解法 ☆☆☆ 浙江中考数学(省卷)中,分式方程的部分,考查2道题,分值为10分左右,通常以选填题(1题)、 应用题(1题)的形式考查。对于分式方程的复习,需要学生熟练掌握分式方程的解法和实际应用,整体来说难度中等,分式方程含参问题难度稍微高些,但考查频率不算太高。
考点2 分式方程的实际应用 ☆☆
中考本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题(较难)、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握。
2
2
■考点一 分式方程的解法 2
■考点二 分式方程的应用 8
14
21
■考点一 分式方程的解法
1.分式方程的概念:分母中含有 的方程叫做分式方程.
注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,是判定一个方程为分式方程的依据。
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为 方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘以各分式的最简公分母.
(2)解分式方程的步骤:①找 ,当分母是多项式时,先分解因式;②去分母,方程两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程;③解整式方程;④ .
3.增根
在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的 。由于可能产生增根,所以解分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使 的根是增根,否则是原方程的根.
注意:增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身无解,当然原分式方程就一定无解。
■考点二 分式方程的应用
1. 列分式方程解应用题的一般步骤:①审题(找等量关系);②设未知数;③列分式方程;④解分式方程;⑤检验(一验分式方程,二验实际问题);⑥答。
2. 分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间=,时间=,总利润=单件利润×销售量,利润率=利润÷成本×100%等。
■考点一 分式方程的解法
◇典例1:(2024·浙江台州·二模)解方程:.
◆变式训练
1.(2024·浙江·三模)解下列方程:(1); (2).
2.(2024·浙江杭州·一模)(1)计算: (2)解方程:
◇典例2:(2024·浙江金华·模拟预测)小华化简分式出现了错误,解答过程如下:
解:去分母得:①
去括号得:②
移项得:③
合并同类项得:④
系数化为1得:⑤
经检验,是原分式方程的解.
请指出错误步骤(一步即可),并写出正确的解答过程.
◆变式训练
1.(2024·浙江金华·二模)小汪解答“解分式方程:”的过程如下:
你认为他的解题过程正确吗?若正确,请检验;若不正确,请指出错误(从第几步开始错),并写出正确的解答过程.
解:去分母得:…①, 去括号得:…②, 移项得:…③, 合并同类项得:…④, 系数化为1得:…⑤, 经检验,是原分式方程的解.
2.(2024·浙江温州·一模)小丁和小迪分别解方程过程如下:
小丁: 解:去分母,得 去括号,得 合并同类项,得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解:去分母,得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验,是方程的增根,原方程无解
老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误,请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线,然后写出正确的解答过程.
◇典例4:(2024·浙江舟山·一模)小红带着数学兴趣小组研究分式,下列说法正确的是( )
A.当时, B.当时,
C.当时, D.当越来越大时,的值越来越接近于1
◆变式训练
1.(2024·四川达州·模拟预测)对于实数、,定义一种新运算“”为:,这里等式右边是实数运算.例如:,则方程解的情况是( )
A. B. C. D.无解
2.(2024·浙江·模拟预测)仔细观察下面的等式,试解答下面的题目:
(1)解方程:,解得 ;(2)解方程:,解得 .
3.(2024·河北沧州·模拟预测)在如图所示的正方形数阵中规定运算:,若,则 ,此时关于 的分式方程的解为 .
◇典例4:(2024·浙江杭州·一模)已知关于的分式方程的解是非负数,则的取值范围是 ,时,分式方程的解为 .
◆变式训练
1.(2023·黑龙江·统考中考真题)若分式方程的解为负数,则a的取值范围是( )
A.且 B.且 C.且 D.且
2.(2024·安徽六安·九年级校考期末)若关于x的分式方程有增根,则m的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2024·四川遂宁·模拟预测)若关于x的方程无解,则m的值为( )
A.0 B.4或6 C.6 D.0或4
4.(2024·湖北·模拟预测)若分式方程的解为整数,则整数___________.
■考点二 分式方程的应用
◇典例5:(2024·浙江温州·二模)某地发生地震后,受灾地区急需大量物资.某帐篷生产企业接到任务后,加大生产投入,提高效率,实际每天生产帐篷比原计划多100顶.已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同,设该企业现在每天生产帐篷x顶,可列出方程为( )
A. B. C. D.
◆变式训练
1.(2024·浙江杭州·二模)某工程需要在规定时间内完成,如果甲工程队单独做,恰好如期完成;如果乙工程队单独做,则多用3天,现在甲、乙两队合做2天,剩下的由乙队单独做,恰好如期完成,求规定时间.如果设规定日期为x天,下面所列方程中正确的是(  )
A. B. C. D.
2.(2024·浙江台州·一模)某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动,全程36千米.因堵车大巴车晚到,推迟了10分钟出发,途中大巴车平均每小时比原计划多走,结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划平均速度为x千米/时,则可列方程为( )
A. B. C. D.
3.(2024·浙江台州·二模)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,请人去买几株椽.每 株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱,试问6210文能买多少株椽?若设这批椽的数量为x株,则可列分式方程为( )
A. B. C. D.
◇典例6:(2024·河南驻马店·三模)小王和小李两位同学准备用720元班费给班里买一定数量的篮球,已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同,如下是两位同学了解到的具体情况:
下面是两位同学分别列出来的两个方程:
小王:;小李:;其中的x表示的意义为( )
A.均为篮球的数量
B.均为篮球的单价
C.小王方程中的x表示篮球的数量,小李方程中的x表示篮球的单价
D.小王方程中的x表示篮球的单价,小李方程中的x表示篮球的数量
◆变式训练
1.(2024·山西运城·三模)随着科学技术的不断发展,“无人机”在农业生产中得到广泛应用.经实践调查,一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍,120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时,则一架无人机平均每小时喷洒农药( )
A.32亩 B.45亩 C.60亩 D.75亩
2.(2024·浙江杭州·二模)某书店分别用400元和500元两次购进同一种书,第二次数量比第一次多10本,且两次进价相同,则该书店第一次购进 本.
3.(2024·浙江杭州·一模)某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出售,若用40元钱买这种水果,可以比打折前多买2斤,则该水果打折前的单价为 元/斤.
◇典例7:(2024·浙江温州·三模)如图某户外俱乐部计划组织成员到露营基地进行野餐活动,准备租赁,两款野餐垫.已知款野餐垫单价是款的倍,用元租款比租款多张.
(1)求,两款野餐垫的租赁单价.(2)该俱乐部用元租这两款野餐垫且恰好全部用完,每张野餐垫都坐满,最多能提供多少人就坐?写出此时的租赁方案.
◆变式训练
1.(2024·浙江衢州·模拟预测)常山“双柚汁”因为口感清新,营养价值丰富而深受市民的喜爱,某超市购进两种不同品牌的双柚汁,品牌总花费元,单价元箱,品牌总花费元,单价元箱,其中品牌双柚汁比品牌多箱.(1)求品牌购进的数量;(2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁,在品牌售出一半,品牌售出后,超市决定加大销售力度,对品牌按买箱送箱捆绑销售,品牌每箱降价元销售;①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额;②若超市的总利润不低于元,求的最大值.
2.(2024·重庆渝北·模拟预测)某工厂有40名工人,生产甲、乙两种摩托车配套零件,每个工人每天能加工甲种零件30个,或乙种零件20个.
(1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件,应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套?(2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司,一月份的销售总额为30万元,受市场影响,二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了,销量比一月份少了500个,结果二月份的销售总额比一月份多了3万元,求一月份每个完整部件的销售单价为多少元?
1.(2024·四川泸州·中考真题)分式方程的解是( )
A. B. C. D.
2.(2024·黑龙江绥化·中考真题)一艘货轮在静水中的航速为,它以该航速沿江顺流航行所用时间,与以该航速沿江逆流航行所用时间相等,则江水的流速为( )
A. B. C. D.
3.(2024·四川广元·中考真题)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买A、B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是( )
A. B. C. D.
4.(2024·四川达州·中考真题)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工个零件.可列方程为( )
A. B. C. D.
5.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如果关于的分式方程的解是负数,那么实数的取值范围是( )
A.且 B. C. D.且
6.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)已知关于x的分式方程无解,则k的值为( )
A.或 B. C.或 D.
7.(2024·四川遂宁·中考真题)分式方程的解为正数,则的取值范围( )
A. B.且 C. D.且
8.(2024·山东·中考真题)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
9.(2024·浙江·中考真题)若,则 。
10.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)若分式方程的解为正整数,则整数m的值为 .
11.(2024·四川达州·中考真题)若关于的方程无解,则的值为 .
12.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)小丁和小迪分别解方程过程如下:
小丁: 解:去分母,得 去括号,得 合并同类项,得 解得 ∴原方程的解是 小迪: 解:去分母,得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验,是方程的增根,原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
13.(2024·广东广州·中考真题)解方程:.
14.(2024·江苏常州·中考真题)书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画在装裱前的大小是,装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm.若装裱后与的比是,且,,,求四周边衬的宽度.
15.(2024·黑龙江大庆·中考真题)为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时):7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23:00—次日7:00,峰时电价比谷时电价高元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价.
16.(2024·山东泰安·中考真题)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人.甲组每天加工件农产品,乙组每天加工件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍,求甲、乙两组各有多少名工人?
17.(2024·山东威海·中考真题)某公司为节能环保,安装了一批型节能灯,一年用电千瓦·时.后购进一批相同数量的型节能灯,一年用电千瓦·时.一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时.求一盏型节能灯每年的用电量.
18.(2024·广西·中考真题)综合与实践:在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为,每次拧干后校服上都残留水.
浓度关系式:.其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务:(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要多少清水?(2)如果把清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
19.(2024·重庆·中考真题)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条?
(2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备?
20.(2024·重庆·中考真题)某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要、两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15000元,已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元.(1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元?(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米?
1.(2024·山东临沂·模拟预测)当比多1时,( )
A.4 B.6 C. D.
2.(2023·江苏苏州·模拟预测)甲,乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行,相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走千米,结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地,求乙每小时走多少千米?( )
A. B.或 C. D.
3.(2024·上海·模拟预测)野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷,每套试卷含数理化三科,每套以比进价高10元的优惠价格卖给成员,在销售过程中,因多出5套试卷,以每套10元的白菜价送给了其他同学,最后野豪猪内卷会盈利950元,则一套试卷的进价为( )
A.50元 B.100元 C.120元 D.240元
4.(2024·浙江金华·三模)在课外活动跳绳时,相同时间内小季跳下,小范比小季多跳下,已知小范每分钟比小季多跳下,设小季每分钟跳下,可列出方程为( )
A. B. C. D.
5.(2024·浙江台州·二模)为进一步深入开展“五水共治”工作,提升水环境质量,某工程队承担了黄湾塘河3000米河道的消淤任务,为了减少施工对居民生活的影响,实际施工时每天的工作效率比原计划增加了,结果提前10天完成这一任务,设原计划每天完成x 米的清淤任务,则所列出的方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.(2024·浙江·一模)如图,分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y(单位:元)与行驶路程S(单位:千米)的关系,已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的2倍少0.1元,设电动汽车每千米所需的费用为x元,则可列方程为(  )
A. B. C. D.
7.(2023·浙江宁波·模拟预测)如图,装裱一幅宽、长的矩形画,要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似,装裱上去的上下部分宽都为,若装裱上去的左右部分的宽都为,则( )
A.9 B.12 C.16 D.18
8.(2024·山东菏泽·校考三模)对于实数和,定义一种新运算“”为:,这里等式右边是实数运算.例如:.则方程的解是( )
A. B. C. D.
9.(2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测)若关于的分式方程的解为正实数,则实数的取值范围是( )
A.且 B.且 C. D.且
10.(2023·黑龙江绥化·统考二模)若关于x的分式方程无解,则m的值为(  )
A.0 B.2或4 C.4 D.0或2
11.(2024·河北沧州·校考模拟预测)“若关于的方程无解,求的值.”尖尖和丹丹的做法如下(如图1和图2):

下列说法正确的是( )
A.尖尖对,丹丹错 B.尖尖错,丹丹对 C.两人都错 D.两人的答案合起来才对
12.(2023·浙江宁波·模拟预测)定义一种新运算:对于任意的非零实数a,b,.若,则x的值为 .
13.(2024·广东 校考二模)解分式方程 .
14.(2023·浙江·模拟预测)已知关于的方程的方程恰好有一个实数解,求的值及方程的解.
15.(2024·浙江杭州·模拟预测)小王同学解分式方程的过程,请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
解:去分母得:①
去括号得:②
移项得:③
合并同类项得:④
系数化为1得:⑤
是原分式方程的解⑥
16.(2024·浙江·一模)微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔,请根据他们如图的聊天截屏信息,求出第一家网店每支签字笔的单价.
17.(2024·山西长治·模拟预测)平遥推光漆器是中国四大名漆器之一,以手掌推光和描金彩绘技艺著称,是山西省著名的汉族传统手工艺品,历史悠久,它始于唐开元年间,盛于明清,距今已有一千二百余年的历史,随着中国网络快速发展,平遥漆器博物馆不断向线上拓展.某漆器厂计划制作3000个“漆器”摆件进行网上销售,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数案量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务,问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件?
18.(2024·江苏盐城·二模)学校器材室购买了一批篮球和足球、已知 ,购买足球共花费750元,购买篮球共花费900元,购买足球的数量比购买篮球的数量多15个.
请从①篮球的单价是足球单价的3倍;②足球的单价是篮球单价的2倍;③篮球的单价比足球的单价贵60元;这3个选项中选择一个作为条件(填序号),并求出足球的单价.
19.(2024·重庆铜梁·一模)某建筑公司承建一段6000米的高速路,计划由甲、乙两个工程队同时施工,12天可完成总工程,已知甲工程队每天比乙工程队少施工100米.根据以上信息,解答下列问题:(1)求甲、乙两个工程队计划每天各施工多少米?(2)实际施工时,因为遭遇雨季,甲、乙两个工程队平均每天的施工量比计划都减少了m米,甲乙同时施工,完成总工程时,甲工程队施工总量是乙工程队施工总量的,求甲、乙两个工程队实际每天各施工多少米?
20.(2024·安徽马鞍山·三模)李师傅的厢式大卡车的自重为18吨,车厢的容积为,负责将两种产品从甲地运往乙地,两种产品部分规格参数如下表:
每件产品的重量(吨) 每件产品的体积
1.2
1.5
(1)若满载,单独运输产品的件数是产品的1.5倍,求的值;
(2)本月李师傅要将两种产品共20件一次性运往乙地.在以往运输过程中,发现途中经过的某座跨江大殜上有如图所示的限重标志牌,显示载重后总重量超过45吨的车辆禁止通行,通过计算,李师傅发现这趟运输正好不超载,求这次运输各装载两种产品多少件?
21.(2024·黑龙江·校考模拟预测)某商场欲购进A和B两种家电,已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元,经计算,用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同.请解答下列问题:(1)这两种家电每件的进价分别是多少元?(2)若该商场欲购进两种家电共100件,总金额不超过53500元,且A种家电不超过67件,则该商场有哪几种购买方案?(3)在(2)的条件下,若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元,该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工,其余家电全部售出后仍获利5050元,请直接写出这10件家电中B种家电的件数.
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