1.2.2 空间中的平面与空间向量--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.2 空间中的平面与空间向量--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:45:20 | ||
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文档简介
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1.2.2 空间中的平面与空间向量--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
2．已知直线l过点，平行于向量，平面经过直线l和点，则平面的一个法向量n的坐标为( )
A. B. C. D.
3．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
4．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
5．已知A是空间内一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是( )
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
6．已知直线l和平面ABC，若直线l的一个方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为( )
A.平面ABC B.l与平面ABC相交但不垂直
C.直线BC D.平面ABC或平面ABC
7．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在二维空间中，它表示一个平面.那么，过点且以为法向量的平面的方程为( )
A. B.
C. D.
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，，若存在一点P，使得平面OAB，则P点坐标可能为( )
A. B. C. D.
10．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是( )
A. B. C. D.
11．给定下列命题，其中不正确的有( )
A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则
B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则
C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则
D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图所示，已知矩形ABCD，，，平面ABCD.若在BC上只有一个点Q满足，则a的值等于__________.
13．已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.
14．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，.若平面ABC的一个法向量为，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面ABCD.求证：.
16．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量.
17．已知，.
(1)平面ABC的法向量共有多少个
(2)求平面ABC的单位法向量.
18．在棱长为1的正方体中，求平面的一个法向量.
19．如图，在直三棱柱中，2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，得：
，，
面的一个法向量为，
所以，，
即，，
解得，，
所以，
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意可得，.设经过直线l和点A的平面的法向量为，则令，则，，所以，结合选项.故选A.
3．答案：D
解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为，
则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D.
4．答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
5．答案：C
解析：点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面.
6．答案：D
解析：，n与不垂直，即l与AB不垂直，所以直线l与平面ABC不垂直，A错误；
，因此不存在实数k，使得，所以n与不平行，即直线l与直线BC不平行，C错误；
设是平面ABC的法向量，则取，则，，所以，所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内，B错误，D正确.故选D.
7．答案：D
解析：设是该平面内的任意一点，则，所以过点且法向量为的平面的方程为，整理得.故选D.
8．答案：C
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，，，，则，，所以，.
设平面EFC的法向量为，则即
解得令，则，.
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，所以.
设，则，所以.
解得，所以，即.故选C.
9．答案：AD
解析：设，则，，，若平面OAB，则，，所以即
将代入，满足方程组，所以选项A符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项B不符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项C不符合题意；
将代入，满足方程组，所以选项D符合题意.故选AD.
10．答案：ACD
解析：选项A，由题设，故A正确；
选项B，由题设，或，故B错误；
选项C，由题设，故C正确；
选项D，由题设，故D正确.故选ACD.
11．答案：ABC
解析：对于A，b必须在内才满足.对于B，b也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立.对于C，b应垂直于a在内的射影.D正确，故选ABC.
12．答案：2
解析：平面，是PQ在平面ABCD内的射影.由，得，则为直角三角形.
设，则，，，那么，整理得.
由题意，该方程有两个相等的实根，故，即.又，.
13．答案：0
解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.
14．答案：-2
解析：因为，，所以.因为平面ABC的一个法向量为，所以，所以，解得.
15．答案：证明见解析
解析：如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，
所以AP在平面ABCD内的投影为AO.
在直角梯形ABCD中，因为，O为BC的中点，
所以，
所以，即.
由三垂线定理，得.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为x轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
(2)因为正方体的棱长为3，，
所以，，，
所以，.
设是平面的法向量，
则，，
所以
令，则，.
所以是平面的一个法向量.
17．答案：(1)有无穷多个
(2)
解析：(1)设平面ABC的法向量，则，，
可得即
令，则得
所以，其中且，
所以平面ABC的法向量有无穷多个.
(2)平面ABC的单位法向量为.
18．答案：
解析：由已知图象可得，，，，
则，，
设的一个法向量.
则，取，得，，
.
19.
（1）答案：
解析：，
.
设平面的法向量，
取，则.
（2）答案：
解析：.
设平面的法向量，
取，则，.
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
2．已知直线l过点，平行于向量，平面经过直线l和点，则平面的一个法向量n的坐标为( )
A. B. C. D.
3．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
4．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
5．已知A是空间内一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是( )
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
6．已知直线l和平面ABC，若直线l的一个方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为( )
A.平面ABC B.l与平面ABC相交但不垂直
C.直线BC D.平面ABC或平面ABC
7．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在二维空间中，它表示一个平面.那么，过点且以为法向量的平面的方程为( )
A. B.
C. D.
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，，若存在一点P，使得平面OAB，则P点坐标可能为( )
A. B. C. D.
10．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是( )
A. B. C. D.
11．给定下列命题，其中不正确的有( )
A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则
B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则
C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则
D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图所示，已知矩形ABCD，，，平面ABCD.若在BC上只有一个点Q满足，则a的值等于__________.
13．已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.
14．在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，.若平面ABC的一个法向量为，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面ABCD.求证：.
16．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量.
17．已知，.
(1)平面ABC的法向量共有多少个
(2)求平面ABC的单位法向量.
18．在棱长为1的正方体中，求平面的一个法向量.
19．如图，在直三棱柱中，2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求平面的法向量；
（2）求平面的法向量.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，得：
，，
面的一个法向量为，
所以，，
即，，
解得，，
所以，
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意可得，.设经过直线l和点A的平面的法向量为，则令，则，，所以，结合选项.故选A.
3．答案：D
解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为，
则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D.
4．答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
5．答案：C
解析：点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面.
6．答案：D
解析：，n与不垂直，即l与AB不垂直，所以直线l与平面ABC不垂直，A错误；
，因此不存在实数k，使得，所以n与不平行，即直线l与直线BC不平行，C错误；
设是平面ABC的法向量，则取，则，，所以，所以直线l与平面ABC平行或在平面ABC内，B错误，D正确.故选D.
7．答案：D
解析：设是该平面内的任意一点，则，所以过点且法向量为的平面的方程为，整理得.故选D.
8．答案：C
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，，，，则，，所以，.
设平面EFC的法向量为，则即
解得令，则，.
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，所以.
设，则，所以.
解得，所以，即.故选C.
9．答案：AD
解析：设，则，，，若平面OAB，则，，所以即
将代入，满足方程组，所以选项A符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项B不符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项C不符合题意；
将代入，满足方程组，所以选项D符合题意.故选AD.
10．答案：ACD
解析：选项A，由题设，故A正确；
选项B，由题设，或，故B错误；
选项C，由题设，故C正确；
选项D，由题设，故D正确.故选ACD.
11．答案：ABC
解析：对于A，b必须在内才满足.对于B，b也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立.对于C，b应垂直于a在内的射影.D正确，故选ABC.
12．答案：2
解析：平面，是PQ在平面ABCD内的射影.由，得，则为直角三角形.
设，则，，，那么，整理得.
由题意，该方程有两个相等的实根，故，即.又，.
13．答案：0
解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.
14．答案：-2
解析：因为，，所以.因为平面ABC的一个法向量为，所以，所以，解得.
15．答案：证明见解析
解析：如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD，
所以AP在平面ABCD内的投影为AO.
在直角梯形ABCD中，因为，O为BC的中点，
所以，
所以，即.
由三垂线定理，得.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为x轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
(2)因为正方体的棱长为3，，
所以，，，
所以，.
设是平面的法向量，
则，，
所以
令，则，.
所以是平面的一个法向量.
17．答案：(1)有无穷多个
(2)
解析：(1)设平面ABC的法向量，则，，
可得即
令，则得
所以，其中且，
所以平面ABC的法向量有无穷多个.
(2)平面ABC的单位法向量为.
18．答案：
解析：由已知图象可得，，，，
则，，
设的一个法向量.
则，取，得，，
.
19.
（1）答案：
解析：，
.
设平面的法向量，
取，则.
（2）答案：
解析：.
设平面的法向量，
取，则，.
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