1.2.3 直线与平面的夹角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.3 直线与平面的夹角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:45:29 | ||
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文档简介
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1.2.3 直线与平面的夹角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.
(1)若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为；
(2)若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为.
利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
3．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4．我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．在三棱锥中,平面,,D,E,F分别是棱,,的中点,,,则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面的位置关系是( )
A. B. C.或 D.
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，下列说法正确的是( )
A. B.
C.与平面所成的角为 D.与平面ABCD所成的角为
10．已知空间直角坐标系中的四个点,,,,E,F分别为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为 B.三棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为 D.的最小值为
11．在正三棱锥中,SA,SB,SC两两垂直,,点M是侧棱SC的中点,AC在平面内,记直线BM与平面所成角为,则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是( )
A.53° B.60° C.75° D.89°
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．正方体的棱长为2,BC棱上一点P满足,则直线PA与平面所成角的正弦值为___________.
13．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为___________.
14．已知空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为,直线l是两个平面与的交线,则直线l与平面所成角的余弦值为_____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在四棱维中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正切值;
（2）在PA上是否存在点M,使得平面PCD 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
16．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截后得到的几何体，截面为ABC.已知，，，，.
（1）设点O是AB的中点，证明：平面；
（2）求直线AB与平面所成的角的余弦值；
（3）求此几何体的体积.
17．如图 ,在四棱锥中,,,,E为棱的中点,.
(1)证明：平面;
(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1.
（1）证明：；
（2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值.
19．如图,在边长为2的正方体中,E是BC的中点,F是的中点,
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：平面的方程为，
平面的一个法向量.
根据，
所以直线l的方向向量可为：
设直线l与平面所成角为，
则.
故选：A
2．答案：B
解析：底面ABCD为等腰梯形,，
如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H，
以D为坐标原点，分别以.
所在直线为x,y，z轴，建立空间直角坐标系
则,
可得,
设平面的法向量为
则，
令，则，
可得平面的一个法向量为,
设到平面的夹角为，
则
可得
所以到平面的夹角余弦值为.
故选:B
3．答案：B
解析：由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点分别是和的中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，
设直线与平面所成角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B
4．答案：D
解析：依题意，平面的方程为一个法向量为，
平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，取，得，
设直线l与平面所成的角为，
则，
故选：D
5．答案：B
解析：由多面体中，
侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，
平面平面，
可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为2，如图所示，
以D为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
可得，
可得，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，其中，
则，
则，
即直线与平面所成角的余弦值为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由,得,
又平面,,平面,
则,,
以A为坐标原点,直线,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,
令,得,设直线与平面所成角为,
则,所以.
故选：A.
7．答案：A
解析：由，，，
所以，即，
所以.
故选：A
8．答案：D
解析：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线l的一个方向向量为，
则，
不妨取，则，
直线l与平面所成的角为，
则，
9．答案：ABD
解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确.
对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②.
底面，平面ABCD，.，，平面，平面.
与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误.
对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD.
10．答案：ABC
解析:空间中四个点,,,,
所以,,,,,
对于,因为,所以,所以,设平面法向量为,则,取,则,所以,
则点到平面的距离为:,所以,故A正确;
对于,因为,所以,又,所以,所以外接球球心为CD中点,设CD中点球心,则,所以外接球表面积为,故B正确;
对于C,E,F分别为线段AB,CD上的动点,所以EF的最小值为异面直线AB,CD之间的距离,设为垂直于AB,CD的向量,,取,则,,所以,则在上投影长为,故C正确;
对于D,的最小值即为直线AB与平面BCD所成角的最小值,设平面BCD法向量为,取,则,,所以,则,所以的最小值为,故D错误.
11．答案：AB
解析：当BM与平面平行时,;
由最小角定理,直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角,
所以小于等于BM与AC所成的角,分别取SC,SA的中点M,N,
连接MN,BM,BN.
在中,,,
得,故.
因为,,
而,所以.
故选：AB.
12．答案：
解析：以D为原点建系如下,
则,,,,,
得,
设,,,
则,
因为,所以,解得,,
设平面的一个法向量为,
则,令,得,所以,
则,
所以直线PA与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线上有两个点，，
所以直线l的方向向量为，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
法二：由题知两平面与的法向量分别为，，
设直线l的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得平面的法向量可为,
平面的法向量可为,
平面的法向量可为,
设直线l的方向向量为,
则有,取,则有、,
则直线l的方向向量可为,
则,
故直线l与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）存在点M,使得平面PCD,.
解析：（1）取AD的中点为O,连接PO,CO,
因为,所以,又平面平面ABCD,
平面平面,平面,
所以平面ABCD,又,所以,
,,所以,,所以,
所以以O为坐标原点,分别以OC,OA,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
所以,,,
设平面PCD的一个法向量为,
则,,令,则,,
所以,
设直线PB与平面PCD所成角为,
,
所以,所以,
所以直线PB与平面PCD所成角的正切值.
（2）在PA上存在点M,使得,
所以,所以,
所以,所以,
因为平面PCD,所以,
即,解得,
所以存在点M,使得平面PCD,此时.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：由题可得平面，
又平面，所以，，
又因为，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
因为O是AB的中点，
所以，，
易知是平面的一个法向量，，
又平面，所以平面.
（2）设直线AB与平面所成的角为，，，
设是平面的法向量，
则由得取，得.
又因为，所以，
则，，
所以直线AB与平面所成的角的余弦值为.
（3）分别延长，，至点D，E，F，使，，，
则.
因此几何体的体积为.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：由已知,,
又,即,
且,
平面.
(2) 平面 , 为二面角的平面角,从而.
如图所示,在平面内,作, 以A为原点,分别以,所在直线为x轴,z轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,
,,
设平面的法向量,
则,取,则,
设直线与平面所成角为,
则 ,
直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，
底面，底面ABC，
.又，，平面，，
平面.又平面，
平面平面.
过作交于O，又平面平面，平面，
平面.
到平面的距离为1，，
在中，，，设，则.
，，为直角三角形，且，，，，
，解得，，
.
（2），，，，，如图，过B作，交于D，则D为中点，由直线与距离为2，所以.
，，，
在中，，
延长AC，使，连接，
由，知四边形为平行四边形，，平面ABC.又平面，.
在中，，，，
在中，，，
.
又点A到平面的距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）见解析;
（2）
解析：证明：（1）以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,
设平面的法向量是
则,取,
所以平面.
（2）是面的法向量,
即平面与平面夹角的余弦值为.
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1.2.3 直线与平面的夹角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.
(1)若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为；
(2)若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为.
利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2．在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
3．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4．我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5．如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．在三棱锥中,平面,,D,E,F分别是棱,,的中点,,,则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线l和平面的位置关系是( )
A. B. C.或 D.
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在正方体中，下列说法正确的是( )
A. B.
C.与平面所成的角为 D.与平面ABCD所成的角为
10．已知空间直角坐标系中的四个点,,,,E,F分别为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为 B.三棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为 D.的最小值为
11．在正三棱锥中,SA,SB,SC两两垂直,,点M是侧棱SC的中点,AC在平面内,记直线BM与平面所成角为,则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是( )
A.53° B.60° C.75° D.89°
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．正方体的棱长为2,BC棱上一点P满足,则直线PA与平面所成角的正弦值为___________.
13．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为___________.
14．已知空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为,直线l是两个平面与的交线,则直线l与平面所成角的余弦值为_____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在四棱维中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正切值;
（2）在PA上是否存在点M,使得平面PCD 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
16．如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截后得到的几何体，截面为ABC.已知，，，，.
（1）设点O是AB的中点，证明：平面；
（2）求直线AB与平面所成的角的余弦值；
（3）求此几何体的体积.
17．如图 ,在四棱锥中,,,,E为棱的中点,.
(1)证明：平面;
(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在三棱柱中，底面，，，到平面的距离为1.
（1）证明：；
（2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值.
19．如图,在边长为2的正方体中,E是BC的中点,F是的中点,
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：平面的方程为，
平面的一个法向量.
根据，
所以直线l的方向向量可为：
设直线l与平面所成角为，
则.
故选：A
2．答案：B
解析：底面ABCD为等腰梯形,，
如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H，
以D为坐标原点，分别以.
所在直线为x,y，z轴，建立空间直角坐标系
则,
可得,
设平面的法向量为
则，
令，则，
可得平面的一个法向量为,
设到平面的夹角为，
则
可得
所以到平面的夹角余弦值为.
故选:B
3．答案：B
解析：由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点分别是和的中点，
可得，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，
设直线与平面所成角，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B
4．答案：D
解析：依题意，平面的方程为一个法向量为，
平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，取，得，
设直线l与平面所成的角为，
则，
故选：D
5．答案：B
解析：由多面体中，
侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，
平面平面，
可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为2，如图所示，
以D为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
可得，
可得，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角为，其中，
则，
则，
即直线与平面所成角的余弦值为.
故选：B.
6．答案：A
解析：由,得,
又平面,,平面,
则,,
以A为坐标原点,直线,,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则,
令,得,设直线与平面所成角为,
则,所以.
故选：A.
7．答案：A
解析：由，，，
所以，即，
所以.
故选：A
8．答案：D
解析：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线l的一个方向向量为，
则，
不妨取，则，
直线l与平面所成的角为，
则，
9．答案：ABD
解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确.
对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②.
底面，平面ABCD，.，，平面，平面.
与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误.
对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD.
10．答案：ABC
解析:空间中四个点,,,,
所以,,,,,
对于,因为,所以,所以,设平面法向量为,则,取,则,所以,
则点到平面的距离为:,所以,故A正确;
对于,因为,所以,又,所以,所以外接球球心为CD中点,设CD中点球心,则,所以外接球表面积为,故B正确;
对于C,E,F分别为线段AB,CD上的动点,所以EF的最小值为异面直线AB,CD之间的距离,设为垂直于AB,CD的向量,,取,则,,所以,则在上投影长为,故C正确;
对于D,的最小值即为直线AB与平面BCD所成角的最小值,设平面BCD法向量为,取,则,,所以,则,所以的最小值为,故D错误.
11．答案：AB
解析：当BM与平面平行时,;
由最小角定理,直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角,
所以小于等于BM与AC所成的角,分别取SC,SA的中点M,N,
连接MN,BM,BN.
在中,,,
得,故.
因为,,
而,所以.
故选：AB.
12．答案：
解析：以D为原点建系如下,
则,,,,,
得,
设,,,
则,
因为,所以,解得,,
设平面的一个法向量为,
则,令,得,所以,
则,
所以直线PA与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线上有两个点，，
所以直线l的方向向量为，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
法二：由题知两平面与的法向量分别为，，
设直线l的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得平面的法向量可为,
平面的法向量可为,
平面的法向量可为,
设直线l的方向向量为,
则有,取,则有、,
则直线l的方向向量可为,
则,
故直线l与平面所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）存在点M,使得平面PCD,.
解析：（1）取AD的中点为O,连接PO,CO,
因为,所以,又平面平面ABCD,
平面平面,平面,
所以平面ABCD,又,所以,
,,所以,,所以,
所以以O为坐标原点,分别以OC,OA,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
所以,,,
设平面PCD的一个法向量为,
则,,令,则,,
所以,
设直线PB与平面PCD所成角为,
,
所以,所以,
所以直线PB与平面PCD所成角的正切值.
（2）在PA上存在点M,使得,
所以,所以,
所以,所以,
因为平面PCD,所以,
即,解得,
所以存在点M,使得平面PCD,此时.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：由题可得平面，
又平面，所以，，
又因为，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
因为O是AB的中点，
所以，，
易知是平面的一个法向量，，
又平面，所以平面.
（2）设直线AB与平面所成的角为，，，
设是平面的法向量，
则由得取，得.
又因为，所以，
则，，
所以直线AB与平面所成的角的余弦值为.
（3）分别延长，，至点D，E，F，使，，，
则.
因此几何体的体积为.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：由已知,,
又,即,
且,
平面.
(2) 平面 , 为二面角的平面角,从而.
如图所示,在平面内,作, 以A为原点,分别以,所在直线为x轴,z轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,
,,
设平面的法向量,
则,取,则,
设直线与平面所成角为,
则 ,
直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，
底面，底面ABC，
.又，，平面，，
平面.又平面，
平面平面.
过作交于O，又平面平面，平面，
平面.
到平面的距离为1，，
在中，，，设，则.
，，为直角三角形，且，，，，
，解得，，
.
（2），，，，，如图，过B作，交于D，则D为中点，由直线与距离为2，所以.
，，，
在中，，
延长AC，使，连接，
由，知四边形为平行四边形，，平面ABC.又平面，.
在中，，，，
在中，，，
.
又点A到平面的距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）见解析;
（2）
解析：证明：（1）以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
则,,
设平面的法向量是
则,取,
所以平面.
（2）是面的法向量,
即平面与平面夹角的余弦值为.
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