1.2.4 二面角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.2.4 二面角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:46:13 | ||
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文档简介
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1.2.4 二面角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图,将菱形纸片沿对角线折成直二面角,E,F分别为,的中点,O是的中点,,则折后平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2．如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．如图,在正方体中,点P满足.设二面角的平面角为,则当增大时,的大小变化为( )
A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( )
A.1 B. C.或1 D.2
5．如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知二面角中,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则二面角的平面角满足( )
A.余弦值为 B.正弦值为
C.大小为 D.大小为
7．在三棱锥中,平面平面,,,E是的中点.,则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．正方体中,二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．是半径已知的某球体表面上不共面的四点，且恰为该球体的一条直径，现已知和的长，在一般情况下，若再加入一个条件就能使四面体的体积有唯一值，则该条件可以是( )
A. B.的长
C.二面角的大小 D.直线与平面所成角的大小
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
10．如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为____________.
11．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为____________.
12．已知两平面的法向量分别为,,则两平面所成的二面角为______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值.
14．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，，求平面与平面的夹角.
15．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球O交于点D，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.
17．图1是棱长为2的正方体，E，F，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，G，H分别是，的中点，过点B，G，H的平面交于点M.
（1）求线段的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为菱形纸片沿对角线折成直二面角,
所以平面平面,
因为是菱形,O是的中点,
所以,,
而平面平面,平面,
所以平面,而平面,
所以,
以O为原点,,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,
为两个单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,．
设平面的法向量为,
则得取,则,,
得平面的一个法向量为,
易得平面的一个法向量为,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A.
2．答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
3．答案：A
解析：以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,则得
取.
连接,,,,由于,故,,易得平面的一个法向量为,
所以.
因为,,所以的值随着的增大而减小,则钝角随着的增大而增大.由图可知为钝角,所以随着的增大而增大.
故选：A
4．答案：C
解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得.
5．答案：A
解析：
设平面与底面所成的二面角的平面角为，由图可得不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当，时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
故选：A.
6．答案：B
解析：设所求二面角的平面角的大小为,
则,
所以或,故CD错误,
又因为,故A错误,B正确.
故选：B.
7．答案：C
解析：以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,在中,
,
所以,,,,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则.
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则.
设二面角的平面角为,
则.
8．答案：D
解析：分别以,,为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,可得,,,,
则,,
设是平面的一个法向量,则,即,
取,得,,故,
又平面,故平面的一个法向量为,
所以,
所以二面角的余弦值为.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，
则，，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
假设平面与平面的夹角为，
则，
故答案为：
11．答案：
解析：因为，
所以与的夹角为.
故答案为：
12．答案：或
解析：因为两平面的法向量分别为,,
则两平面所成的二面角与相等或互补,
因为,且,故.
故两平面所成的二面角为或.
故答案为：或.
13．答案：
解析：因为正三棱柱的所有棱长均为2，取BC的中点O，则，
所以平面.
取的中点H，所以AO，BO，OH两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，则
令得.
同理可得平面的一个法向量为..
设平面与平面，夹角为，易知为锐角，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
14．答案：
解析：设平面与平面的夹角为，
由可得
，
所以，即平面与平面的夹角为.
15．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角面积为；
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉.可得：
②由是球的直径，则，，
且，，平面，
所以平面，且平面，则.
且，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，.
所以，，
不妨先令，则，，，，
由，，，
以C为坐标原点，以，所在直线为x，y轴，
过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
可得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，，则，，
可得，
当且仅当，取等号.
则取最大值，为最小值.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结.因为底面，且底面，所以.
又因为，，所以平面.
又平面，所以.
从而.
因为，所以.
所以，于是.
所以.所以.
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N.
由[方法二]知.
在矩形中，有，所以，即.
令，因为M为的中点，则，，.
由，得，解得，所以.
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，，交点记为H，由于，，所以平面.过H作的垂线，垂足记为G.
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角.
易证四边形是边长为的正方形，联结，.
，，
由等积法解得.
在中，，，由勾股定理求得.
所以，，即二面角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）方法一：在图1中延长与相交于K，延长与相交于，延长与相交于I，连接交于M，如图所示，由，
得，求得，.
方法二：在图1中过点G作的平行线交于T点，连接交于点M，
如图所示，易知，.
（2）在图2中，以A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，，，，，
设面的法向量，
有，令，则，，，
，，，，
设面的法向量为，
有，令，则，，，
.
则面与面的夹角的余弦值是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.2.4 二面角--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图,将菱形纸片沿对角线折成直二面角,E,F分别为,的中点,O是的中点,,则折后平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2．如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．如图,在正方体中,点P满足.设二面角的平面角为,则当增大时,的大小变化为( )
A.增大 B.减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大
4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( )
A.1 B. C.或1 D.2
5．如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知二面角中,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则二面角的平面角满足( )
A.余弦值为 B.正弦值为
C.大小为 D.大小为
7．在三棱锥中,平面平面,,,E是的中点.,则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．正方体中,二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．是半径已知的某球体表面上不共面的四点，且恰为该球体的一条直径，现已知和的长，在一般情况下，若再加入一个条件就能使四面体的体积有唯一值，则该条件可以是( )
A. B.的长
C.二面角的大小 D.直线与平面所成角的大小
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
10．如图，在五棱锥中，底面ABCDE，，，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为____________.
11．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为____________.
12．已知两平面的法向量分别为,,则两平面所成的二面角为______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值.
14．如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，，求平面与平面的夹角.
15．球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球O交于点D，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，S为的中点，T为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.
17．图1是棱长为2的正方体，E，F，，分别是，，，的中点，截去三棱柱和三棱柱得到如图2的四棱柱，G，H分别是，的中点，过点B，G，H的平面交于点M.
（1）求线段的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为菱形纸片沿对角线折成直二面角,
所以平面平面,
因为是菱形,O是的中点,
所以,,
而平面平面,平面,
所以平面,而平面,
所以,
以O为原点,,,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,
为两个单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,．
设平面的法向量为,
则得取,则,,
得平面的一个法向量为,
易得平面的一个法向量为,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A.
2．答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
3．答案：A
解析：以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,则得
取.
连接,,,,由于,故,,易得平面的一个法向量为,
所以.
因为,,所以的值随着的增大而减小,则钝角随着的增大而增大.由图可知为钝角,所以随着的增大而增大.
故选：A
4．答案：C
解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得.
5．答案：A
解析：
设平面与底面所成的二面角的平面角为，由图可得不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当，时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
故选：A.
6．答案：B
解析：设所求二面角的平面角的大小为,
则,
所以或,故CD错误,
又因为,故A错误,B正确.
故选：B.
7．答案：C
解析：以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,在中,
,
所以,,,,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则.
设平面的一个法向量为,
则,即,令,则.
设二面角的平面角为,
则.
8．答案：D
解析：分别以,,为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,
设正方体的棱长为1,可得,,,,
则,,
设是平面的一个法向量,则,即,
取,得,,故,
又平面,故平面的一个法向量为,
所以,
所以二面角的余弦值为.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，
则，，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
假设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，
所以，
假设平面与平面的夹角为，
则，
故答案为：
11．答案：
解析：因为，
所以与的夹角为.
故答案为：
12．答案：或
解析：因为两平面的法向量分别为,,
则两平面所成的二面角与相等或互补,
因为,且,故.
故两平面所成的二面角为或.
故答案为：或.
13．答案：
解析：因为正三棱柱的所有棱长均为2，取BC的中点O，则，
所以平面.
取的中点H，所以AO，BO，OH两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，则
令得.
同理可得平面的一个法向量为..
设平面与平面，夹角为，易知为锐角，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
14．答案：
解析：设平面与平面的夹角为，
由可得
，
所以，即平面与平面的夹角为.
15．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角面积为；
（2）①由余弦定理有：，且，
消掉.可得：
②由是球的直径，则，，
且，，平面，
所以平面，且平面，则.
且，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，.
所以，，
不妨先令，则，，，，
由，，，
以C为坐标原点，以，所在直线为x，y轴，
过点C作的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
可得，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，，则，，
可得，
当且仅当，取等号.
则取最大值，为最小值.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结.因为底面，且底面，所以.
又因为，，所以平面.
又平面，所以.
从而.
因为，所以.
所以，于是.
所以.所以.
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N.
由[方法二]知.
在矩形中，有，所以，即.
令，因为M为的中点，则，，.
由，得，解得，所以.
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，，交点记为H，由于，，所以平面.过H作的垂线，垂足记为G.
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角.
易证四边形是边长为的正方形，联结，.
，，
由等积法解得.
在中，，，由勾股定理求得.
所以，，即二面角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）方法一：在图1中延长与相交于K，延长与相交于，延长与相交于I，连接交于M，如图所示，由，
得，求得，.
方法二：在图1中过点G作的平行线交于T点，连接交于点M，
如图所示，易知，.
（2）在图2中，以A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，平面即平面，则，，，，，
设面的法向量，
有，令，则，，，
，，，，
设面的法向量为，
有，令，则，，，
.
则面与面的夹角的余弦值是.
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