1.2.5 空间中的距离--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.5 空间中的距离--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图,平面ABCD,,,,,点M为BQ的中点,若,则N到平面CPM的距离为( )
A. B. C. D.
2．如图，在正方体中，，M，N分别是棱，的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C.1 D.
3．如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，则直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4．在空间直角坐标系中,已知,,,则点A到直线的距离是( )
A. B. C. D.
5．已知四面体满足，，，，，则点A到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6．已知,是平面的一个法向量,且是平面内一点,则点A到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7．在棱长为1的正方体中，点D到的距离为( )
A. B. C. D.
8．在四面体中,,,,若点G为的重心,则点G到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在棱长为2的正方体中,P是棱AB上一动点,则P到平面的距离可能是( )
A. B. C. D.
10．在长方体中，，，P是线段FG上一动点，则P到平面ACH的距离不可能是( )
A.3 B.2 C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
11．如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，则点到平面的距离为______.
12．P为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P到的距离为___________.
13．已知直线过点,它的一个方向向量为,则点到直线的距离为________________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．如图，在长方体中，，，求：
（1）点到直线BD的距离；
（2）点到平面的距离；
（3）异面直线，之间的距离.
15．已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
16．已知正方体的棱长为1，，，且满足，，求异面直线与之间的距离.
17．已知长方体中，，圆E内切上底面正方形，F为圆E上的动点.
(1)求点D到直线AE的距离；
(2)求AF的取值范围.
18．如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE.
(1)计算DE的长；
(2)求点O到平面ABC的距离.
参考答案
1．答案：B
解析：因为平面,,易知AD,CD,PD两两垂直,
以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意得,,,.
所以,,,
设为平面CPM的法向量,则,即,
不妨设,可得,
由,得,
则N到平面CPM的距离为.
故选:B
2．答案：B
解析：如图，以D为原点，，，方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，，
，，;
取，
，
则，，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
3．答案：B
解析：在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，因为，E、F分别为，的中点，则，，，，，所以，，，
设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选B.
4．答案：A
解析：,,,
.
故选：A.
5．答案：D
解析：因为四面体满足，，
，，，
可得，，
设平面的一个法向量，
则，
令，解得，
所以，
所以，
设点A到平面的距离为h，
则.
故选：D.
6．答案：D
解析：由已知,又,
则点A到平面的距离为.
7．答案：C
解析：在正方体中，连接，，
由平面，平面，得，
因此点D到的距离为斜边上的高h，
而,，
所以.
故选：C
8．答案：D
解析：由题意知,在四面体中,,,两两互相垂直,
如图,以O为原点,以射线,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
,,,,
,,,,,
,,
,
,
点G到直线的距离.
故选:D
9．答案：BC
解析：如图,以为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
故,,
设平面的法向量,
由,取,
则为平面的法向量,,
所以P到平面的距离.因为,
所以,
而,即BC选项的数值才符合.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：如图，以点D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面ACH的法向量为，则
所以取，则，，所以.
设点P到平面ACH的距离为d，则.
因为，所以，所以，所以点P到平面ACH的距离不可能是，2，3.故选ABC.
11．答案：
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
设平面的一个法向量为，
，，，
则，
令，则.
设点到平面的距离为d，
则，
即点到平面的距离为.
故答案为：.
12．答案：
解析：矩形中，，，
，
过A作，交于E，连结，
平面，平面，
，
又，，
平面，
∵平面，
，即是点P到的距离，
，
，
，
点P到的距离为.
故答案为：
13．答案：
解析：因为,所以,
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
14．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为，，则，，，，，，
所以，，
所以在上的投影向量的模为，
又，
所以点到直线BD的距离.
（2）由（1）知，，.
设平面的法向量，
则所以
取，可得，，
所以是平面的一个法向量.
向量在法向量上的投影向量的模为
，
所以点到平面的距离为.
（3）由（1）知，，所以.
又平面，平面，所以平面，
所以异面直线，之间的距离与点C到平面的距离相等，
设平面的法向量，
因为，则所以
取，可得，，所以是平面的一个法向量，
向量在法向量上的投影向量的模为，
所以点C到平面的距离为，故异面直线，之间的距离为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）建立以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，，
所以，，.
设平面PEF的法向量为，
则即
令，则，，所以.
所以点D到平面PEF的距离.
（2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以.
又因为平面，平面PEF，所以平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离.
因为，所以点A到平面PEF的距离.
所以直线AC到平面PEF的距离为.
16．答案：异面直线与BD之间的距离为
解析：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
连接，，，
，
，
.
又，
.
与，均相交，为与BD的公垂线，
异面直线与BD之间的距离为
.
17．答案：(1)点D到直线AE的距离为
(2)AF的取值范围是
解析：(1)以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，.
令，
所以点D到直线AE的距离为.
(2)设.由，得.
设，则
所以.
因为，
所以.
所以AF的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)
解析：(方法一)如答图，取的中心H，连接CH交BA于点M，则平面ABC.
在BC上取点G，使，
，建立如图所示的空间直角坐标系.
.
又.
，
.
(2)点O到平面ABC的距离即为.
(方法二)(1)取为一组基底，其中，，，则.
，
.
.
(2)连接AE，取的中心H，连接OH(图略)，则OH即为点O到平面ABC的距离.
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)