2.2.4 点到直线的距离--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.2.4 点到直线的距离--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知x,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
2．已知点到直线的距离为1，则m的值为( )
A.5或15 B.5或15
C.5或15 D.5或15
3．已知直线，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为( )
A. B. C.2 D.1
5．已知点，到直线的距离相等，则( )
A.-1或0 B. C.-1 D.2
6．已知实数，，，满足，，，则的最大值是( )
A.6 B.8 C. D.12
7．已知P为直线上的点,过点P作圆的切线,切点为M,N,若,则这样的点P有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
8．已知点与关于直线对称，则的值分别为( )
A.1，3 B.，
C.-2，0 D.，
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知平面上—点,若直线上存在点P使,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
A. B. C. D.
10．已知点与直线，下列说法正确的是( )
A.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
B.过点P且与坐标轴围成三角形的面积为2的直线有4条
C.点P关于直线l的对称点坐标为
D.直线l关于点P对称的直线方程为
11．已知平面内一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中是点的“2域直线”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式,则实数t的所有可能取值的和为________.
13．已知点到直线的距离为1，则__________.
14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点B，若（O为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知点到直线的距离为1，求C的值.
16．已知直线，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求，之间的距离.
17．在平面直角坐标系中,曲线的方程为,曲线的参数方程为（t为参数）,直线l过原点O且与曲线交于A、B两点,点P在曲线上且.以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线的极坐标方程并证明为常数;
(2)若直线l平分曲线,求的面积.
18．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（为参数）,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）设点E为曲线C上的任意一点,直线l交x轴,y轴于A,B两点,求面积的最大值.
19．在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为:（为参数,）,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:.
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）在曲线和曲线上分别取点P,Q,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：可看成点到点的距离的平方,
点在直线的图象上,点在反比例函数的图象上,
问题转化为在图象上找一点,使得它到直线的距离的平方最小.
注意到反比例函数的图象关于直线对称,直线也关于对称,
观察图象知点P到直线的距离最短,,
最短距离为,所以的最小值为.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为点到直线的距离为1，
所以,
解得或5.
故选:D.
3．答案：D
解析：直线
即为，
所以直线过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为，
故选：D
4．答案：D
解析：依题意在区间上有零点，
整理得在上有解，
表示坐标系aOb中，直线（x看成参数）上的点，
所以表示原点到直线上的点的距离的平方，
设
，
由于，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为1.
故选：D
5．答案：C
解析：由于点，，
故；由于点，到直线的距离相等，
所以
故选：C
6．答案：D
解析：
由，，，可知，点、在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为点到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为A，B两点到直线的距离和的倍，作于M，于N，中点为E，中点为F，由梯形中位线性质可得，，作于T，于C，连接，则，当且仅当T与O重合，E，，C三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.
故选：D
7．答案：B
解析：圆圆的半径为1,圆的圆心到直线的距离,
当直线上的点到圆心距离最小时,切线夹角最大,最大为,
故若要满足P为直线上的点,过点P作圆的切线,切点为M,N,,则P只有一个.
故选:B.
8．答案：B
解析：
若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直
直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，
则，得
故选:B
9．答案：BC
解析：所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来解题思路.
A.因为,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”;
B.因为,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;
C.因为,直线上存在一点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;
D.因为,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”.
10．答案：CD
解析：对于A，当截距为0时，直线与直线l平行，故A错误.
对于B，设直线方程为，因为直线过点，所以①，
又过点P的直线与坐标轴围成三角形的面积为，所以②，
由①②，得，或，共有3组解，所以符合题意的直线有3条，
故B错误.
对于C，设点P关于直线l的对称点坐标为，则，解得，
即点P关于直线l的对称点坐标为，故C正确.
对于D，设直线l关于点P对称的直线方程为，
则有，解得，
即直线l关于点P对称的直线方程为，故D正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：由题意，知点M的“2域直线”应满足点M到该直线的距离.
A √ .
B √ .
C × .
D √ .
12．答案：
解析：由已知得,,整理得,
看成有且仅有三条直线满足,和到直线（不过原点）的距离t相等;
由,
（1）当,此时,易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.
（2）当时,有4条直线l会使得点和到它们的距离相等,
注意到l不过原点,所以当其中一条直线过原点时,会作为增根被舍去;设点A到l的距离为d,
①作为增根被舍去的直线l,过原点和A,B的中点,其方程为,
此时,,符合;
②作为增根被舍去的直线l,过原点且以为方向向量,其方程为,
此时,,符合;
综上,满足题意的实数t为,,,它们的和为.
故答案为:
13．答案：
解析：由题设有，
故，故.
故答案为：
14．答案：
解析：
由题意知，双曲线E的两条渐近线方程分别为：与，
过点且与渐近线垂直的直线方程为，
联立，
可解得，
点到渐近线的距离，
因为，
所以点到渐近线的距离为，
所以，
即，所以，
即双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：
15．答案：或
解析：点到直线的距离为，
即，
故，
即或.
16．答案：（1）或
（2）
解析：（1）由，得，即，
所以，
解得或.
（2）由，得，即，解得或.
当时，，，
则，之间的距离为；
当时，，，此时两直线重合，舍去.
综上，若，则，之间的距离为.
17．答案：(1),证明见解析
(2)
解析：(1)的一般方程为,
由,,得的极坐标方程为,
证明：设直线l的极坐标方程为,点,,
将代入,
得,为方程的两个根,
.
(2)因为直线l平分曲线,所以直线l过点,
直线l的方程为,因为,所以直线OP为,
曲线的普通方程为,与直线OP的方程联立,得,
点P到直线l的距离,圆的直径,
所以的面积.
18．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由（为参数）,得曲线C的普通方程为:,
因为,所以,
由代入得直线l的直角坐标方程:.
（2）由直线l的直角坐标方程:知,,,则,
设点,则点E到直线l的距离为
,
当即时,点E到直线l距离最大为.
所以面积的最大值为.
19．答案：（1）,
（2）
解析：（1）曲线的参数方程为:（为参数,）,
.
曲线的普通方程为.
曲线的极坐标方程为:,即,
根据,可得,
曲线的直角坐标方程为:;
（2）曲线的直角坐标方程为:,
曲线的参数方为:（为参数）.
故可设曲线上的点,
点Q到直线的距离,
当,即时,,
的最小值为.
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