2.3 圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.3 圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:51:47 | ||
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文档简介
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2.3 圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A. B. C. D.2
2．已知圆，直线l过点，把圆分成面积为，的两部分，则的最大值所在区间为( )
A. B. C. D.
3．若点在圆（m为常数）外，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
5．圆心为且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6．在平面直角坐标系中,整点是指横、纵坐标都是整数的点.已知圆经过,,三点,则该圆经过的整点共有( )
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
7．方程表示一个圆,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知点，，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A.4 B.5 C.3 D.
10．下列圆中与圆相切的是( )
A. B.
C. D.
11．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．过,,三点的圆的标准方程为_________________.
13．设点为圆上任意一点,则的取值范围是________.
14．在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
16．（例题）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
17．写出下列圆的标准方程：
（1）圆心为，半径是；
（2）圆心为，且经过点.
18．已知圆.
（1）过点作圆的切线l，求直线l的方程；
（2）若圆与圆相交于A，B两点，求.
19．已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系；
（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？
参考答案
1．答案：A
解析：由配方得，
所以圆心为，
因为圆的圆心到直线的距离为1，
所以，解得，故选A.
2．答案：C
解析：如图所示，圆的面积为：.
，要使最大，则最小.
由圆的性质知道，当时，最小.
，则，则.
l与圆的交点为，.
此时.
.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意知，故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，所以实数m的范围为.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题：，
根据圆的直径式方程可以得到：
以线段AB为直径的圆的方程为，
即，
故选：B.
5．答案：D
解析：圆心为且过点,
圆的半径,
则圆的方程为.
故选：D.
6．答案：D
解析：设该圆的方程为,
将,,代入圆的方程可得:
,解得,
故圆的方程为,
整理得,
当时,;当时,或5;
当时,或6;当时,或7;
当时,或6;当时,或5;
当时,,所以该圆经过的整点共有12个.
故选:D.
7．答案：B
解析：由,得,
解得.
故选:B
8．答案：D
解析：因为，，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：做出函数与的草图
设与圆相切，
则或（舍去）.
因为函数与有两个交点，
所以.
故选：AD
10．答案：AB
解析：由题知，圆C的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆C与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆C与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与不相切，D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线l的斜率存在，
若直线l过坐标原点，设直线l为，即，
则，解得，
所以直线l的方程为或；
若直线l不过坐标原点，设直线l为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线l的方程为，
综上可得直线l的方程为或或.
12．答案：
解析：设圆的方程为,
代入三点,,,有
解得,,,
故圆的方程为,
故圆的标准方程为.
故答案为：.
13．答案：
解析：如图,作出圆,因点是圆上一点,故可看成圆上的点与原点连线的斜率.
考虑直线与圆相切时,设切线斜率为k,则圆心到直线的距离为,
解得,由图知要使过原点的直线与圆有公共点,
需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角,或不超过切线的倾斜角,
故直线的斜率或,即的范围为.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意，圆心C到原点距离与到直线的距离相等，
所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，
则，则，．
15．答案：圆心坐标是，半径
解析：设圆的方程是.①
因为O，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.
把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径.
解题思路：将点O，，的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
16．答案：
解析：设所求的方程是.
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
解题思路：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆心在，半径长是，
故圆的标准方程为.
（2）圆心在，且经过点，
故半径为，
故圆的标准方程为.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）圆的方程可化为，
则圆心，半径为2，
由，可知点P在圆的外部，作出圆及过点P的切线如图所示，
由图可知，过点P的切线l的斜率存在，
设l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离为，解得或，
所以直线l的方程为或.
（2）由
两式相减得直线AB的方程为，
则圆心到直线AB的距离，
所以.
19．答案：（1）圆和圆相交；
（2）不存在.
解析：（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，
圆的方程为，则，半径，
两圆的圆心距，又,，
，故圆和圆相交.
（2）不存在.理由如下：
圆的方程可化为，则，半径.而，半径.
假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解.
故不存在实数m，使得圆和圆内含.
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．圆的圆心到直线的距离为1，则( )
A. B. C. D.2
2．已知圆，直线l过点，把圆分成面积为，的两部分，则的最大值所在区间为( )
A. B. C. D.
3．若点在圆（m为常数）外，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
5．圆心为且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6．在平面直角坐标系中,整点是指横、纵坐标都是整数的点.已知圆经过,,三点,则该圆经过的整点共有( )
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个
7．方程表示一个圆,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知点，，则以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A.4 B.5 C.3 D.
10．下列圆中与圆相切的是( )
A. B.
C. D.
11．直线l与圆相切，且l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程可能是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．过,,三点的圆的标准方程为_________________.
13．设点为圆上任意一点,则的取值范围是________.
14．在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则圆C面积的最小值为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
16．（例题）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程.
17．写出下列圆的标准方程：
（1）圆心为，半径是；
（2）圆心为，且经过点.
18．已知圆.
（1）过点作圆的切线l，求直线l的方程；
（2）若圆与圆相交于A，B两点，求.
19．已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系；
（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？
参考答案
1．答案：A
解析：由配方得，
所以圆心为，
因为圆的圆心到直线的距离为1，
所以，解得，故选A.
2．答案：C
解析：如图所示，圆的面积为：.
，要使最大，则最小.
由圆的性质知道，当时，最小.
，则，则.
l与圆的交点为，.
此时.
.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意知，故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，所以实数m的范围为.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题：，
根据圆的直径式方程可以得到：
以线段AB为直径的圆的方程为，
即，
故选：B.
5．答案：D
解析：圆心为且过点,
圆的半径,
则圆的方程为.
故选：D.
6．答案：D
解析：设该圆的方程为,
将,,代入圆的方程可得:
,解得,
故圆的方程为,
整理得,
当时,;当时,或5;
当时,或6;当时,或7;
当时,或6;当时,或5;
当时,,所以该圆经过的整点共有12个.
故选:D.
7．答案：B
解析：由,得,
解得.
故选:B
8．答案：D
解析：因为，，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
9．答案：AD
解析：做出函数与的草图
设与圆相切，
则或（舍去）.
因为函数与有两个交点，
所以.
故选：AD
10．答案：AB
解析：由题知，圆C的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆C与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆C与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与不相切，D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为，半径，
依题意直线l的斜率存在，
若直线l过坐标原点，设直线l为，即，
则，解得，
所以直线l的方程为或；
若直线l不过坐标原点，设直线l为（），即，
则，解得（舍去）或，
所以直线l的方程为，
综上可得直线l的方程为或或.
12．答案：
解析：设圆的方程为,
代入三点,,,有
解得,,,
故圆的方程为,
故圆的标准方程为.
故答案为：.
13．答案：
解析：如图,作出圆,因点是圆上一点,故可看成圆上的点与原点连线的斜率.
考虑直线与圆相切时,设切线斜率为k,则圆心到直线的距离为,
解得,由图知要使过原点的直线与圆有公共点,
需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角,或不超过切线的倾斜角,
故直线的斜率或,即的范围为.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意，圆心C到原点距离与到直线的距离相等，
所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，
则，则，．
15．答案：圆心坐标是，半径
解析：设圆的方程是.①
因为O，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.
把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径.
解题思路：将点O，，的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
16．答案：
解析：设所求的方程是.
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入，得.
所以，的外接圆的标准方程是.
解题思路：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）圆心在，半径长是，
故圆的标准方程为.
（2）圆心在，且经过点，
故半径为，
故圆的标准方程为.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）圆的方程可化为，
则圆心，半径为2，
由，可知点P在圆的外部，作出圆及过点P的切线如图所示，
由图可知，过点P的切线l的斜率存在，
设l的方程为，即，
则圆心到直线l的距离为，解得或，
所以直线l的方程为或.
（2）由
两式相减得直线AB的方程为，
则圆心到直线AB的距离，
所以.
19．答案：（1）圆和圆相交；
（2）不存在.
解析：（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，
圆的方程为，则，半径，
两圆的圆心距，又,，
，故圆和圆相交.
（2）不存在.理由如下：
圆的方程可化为，则，半径.而，半径.
假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解.
故不存在实数m，使得圆和圆内含.
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