2.3.4 圆与圆的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.3.4 圆与圆的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为( )
A. B. C. D.
2．已知圆与圆外切,则( )
A. B. C. D.
3．若曲线与圆相切,则r的值为( )
A.3 B.2或7 C.2 D.3或7
4．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与x轴、y轴相切，则圆与圆的半径之积为( )
A. B. C. D.
5．已知圆,圆,则这两个圆的位置关系为( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
6．圆与圆的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
7．若圆与圆相交,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知圆与圆内切,则m的值可以为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10．已知平面内一动点M到坐标原点的距离为1，以M为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则( )
A.存在唯一的圆M，使得两点重合
B.
C.若存在，则其不可能为等边三角形
D.的最大值为
11．若圆与圆相交，则k的取值可能为( )
A. B.0 C.3 D.5
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．经过点以及圆与交点的圆的方程为__________.
13．已知圆与圆有四条公共切线,则实数a的取值可能是_____________.（填序号）
①-3;
②-2;
③;
④.
14．已知圆和两点,,若圆C上存在点P,使得,则a的最小值为_______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系.
（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
16．已知圆与圆相交于A，B两点，求直线AB的方程.
17．若圆与圆()的公共弦的长为，求实数a的值.
18．若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程.
19．在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
（2）设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满足,写出Р的轨迹的参数方程,并判断C与是否有公共点.
参考答案
1．答案：D
解析：依题意，，
所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，画出图象如下图所示，，，两圆半径都是，
设两个圆相交于A，B两点，则，，
由于，，
所以是圆的切线，是圆的切线，
同理是圆的切线，是圆的切线，
，所以四边形是正方形，
所以区域面积为.
故选：D
2．答案：C
解析：由圆与圆外切,可得,即,.
故选：C.
3．答案：A
解析：曲线,则,又,
所以曲线表示以为圆心,2为半径的半圆（x轴及x轴上方部分）,
圆的圆心为,半径为r,
又,
若,即时满足曲线与圆相切.
故选:A
4．答案：C
解析：当点A在第一象限时，圆，的方程为的形式，
代入点的坐标，
可得关于r的方程，
圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，同理，当点A在第二、三、四象限时也可得.
当点A在y轴上时，，
此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），
两圆在A点处相切，
且，满足.
同理，当点A在x轴上时，，
同样满足.
故选：C.
5．答案：C
解析：圆的圆心为,半径为,
可化为,
圆的圆心为,半径为,
圆心距,
,,,
所以两个圆的位置关系是相交.
故选:C
6．答案：B
解析：由题意，，圆心为，半径，
，圆心为，半径，
由，可知，两圆的位置关系为相交
故选：B
7．答案：D
解析：由已知,,两圆半径分别为,1,,
而两圆相交,则,解得.
故选:D.
8．答案：D
解析：由题意知，,,,，
所以,，则，
所以两圆内切.
故选：D
9．答案：BD
解析：圆的圆心,半径,
圆的圆心,半径,
因为圆与圆内切,所以,即,解得或2.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：由于坐标原点与其中一点重合，不妨设坐标原点为A，
当动圆M与圆N内切或外切时，均有两点重合，A错误；
点M在以A为圆心、1为半径的圆上运动，
故，B正确；
由于，要使为等边三角形，
则，又因为，
所以不可能为等边三角形，C正确；
要使最大，即最大，
只需要取最大值即可，由，
当且仅当三点共线时等号成立，
此时，
故此时，D正确
故选BCD.
11．答案：AC
解析：两圆的圆心，，圆心距，
半径分别为2，1，
因为圆M与圆N相交，
所以，解得或.
故选：AC.
12．答案：
解析：联立,整理得,
代入,得,解得或,
则圆与交点坐标为,,
设经过点以及,的圆的方程为,
则,解得,
故经过点以及圆与交点的圆的方程为,
故答案为:
13．答案：①④
解析：圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
因为两圆有四条公切线,所以两圆外离,
又两圆圆心距,即,解得或,
故答案为：①④.
14．答案：4
解析：由得点P在圆上,
所以点P在圆上,又在圆C上,
所以两圆有交点,
因为圆的圆心为,半径为a,
圆的圆心为,半径为1,
所以,即,
解得,
所以a的最小值为4.
故答案为：4.
15．答案：（1）圆和圆相交
（2）不存在.理由见解析
解析：（1）当时，圆的标准方程为，则，半径.
圆的标准方程为，则，半径，
两圆的圆心距.
又，，
，
圆和圆相交.
（2）不存在.理由如下：
圆的方程可化为，
则，半径.
由（1）知，，半径.
假设存在实数m，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解.
故不存在实数m，使得圆和圆内含.
16．答案：
解析：由圆和圆相减可得，
公共弦的方程为，即，
所以直线的方程为.
17．答案：1
解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：，解得.
18．答案：
解析：联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：.
19．答案：（1）;
（2）P的轨迹的参数方程为（为参数）,C与没有公共点.
解析：（1）由曲线C的极坐标方程可得,
将代入可得,即,
即曲线C的直角坐标方程为;
（2）[方法一]【最优解】
设,设
,
,
则,即,
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,
则圆心距为,,两圆内含,
故曲线C与没有公共点.
[方法二]：
设点P的直角坐标为,,因为,
所以,,,
由,
即,
解得,
所以,代入C的方程得,
化简得点P的轨迹方程是,表示圆心为,半径为2的圆;
化为参数方程是,为参数;
计算,
所以圆C与圆内含,没有公共点.
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