2.4 曲线与方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.4 曲线与方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:54:33 | ||
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文档简介
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2.4 曲线与方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A. B.或 C. D.以上都不对
2．曲线：与：交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知曲线与直线有两个交点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知曲线，直线与曲线C恰有两个交点，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．在直角坐标系中，曲线与圆的公共点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．2024个
6．若方程与所表示的两条直线的交点在方程所表示的曲线上,则实数k的值为( )
A.0 B. C. D.一切实数
7．已知在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称;
④曲线W关于直线对称.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．方程表示的曲线是下图中的( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题,则下列命题中是假命题的是( )
A.方程的曲线是C B.方程的曲线不一定是C C.是曲线C的方程 D.以方程的解为坐标的点都在曲线C上
10．设方程的解集非空,若命题“坐标满足方程的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题不正确的是( )
A.坐标满足方程的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程
C.坐标满足方程的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足
11．已知曲线,则曲线C ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线与曲线仅有一个公共点,则实数k的取值范围是___________________.
13．定义在区间 上的函数的图象与的图象的交点个数是__________.
14．曲线的方程为 ,其上一点,则的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知是圆内的一点，A,B是圆上两动点，且满足，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
16．已知,动点P满足.
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）在直线上求一点Q,使过点Q能作轨迹C的两条互相垂直的切线.
17．已知曲线C是动点M到两个定点距离之比为的点的轨迹.
(1)求曲线C的方程；
(2)求过点且与曲线C相切的直线方程.
18．在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
1.求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
2.若分别是曲线和上的任意一点,求的最小值
19．在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为,直线与交于两点
1.写出的方程;
2.若求的值
参考答案
1．答案：B
解析：由得，，该曲线表示的是圆在y轴及右侧的部分，如图所示，表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，结合图形知b的取值范围是，或.故选B.
2．答案：D
解析：解：因为曲线：，所以当时，，当时，，因为：，所以当，时，；当，时，无意义，当，时，，当，时，，所以曲线与曲线共四个交点，故选：D.
3．答案：C
解析：依题意，方程组有两组实数解，即方程有两个不相等的实数根，将方程整理为，所以，解得.
4．答案：D
解析：画出曲线,如图，
当直线过点时，；
当直线过点时，；
当直线过点时，.
因为直线与曲线C恰有两个交点，
所以且，
所以，故选D.
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：两直线的交点为，又点在曲线上，所以，解得.故选C.
7．答案：A
解析：由题意，可知，从方程可以看出，当x换成或y换成或两者同时替换时，方程改变，只有当x,y互换时，方程不变，因此曲线W关于直线对称.只有④是真命题.故选A.
8．答案：C
解析：当时，，当时，,所以.故选C.
9．答案：ACD
解析：曲线C上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解为坐标的点不一定在曲线C上，所以A,C,D都是假命题.故选ACD.
10．答案：ABC
解析：考査命题形式的等价转换.所给命题不正确,即“坐标满足方程的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情况,故A,C错误,B显然错误.
11．答案：ABCD
解析：曲线,则都成立,故曲线C关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称.
取曲线上任意一点关于直线对称的点为成立.故选ABCD.
12．答案：
解析：如图,曲线,即,表示以为圆心,2为半径的半圆,该半圆位于直线上方.直线恒过点,
由圆心到直线的距离等于半径得,解得.
由图可知,当直线经过点时,直线的斜率为,
当直线经过点时,直线的斜率不存在.
综上,实数k的取值范围是.
13．答案：7
解析：由 或,因为,
所以共个.
14．答案：
解析：
15．答案：设AB的中点为，
则在中，.
又R是弦AB的中点，
所以（O为坐标原点），故,
又,
所以，
即，
设,
因为R是PQ的中点，所以,.
代入方程,
得，
整理得.
又A,B不与P共线，所以点R不在x轴上，所以，所以,
所以矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为.
解析：
16．答案：（1）设点,由,
得,
化简得.因此点P的轨迹方程为.
（2）设点Q的坐标为,设切线与圆相切于两点.
由题可知四边形为正方形,且,
所以,
则,解得.
因此点Q的坐标为.
解析：
17．答案：(1)设点.
由及两点间的距离公式,
得,①
将①式两边平方整理得,
即曲线C的方程为.
(2)由(1)得,其圆心为,半径为2.
当过点的直线的斜率不存在时,直线方程为,显然与圆相切；
当过点的直线的斜率存在时,设其方程为,即.
由直线与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径,即,解得,
此时直线方程为,
所以过点且与曲线C相切的直线方程为或.
解析：
18．答案：1.
2.
解析：
19．答案：1.设由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为的椭圆
它的短半轴,故曲线的方程为
2.设其坐标满足消去并整理得
故若即,而
于是化简得.所以
解析：
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一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是( )
A. B.或 C. D.以上都不对
2．曲线：与：交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知曲线与直线有两个交点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知曲线，直线与曲线C恰有两个交点，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．在直角坐标系中，曲线与圆的公共点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．2024个
6．若方程与所表示的两条直线的交点在方程所表示的曲线上,则实数k的值为( )
A.0 B. C. D.一切实数
7．已知在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于x轴对称；
③曲线W关于y轴对称;
④曲线W关于直线对称.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．方程表示的曲线是下图中的( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．命题“曲线C上的点的坐标都是方程的解”是真命题,则下列命题中是假命题的是( )
A.方程的曲线是C B.方程的曲线不一定是C C.是曲线C的方程 D.以方程的解为坐标的点都在曲线C上
10．设方程的解集非空,若命题“坐标满足方程的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题不正确的是( )
A.坐标满足方程的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程
C.坐标满足方程的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足
11．已知曲线,则曲线C ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线与曲线仅有一个公共点,则实数k的取值范围是___________________.
13．定义在区间 上的函数的图象与的图象的交点个数是__________.
14．曲线的方程为 ,其上一点,则的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知是圆内的一点，A,B是圆上两动点，且满足，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
16．已知,动点P满足.
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）在直线上求一点Q,使过点Q能作轨迹C的两条互相垂直的切线.
17．已知曲线C是动点M到两个定点距离之比为的点的轨迹.
(1)求曲线C的方程；
(2)求过点且与曲线C相切的直线方程.
18．在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的长度单位,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
1.求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
2.若分别是曲线和上的任意一点,求的最小值
19．在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为,直线与交于两点
1.写出的方程;
2.若求的值
参考答案
1．答案：B
解析：由得，，该曲线表示的是圆在y轴及右侧的部分，如图所示，表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，结合图形知b的取值范围是，或.故选B.
2．答案：D
解析：解：因为曲线：，所以当时，，当时，，因为：，所以当，时，；当，时，无意义，当，时，，当，时，，所以曲线与曲线共四个交点，故选：D.
3．答案：C
解析：依题意，方程组有两组实数解，即方程有两个不相等的实数根，将方程整理为，所以，解得.
4．答案：D
解析：画出曲线,如图，
当直线过点时，；
当直线过点时，；
当直线过点时，.
因为直线与曲线C恰有两个交点，
所以且，
所以，故选D.
5．答案：A
解析：
6．答案：C
解析：两直线的交点为，又点在曲线上，所以，解得.故选C.
7．答案：A
解析：由题意，可知，从方程可以看出，当x换成或y换成或两者同时替换时，方程改变，只有当x,y互换时，方程不变，因此曲线W关于直线对称.只有④是真命题.故选A.
8．答案：C
解析：当时，，当时，,所以.故选C.
9．答案：ACD
解析：曲线C上的点的坐标都是方程的解，但以方程的解为坐标的点不一定在曲线C上，所以A,C,D都是假命题.故选ACD.
10．答案：ABC
解析：考査命题形式的等价转换.所给命题不正确,即“坐标满足方程的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情况,故A,C错误,B显然错误.
11．答案：ABCD
解析：曲线,则都成立,故曲线C关于x轴对称,关于y轴对称,关于原点对称.
取曲线上任意一点关于直线对称的点为成立.故选ABCD.
12．答案：
解析：如图,曲线,即,表示以为圆心,2为半径的半圆,该半圆位于直线上方.直线恒过点,
由圆心到直线的距离等于半径得,解得.
由图可知,当直线经过点时,直线的斜率为,
当直线经过点时,直线的斜率不存在.
综上,实数k的取值范围是.
13．答案：7
解析：由 或,因为,
所以共个.
14．答案：
解析：
15．答案：设AB的中点为，
则在中，.
又R是弦AB的中点，
所以（O为坐标原点），故,
又,
所以，
即，
设,
因为R是PQ的中点，所以,.
代入方程,
得，
整理得.
又A,B不与P共线，所以点R不在x轴上，所以，所以,
所以矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为.
解析：
16．答案：（1）设点,由,
得,
化简得.因此点P的轨迹方程为.
（2）设点Q的坐标为,设切线与圆相切于两点.
由题可知四边形为正方形,且,
所以,
则,解得.
因此点Q的坐标为.
解析：
17．答案：(1)设点.
由及两点间的距离公式,
得,①
将①式两边平方整理得,
即曲线C的方程为.
(2)由(1)得,其圆心为,半径为2.
当过点的直线的斜率不存在时,直线方程为,显然与圆相切；
当过点的直线的斜率存在时,设其方程为,即.
由直线与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径,即,解得,
此时直线方程为,
所以过点且与曲线C相切的直线方程为或.
解析：
18．答案：1.
2.
解析：
19．答案：1.设由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为的椭圆
它的短半轴,故曲线的方程为
2.设其坐标满足消去并整理得
故若即,而
于是化简得.所以
解析：
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