2.5 椭圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5 椭圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:54:49 | ||
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文档简介
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2.5 椭圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A.1 B.1或5 C.5 D.3或5
3．已知椭圆与抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4．已知椭圆上存在两点M，N关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知，分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若直线与直线互相垂直，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上（异于A，B），设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.不能确定
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线,则下列结论正确的有( )
A.若,则C是焦点在轴上的椭圆
B.若,则C是圆
C.若,则C是焦点在轴上的椭圆
D.若,则C是两条平行于y轴的直线
10．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有( )
附：椭圆（）上一点处的切线方程为.
A.圆法中圆的半径为 B.
C. D.
11．若方程所表示的曲线为C，则( )
A.曲线C可能是圆
B.当时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为
C.若，则C为椭圆
D.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A,B.左、右焦点分别是,,在线段上有且只有一个点P满足,则椭圆的离心率的平方为________.
13．已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率_______.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与C交于A，B两点，的周长为.
(1)求C的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于M，N两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
16．已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点能否作一条直线l,使直线l与椭圆交于A,B两点,且使得M是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
17．已知椭圆的离心率为，且过点，直线l与E交于A，B两点.
(1)求E的方程；
(2)若线段的中点为，求直线l的方程；
(3)若直线l的斜率不为0且经过E的左焦点，点P是y轴上的一点，且，，求直线l的斜率.
18．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？
（1）与；
（2）与.
19．已知椭圆的离心率为，且短轴长为.
(1)求M的方程；
(2)若直线l与M交于A，B两点，且弦的中点为，求l的一般式方程.
参考答案
1．答案：A
解析：方程变形得：，
该方程要表示椭圆，则需要满足，
解得：，
故选：A.
2．答案：C
解析：根据左焦点的坐标为，
可得，且焦点在x轴上，
结合椭圆标准方程可得，
故.
故选：C.
3．答案：C
解析：易知点或，
所以，，即，
将代入抛物线方程可得，则，
设椭圆的下焦点为，因为轴，
则，
由椭圆的定义可得，
所以，椭圆的离心率为.
故选：C.
4．答案：A
解析：设点、，
线段的中点为，
则，
由题意，椭圆的离心率为，
可得，
因为M、N关于直线对称，
且直线的斜率为2，
则，
将点M、N的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，
即，
即，即，
又因为点在直线上，
则，
则有，
解得，
故线段的中点为.
故选：A.
5．答案：C
解析：令可得，
则，所以，
所以，
因为直线与直线互相垂直，
所以，
所以在中，，所以，
所以，所以，
所以或（舍去），
所以C的离心率为.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意，设，，，
则，，
，
则，
则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
7．答案：A
解析：设，则，
故，即，
故，即.
故，
故.
故选：A
8．答案：B
解析：由题可得，即，
则，
.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若,则曲线,
所以C是圆,故B正确;
对于C,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故C错误;
对于D,若,则,
所以C是两条平行于y轴的直线,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：AD
解析：由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R，如图所示，
则，解得，A正确；
所以，若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，
设椭圆方程为（），如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，又因为，
所以，即，所以，D正确.
故选：AD.
11．答案：AD
解析：对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确；
对于B，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，
且，，所以，解得，焦距为，故B错误；
对于C，由A知，表示圆，故C错误；
对于D，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由于,,
由直线的方程为,整理得,
由于,则P在以为直径的圆上,故
由于在线段上有且只有一个点P满足,故直线与圆相切,
可得,两边平方,整理得,
两边同时除以,由,,
,又椭圆的离心率,.
椭圆的离心率的平方,
故答案为:
13．答案：
解析：设切点为M，右焦点为
由题意可知，则
因为M，O分别是，的中点，所以
由椭圆的定义可知，即
两边平方得
即
故答案为：.
14．答案：或
解析：如图，的内切圆与三边分别切于点E，F，G，
若，则，，，
因为，则，可得，
则，可得，
因为，
即，可得，
又因为，
即，可得，
且，解得，，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）或；
（3）
解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故C的方程为.
（2）易知的斜率不为0，设，，，
联立，得，
所以，.
所以，
由，
解得，所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)椭圆C的顶点为,,
又,,
,
椭圆C的方程为：.
(2）当过点M的直线斜率不存在时,显然不成立,
设直线的斜率为k,则其方程为：,如图,
联立方程组,消去y并整理,
得：,
由M在椭圆内部可知,方程有两不等实根,
设,,
,且点是线段的中点,
,,
故存在这样的直线,方程为：,即,
17．答案：(1).
(2).
(3)
解析：(1)由题意知
解得，，，
所以E的方程为.
(2)设，，
又线段的中点为，
所以
即
又，是E上的点，
所以
所以，
所以
即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即.
(3)由题意左焦点，直线l的斜率不为0，
设直线，
由
得，
所以，
，，
.
设的中点为C，则，
点P在y轴上，且，，
则垂直平分，且，
所以的中垂线方程为，
令，得，
所以，
又
所以，
解得，
所以直线l的斜率是
18．答案：（1）椭圆更接近于圆
（2）椭圆更接近于圆
解析：因为椭圆的离心率，
所以e越大，越小，椭圆越扁；e越小，越大，椭圆越圆.
（1）椭圆即，其离心率，
椭圆的离心率，
因为，所以椭圆更接近于圆；
（2）椭圆即，其离心率，
椭圆的离心率，
因为，所以椭圆更接近于圆.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意可得椭圆M中，
又因为，解得，，
所以椭圆M的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以l的斜率，
故l的方程为，即.
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2.5 椭圆及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A.1 B.1或5 C.5 D.3或5
3．已知椭圆与抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4．已知椭圆上存在两点M，N关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知，分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若直线与直线互相垂直，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上（异于A，B），设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.不能确定
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知曲线,则下列结论正确的有( )
A.若,则C是焦点在轴上的椭圆
B.若,则C是圆
C.若,则C是焦点在轴上的椭圆
D.若,则C是两条平行于y轴的直线
10．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则下列结论中正确的有( )
附：椭圆（）上一点处的切线方程为.
A.圆法中圆的半径为 B.
C. D.
11．若方程所表示的曲线为C，则( )
A.曲线C可能是圆
B.当时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为
C.若，则C为椭圆
D.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A,B.左、右焦点分别是,,在线段上有且只有一个点P满足,则椭圆的离心率的平方为________.
13．已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率_______.
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点P是y轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与C交于A，B两点，的周长为.
(1)求C的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于M，N两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
16．已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点能否作一条直线l,使直线l与椭圆交于A,B两点,且使得M是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
17．已知椭圆的离心率为，且过点，直线l与E交于A，B两点.
(1)求E的方程；
(2)若线段的中点为，求直线l的方程；
(3)若直线l的斜率不为0且经过E的左焦点，点P是y轴上的一点，且，，求直线l的斜率.
18．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？
（1）与；
（2）与.
19．已知椭圆的离心率为，且短轴长为.
(1)求M的方程；
(2)若直线l与M交于A，B两点，且弦的中点为，求l的一般式方程.
参考答案
1．答案：A
解析：方程变形得：，
该方程要表示椭圆，则需要满足，
解得：，
故选：A.
2．答案：C
解析：根据左焦点的坐标为，
可得，且焦点在x轴上，
结合椭圆标准方程可得，
故.
故选：C.
3．答案：C
解析：易知点或，
所以，，即，
将代入抛物线方程可得，则，
设椭圆的下焦点为，因为轴，
则，
由椭圆的定义可得，
所以，椭圆的离心率为.
故选：C.
4．答案：A
解析：设点、，
线段的中点为，
则，
由题意，椭圆的离心率为，
可得，
因为M、N关于直线对称，
且直线的斜率为2，
则，
将点M、N的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，
即，
即，即，
又因为点在直线上，
则，
则有，
解得，
故线段的中点为.
故选：A.
5．答案：C
解析：令可得，
则，所以，
所以，
因为直线与直线互相垂直，
所以，
所以在中，，所以，
所以，所以，
所以或（舍去），
所以C的离心率为.
故选：C.
6．答案：A
解析：由题意，设，，，
则，，
，
则，
则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
7．答案：A
解析：设，则，
故，即，
故，即.
故，
故.
故选：A
8．答案：B
解析：由题可得，即，
则，
.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若,则曲线,
所以C是圆,故B正确;
对于C,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故C错误;
对于D,若,则,
所以C是两条平行于y轴的直线,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：AD
解析：由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R，如图所示，
则，解得，A正确；
所以，若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，
设椭圆方程为（），如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，又因为，
所以，即，所以，D正确.
故选：AD.
11．答案：AD
解析：对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确；
对于B，当时，方程为表示焦点在x轴上的椭圆，
且，，所以，解得，焦距为，故B错误；
对于C，由A知，表示圆，故C错误；
对于D，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由于,,
由直线的方程为,整理得,
由于,则P在以为直径的圆上,故
由于在线段上有且只有一个点P满足,故直线与圆相切,
可得,两边平方,整理得,
两边同时除以,由,,
,又椭圆的离心率,.
椭圆的离心率的平方,
故答案为:
13．答案：
解析：设切点为M，右焦点为
由题意可知，则
因为M，O分别是，的中点，所以
由椭圆的定义可知，即
两边平方得
即
故答案为：.
14．答案：或
解析：如图，的内切圆与三边分别切于点E，F，G，
若，则，，，
因为，则，可得，
则，可得，
因为，
即，可得，
又因为，
即，可得，
且，解得，，
所以椭圆的离心率是.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）或；
（3）
解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故C的方程为.
（2）易知的斜率不为0，设，，，
联立，得，
所以，.
所以，
由，
解得，所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)椭圆C的顶点为,,
又,,
,
椭圆C的方程为：.
(2）当过点M的直线斜率不存在时,显然不成立,
设直线的斜率为k,则其方程为：,如图,
联立方程组,消去y并整理,
得：,
由M在椭圆内部可知,方程有两不等实根,
设,,
,且点是线段的中点,
,,
故存在这样的直线,方程为：,即,
17．答案：(1).
(2).
(3)
解析：(1)由题意知
解得，，，
所以E的方程为.
(2)设，，
又线段的中点为，
所以
即
又，是E上的点，
所以
所以，
所以
即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
即.
(3)由题意左焦点，直线l的斜率不为0，
设直线，
由
得，
所以，
，，
.
设的中点为C，则，
点P在y轴上，且，，
则垂直平分，且，
所以的中垂线方程为，
令，得，
所以，
又
所以，
解得，
所以直线l的斜率是
18．答案：（1）椭圆更接近于圆
（2）椭圆更接近于圆
解析：因为椭圆的离心率，
所以e越大，越小，椭圆越扁；e越小，越大，椭圆越圆.
（1）椭圆即，其离心率，
椭圆的离心率，
因为，所以椭圆更接近于圆；
（2）椭圆即，其离心率，
椭圆的离心率，
因为，所以椭圆更接近于圆.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意可得椭圆M中，
又因为，解得，，
所以椭圆M的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，
又根据题意带入可得，
所以l的斜率，
故l的方程为，即.
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