2.5.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.5.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:55:51 | ||
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文档简介
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2.5.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．曲线与曲线（）的( )
A.短轴长相等 B.长轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
4．若方程表示椭圆,则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5．过点和的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6．方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B.或
C. D.
7．“”是“曲线表示椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在棱长为1的正方体中，以为焦点的椭圆，绕着轴旋转得到的旋转体称为椭球，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球的长轴长为2，则下列结论中正确的是( )
A.椭球的表面与正方体的六个面都有交线
B.在正方体的所有棱中，只有六条棱与椭球的表面相交
C.若椭球的表面与正方体的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点
D.椭球的表面与正方体的一个面的交线是椭圆的一段
10．彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体,它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位,远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位,且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上,则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）( )
A. B. C. D.
11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线l与椭圆交于A，B两点，弦的中点为，则直线l的方程为________.
13．若方程表示椭圆,则m的取值范围是___________.
14．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆的一个焦点为,椭圆上的点到F的最大距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过F的直线l与x轴垂直,l与椭圆C交于A,B两点,连接并延长交椭圆C于点D,求证：直线过定点.
16．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求M的方程;
（2）若倾斜角为的直线l与M交于A,B两点,线段AB的中点坐标为,求m.
17．已知点，在椭圆上.
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ中点时，证明.直线l过定点.
18．已知椭圆上任意一点P到两个焦点距离之和为8,且离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点作直线l交椭圆于A,B两点,点M为线段AB的中点,求直线l的方程.
19．已知菱形的一对内角各为，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.
参考答案
1．答案：A
解析：因为方程表示椭圆,所以,解得.
同时,解得.
由于焦点在y轴上,所以,即.
移项可得,即.解得.
综合前面的条件,和.
所以k的取值范围是.
故选:A.
2．答案：A
解析：由题意可得：,解得,
所以m的取值范围为.
故选：A.
3．答案：C
解析：A选项,明显短轴不相等,一个,,故错误;B选项,一个
另一个为,故错误.D选项,离心率,结合前面提到了a不相等,故错误;曲线的焦半径满足,而焦半径满足
,故两曲线的焦半径相等,故焦距相等,C正确.
4．答案：D
解析：因为方程表示椭圆,
所以,解得,
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意可得椭圆焦点在x轴上,
且,故椭圆方程为.
故选:B
6．答案：B
解析：若表示椭圆,
则,解得或.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为曲线为椭圆,
所以,解得且,
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B.
8．答案：B
解析：椭圆可化为,可知粗圆焦点在y轴上,焦点坐标为,故可设所求椭圆方程,则,又,即,所以,则所求椭圆的标准方程为.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：画图可知A正确；对于B，C，设P是椭圆和棱交点，设，，解得，故棱存在一点P满足条件，设Q是椭圆和棱交点，则，故不存在一点Q，故B正确，C错误；对于D，连接，交于O,连接，交于，连接，O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，设是椭圆的表面和正方体的表面的交点，则，，，整理得，进一步解题思路可知点M的轨迹是椭圆的一部分.
10．答案：AC
解析：由已知可得,,
则,,,
当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为;
当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为,即;
故选：AC.
11．答案：BC
解析：焦点在x轴上,则标准方程中,解得或．
又,,得,所以或．
故选：BC．
12．答案：
解析：由已知可得椭圆的半焦距，又短轴为长轴的，
故，故，，故椭圆方程为，
设弦的两端点为，，
则有，两式相减得.
整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得.
故答案为：
13．答案：
解析：由题意可知且.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，显然，则方程可化为，
所以，解得，所以实数k的取值范围是.
故答案为.
15．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意,椭圆上的点到F的最大距离为,
所以,,所以椭圆方程为;
(2)显然直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,,
则,由,
可得,
,
,,
所以直线的方程为,
令,可得
,
所以直线过定点.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆M的长轴长是短轴长的倍,
所以,
解得,
则M的方程为;
（2）易知,
不妨设,,
因为线段AB的中点坐标为,
所以,,
因为A,B两点在椭圆M上,
所以,
整理得,
即,
解得,
经检验,点在椭圆M内.
故.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知，，得，所以椭圆M的方程为.
（2）由题意知，当轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，
联立消去y
得，
则，
即
设，，，，
AB的方程为，令得，
AD的方程为，令得，
由P是CQ中点，得，即，
即，
即，
即，所以得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去.
所以l的方程为，即，
所以l过定点.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆的定义知,,,
又椭圆的离心率,,
,
椭圆C的标准方程为.
（2）为椭圆内一点,直线l与椭圆必交于A,B两点,
设,,当时,不合题意,故,
为线段AB的中点,,,
又A,B均在椭圆上,,
两式相减,得,即,
,,即,
直线l的方程为,即.
19．答案：椭圆标准方程为或
解析：如图，菱形的一对内角，则，
因为边长为4，所以，，，
当以A、C为焦点且在x轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
当以A、C为焦点且在y轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
综上所述，椭圆标准方程为或.
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2.5.1 椭圆的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．曲线与曲线（）的( )
A.短轴长相等 B.长轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
4．若方程表示椭圆,则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5．过点和的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6．方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B.或
C. D.
7．“”是“曲线表示椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在棱长为1的正方体中，以为焦点的椭圆，绕着轴旋转得到的旋转体称为椭球，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球的长轴长为2，则下列结论中正确的是( )
A.椭球的表面与正方体的六个面都有交线
B.在正方体的所有棱中，只有六条棱与椭球的表面相交
C.若椭球的表面与正方体的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点
D.椭球的表面与正方体的一个面的交线是椭圆的一段
10．彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体,它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位,远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位,且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上,则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）( )
A. B. C. D.
11．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线l与椭圆交于A，B两点，弦的中点为，则直线l的方程为________.
13．若方程表示椭圆,则m的取值范围是___________.
14．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆的一个焦点为,椭圆上的点到F的最大距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过F的直线l与x轴垂直,l与椭圆C交于A,B两点,连接并延长交椭圆C于点D,求证：直线过定点.
16．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求M的方程;
（2）若倾斜角为的直线l与M交于A,B两点,线段AB的中点坐标为,求m.
17．已知点，在椭圆上.
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆M交于C，D两个不同的点(异于A，B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB，AD于点P，Q，当P是CQ中点时，证明.直线l过定点.
18．已知椭圆上任意一点P到两个焦点距离之和为8,且离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点作直线l交椭圆于A,B两点,点M为线段AB的中点,求直线l的方程.
19．已知菱形的一对内角各为，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.
参考答案
1．答案：A
解析：因为方程表示椭圆,所以,解得.
同时,解得.
由于焦点在y轴上,所以,即.
移项可得,即.解得.
综合前面的条件,和.
所以k的取值范围是.
故选:A.
2．答案：A
解析：由题意可得：,解得,
所以m的取值范围为.
故选：A.
3．答案：C
解析：A选项,明显短轴不相等,一个,,故错误;B选项,一个
另一个为,故错误.D选项,离心率,结合前面提到了a不相等,故错误;曲线的焦半径满足,而焦半径满足
,故两曲线的焦半径相等,故焦距相等,C正确.
4．答案：D
解析：因为方程表示椭圆,
所以,解得,
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意可得椭圆焦点在x轴上,
且,故椭圆方程为.
故选:B
6．答案：B
解析：若表示椭圆,
则,解得或.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为曲线为椭圆,
所以,解得且,
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B.
8．答案：B
解析：椭圆可化为,可知粗圆焦点在y轴上,焦点坐标为,故可设所求椭圆方程,则,又,即,所以,则所求椭圆的标准方程为.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：画图可知A正确；对于B，C，设P是椭圆和棱交点，设，，解得，故棱存在一点P满足条件，设Q是椭圆和棱交点，则，故不存在一点Q，故B正确，C错误；对于D，连接，交于O,连接，交于，连接，O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，设是椭圆的表面和正方体的表面的交点，则，，，整理得，进一步解题思路可知点M的轨迹是椭圆的一部分.
10．答案：AC
解析：由已知可得,,
则,,,
当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为;
当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为,即;
故选：AC.
11．答案：BC
解析：焦点在x轴上,则标准方程中,解得或．
又,,得,所以或．
故选：BC．
12．答案：
解析：由已知可得椭圆的半焦距，又短轴为长轴的，
故，故，，故椭圆方程为，
设弦的两端点为，，
则有，两式相减得.
整理得，
所以弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得.
故答案为：
13．答案：
解析：由题意可知且.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，显然，则方程可化为，
所以，解得，所以实数k的取值范围是.
故答案为.
15．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题意,椭圆上的点到F的最大距离为,
所以,,所以椭圆方程为;
(2)显然直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,,
则,由,
可得,
,
,,
所以直线的方程为,
令,可得
,
所以直线过定点.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为椭圆M的长轴长是短轴长的倍,
所以,
解得,
则M的方程为;
（2）易知,
不妨设,,
因为线段AB的中点坐标为,
所以,,
因为A,B两点在椭圆M上,
所以,
整理得,
即,
解得,
经检验,点在椭圆M内.
故.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题知，，得，所以椭圆M的方程为.
（2）由题意知，当轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，
联立消去y
得，
则，
即
设，，，，
AB的方程为，令得，
AD的方程为，令得，
由P是CQ中点，得，即，
即，
即，
即，所以得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去.
所以l的方程为，即，
所以l过定点.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆的定义知,,,
又椭圆的离心率,,
,
椭圆C的标准方程为.
（2）为椭圆内一点,直线l与椭圆必交于A,B两点,
设,,当时,不合题意,故,
为线段AB的中点,,,
又A,B均在椭圆上,,
两式相减,得,即,
,,即,
直线l的方程为,即.
19．答案：椭圆标准方程为或
解析：如图，菱形的一对内角，则，
因为边长为4，所以，，，
当以A、C为焦点且在x轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
当以A、C为焦点且在y轴上时，设椭圆标准方程为，
所以，，，
即；
综上所述，椭圆标准方程为或.
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