2.5.2 椭圆的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.5.2 椭圆的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若椭圆的离心率为，则( )
A.3 B.2 C. D.
2．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，过点作圆的切线，与C交于M，N两点.设圆O的面积和的内切圆面积分别为，，且，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
3．设椭圆的右焦点为F.P为C上一点，的半径为，过P作y轴的垂线，交于M，N两点，M在N的左侧.记C的离心率为e，点M轨迹的离心率为，点N轨迹的离心率为，则( )
A. B. C. D.
4．已知F为椭圆()的右焦点，A，B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，若的周长为，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
5．已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
7．椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.2
8．如图所示,椭圆的中心在原点,焦点,在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且轴,,则此椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆的离心率为，则k的值可以为( )
A. B. C.4 D.
10．已知椭圆()的左 右焦点分别为,,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从,,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个等边三角形,则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有( )
A. B. C. D.
11．已知椭圆的离心率为,则m的值可能为( )
A. B. C.5 D.25
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知椭圆的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________.
13．椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件.椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处.从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的A，B两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为________.
14．已知椭圆的焦点在x轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知O为坐标原点,椭圆,是上一点,离心率.
（1）求的方程;
（2）斜率为的直线l交于A,B两点,P在以为直径的圆上,求的最大值.
16．已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,M为线段的中点,P为椭圆上动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)延长交椭圆于Q,若,求直线的方程.
17．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于A、B两点，求线段的垂直平分线的方程.
18．在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线上，且圆C经过点和点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点且与圆C相交的直线的斜率的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)椭圆C的方程；
(2)设直线交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，即，则椭圆C的焦点在y轴上，
因此，所以.
故选：C
2．答案：C
解析：因为在圆O上，所以易知轴，
由解得，所以，
设的内切圆半径为r，
由等面积法可知：，
所以，所以，
又因为，，
所以，所以，
所以，所以，
故选：C.
3．答案：D
解析：设，
，
故，，
故带入有，
同理得，
由有，，
故，
，
故，
故答案为：D.
4．答案：D
解析：由题意可得，
所以，
即，
解得或（舍去）.
故选：D.
5．答案：B
解析：根据为等腰直角三角形，
故，，
故，
，
故选：B
6．答案：A
解析：的垂心为点A，
是以A为直角顶点的直角三角形，又,
与相似（O为坐标原点），
，，
，，
解得或（舍），
故选：A.
7．答案：A
解析：由题意得，
解得，
故选：A.
8．答案：B
解析：因为椭圆的中心在原点,焦点,在x轴上,
故可设椭圆方程为,
因为,则点P的坐标为,
又,,,
于是,,
因为,所以,
得,即,
所以,,
故,.
故选：B.
9．答案：BD
解析：若焦点在x轴上，则，且，，，
故，解得，
若焦点在y轴上，则，且，，，故，解得，
故选：BD
10．答案：AB
解析：不妨设A,B为长轴端点,C,D为短轴端点,已知A,B关于原点对称,,关于原点对称,C,D关于原点对称,相应的三角形只取其中一个即可;
首先可能是等边三角形,因为,所以,此时不可能是等边三角形,不合题意;
若为等边三角形,则,所以选项B有可能;
若为等边三角形,则,,所以选项A有可能;
若为等边三角形,则,;
综上可知,可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选:AB.
11．答案：BC
解析：可化为.
当时,,椭圆的离心率为,解得;
当时,,椭圆的离心率为,解得.
故选：BC.
12．答案：/
解析：由题意：，设（），则.
由直线，的斜率之积为，可得.
所以，，，所以.
故答案为：
13．答案：/
解析：
设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为，，
则，，
由椭圆的定义得，，
所以，因为，，，
所以，又，所以B为椭圆的短轴端点.
设O为椭圆的中心，因为，
所以，又在中，，，，
所以，所以，
故答案为：.
14．答案：4
解析：将椭圆方程化为标准形式为,所以长轴长为2,短轴长为,
由题意得,解得.
故答案为:4
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,解得,
椭圆的方程为.
（2）设直线l为,设,设中点为,
联立,
根据韦达定理可知,
其中.
,.
,…
,
令,,等号当且仅当,即时取到,满足
,即的最大值为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由条件得,即,则,
则,,
解得,,,
所以椭圆E的方程为.
(2)由题意可知：,,则,且直线与椭圆必相交,
若直线的斜率不存在,可知,
联立方程,解得,
不妨取,,则,,
可得,不合题意;
若直线的斜率存在,设直线,,
则,,
与椭圆联列方程得,消去y得,
可得,,
则
,
可得,解得
所以直线的方程为;
综上所述：直线的方程为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，
椭圆的离心率为，，，，
椭圆方程为；
（2）设，，
由，得，，
设中点为，则，.
又，的垂直平分线方程为，即.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为圆C的圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为，半径为r，
所以圆C的方程为.
因为圆C经过点和点，
所以，解得
所以圆C的标准方程为.
（2）因为圆C的方程为，
所以经过点且与圆C相切的直线有两种情况.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
所以圆心C到直线的距离，解得.
所以过点M且与圆C相交的直线的斜率的取值范围是.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得，
解得：，，
椭圆C的方程为.
(2)设，.
联立，
得，
，，
，
解得.
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