2.6 双曲线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.6 双曲线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:56:35 | ||
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文档简介
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2.6 双曲线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )
A.2 B.4 C.3 D.5
2．如图，双曲线的左 右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
3．已知曲线表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知方程表示双曲线，求m的取值范围( )
A. B.
C. D.
5．已知双曲线的右焦点为，过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线（，）的右焦点为F，其中一条渐近线上存在一点P，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.4
7．若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则m的值为( )
A.4 B.-4 C.-1 D.1
8．双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M点,若垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线
B.若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆
C.当时，曲线表示椭圆
D.双曲线与椭圆有相同的焦点
10．已知方程，则下列说法中正确的是( )
A.方程C可表示圆
B.当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
D.当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．设矩形的长是宽的2倍,以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点,则W的离心率的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e,动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若恒成立,则双曲线C的渐近线方程为__________.
13．已知双曲线的右支上有一点A,点A关于坐标原点对称的点为B,F为双曲线C的左焦点,且满足,当时,双曲线C的离心率为_______________.
14．已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若,则该双曲线离心率的取值范围为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求经过点,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是__________.
16．设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆心C的轨迹E的方程；
(2)已知直线与轨迹E交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数m的值．
17．已知双曲线的左 右焦点分别为,.
(1)若点A的坐标是,且的面积为,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且（O为原点）,求双曲线C的离心率.
18．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e.
19．已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点,其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）是否存在被点平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：双曲线
可得:，，可得:
可得焦点为，
点F到渐近线的距离为:
故选:C.
2．答案：D
解析：设，
设、与的内切圆切于点P、Q，
由对称性可得内切圆圆心在y轴上，
结合切线长定理可得，，
则，即，
故，则，
因此，.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意知,,解得,所以实数m的取值范围是.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
即，
故选B.
5．答案：D
解析：设、，
若轴，则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，
所以，，解得，
因此，双曲线E的标准方程为.
故选：D.
6．答案：A
解析：不妨设渐近线垂直平分线段，
所以.
由解得所以点P的坐标为.
由，得，
所以双曲线C的离心率，
故选：A.
7．答案：C
解析：依题意，双曲线的标准方程为，
即，
由于虚轴长与实轴长相等，所以，
即，即，解得.
故选：C
8．答案：A
解析：由已知可设,代入双曲线方程可求得; ,
化简可得双曲线的离心率.
9．答案：BD
解析：对于A，定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；
对于B，定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线，即表示圆，故C错误；
对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.故选BD.
10．答案：BCD
解析：对于A，当方程C表示圆时，，无解，故A错误；
对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当方程C表示双曲线时，，焦距为10，当方程C表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.
故选BCD.
11．答案：AD
解析：（1）如图1,矩形ABCD中,,且A,B为两个焦点,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,
设,将代入双曲线中得,
,变形得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当时,解得,负值舍去,
当时,解得舍去,负值也舍去;
（2）如图2,矩形ABCD中,,且,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,将其代入双曲线中得,
,整理得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当得,,负值舍去,
当得,舍去,负值舍去,
综上,离心率的可能取值为或.
故选:AD
12．答案：
解析：如图：
因为恒成立,取特殊位置轴时,此时,所以,
在中,,
双曲线中,,
将代入双曲线方程得,整理可得：,
取点位于第一象限,所以,
则,
所以,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,
所以,即,可得,所以,
所以,,
所以双曲线的渐近线方程为,
故答案为：.
13．答案：
解析：设双曲线的右焦点为,连接,,
由双曲线的对称性可知四边形为矩形,且,
所以,,
由双曲线的定义知,,而,
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图所示,根据双曲线的对称性得,在中,
又因为,
所以在中,,
即
所以,
又因为为通径,即,,
所以,且,
所以,
即,
即,
解得,
又因为双曲线离心率,
所以该双曲线的离心率取值范围为:.
故答案为:.
15．答案：
解析：设双曲线的方程为,将点代入得:,故双曲线的标准方程为:;
故填:
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为1，
设圆C的半径为r，
若圆C与圆内切，与圆外切
则，
可得；
若圆C与圆内切，与圆外切
则，
可得；
综上所述：，
可知：圆心C的轨迹E是以、为焦点的双曲线，且，
可得
所以圆心C的轨迹E的方程.
(2)联立方程
消去y得，
则
可知直线与双曲线相交，
设
线段的中点为，
可得
即，
且在圆上
则
解得，
所以实数m的值为.
17．答案：(1)
(2)2
解析：(1)因为,的面积为,
所以,
即,
所以,
解得或（舍去）,
所以,
所以双曲线C的渐近线方程是.
(2)因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,如图,
,所以,
在中,由余弦定理可得：
,
所以,则,
所以,,,
所以,,
所以双曲线C的离心率为2.
18．答案：
解析：联立，得，
设，，
则，解得.
所以，离心率.
19．答案：（1）;
（2）不存在,理由见解析.
解析：（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为,
可设双曲线方程为,代入,可得,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在被点平分的弦,记弦所在的直线为l.设是弦的中点,设,,则.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,
即两式相减得,
所以,所以直线l的斜率,
所以直线l的方程为,即.
联立直线l与双曲线方程得消去y,得,
显然,所以直线l与双曲线无交点,
所以直线l不存在,故不存在被点平分的弦.
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2.6 双曲线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为( )
A.2 B.4 C.3 D.5
2．如图，双曲线的左 右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
3．已知曲线表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4．已知方程表示双曲线，求m的取值范围( )
A. B.
C. D.
5．已知双曲线的右焦点为，过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为( )
A. B. C. D.
6．已知双曲线（，）的右焦点为F，其中一条渐近线上存在一点P，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.4
7．若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则m的值为( )
A.4 B.-4 C.-1 D.1
8．双曲线的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M点,若垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.若定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线
B.若定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆
C.当时，曲线表示椭圆
D.双曲线与椭圆有相同的焦点
10．已知方程，则下列说法中正确的是( )
A.方程C可表示圆
B.当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线
D.当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．设矩形的长是宽的2倍,以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点,则W的离心率的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e,动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若恒成立,则双曲线C的渐近线方程为__________.
13．已知双曲线的右支上有一点A,点A关于坐标原点对称的点为B,F为双曲线C的左焦点,且满足,当时,双曲线C的离心率为_______________.
14．已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若,则该双曲线离心率的取值范围为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求经过点,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是__________.
16．设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆心C的轨迹E的方程；
(2)已知直线与轨迹E交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数m的值．
17．已知双曲线的左 右焦点分别为,.
(1)若点A的坐标是,且的面积为,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且（O为原点）,求双曲线C的离心率.
18．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e.
19．已知双曲线C的焦点在坐标轴上,且过点,其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）是否存在被点平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：双曲线
可得:，，可得:
可得焦点为，
点F到渐近线的距离为:
故选:C.
2．答案：D
解析：设，
设、与的内切圆切于点P、Q，
由对称性可得内切圆圆心在y轴上，
结合切线长定理可得，，
则，即，
故，则，
因此，.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意知,,解得,所以实数m的取值范围是.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
即，
故选B.
5．答案：D
解析：设、，
若轴，则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，
所以，，解得，
因此，双曲线E的标准方程为.
故选：D.
6．答案：A
解析：不妨设渐近线垂直平分线段，
所以.
由解得所以点P的坐标为.
由，得，
所以双曲线C的离心率，
故选：A.
7．答案：C
解析：依题意，双曲线的标准方程为，
即，
由于虚轴长与实轴长相等，所以，
即，即，解得.
故选：C
8．答案：A
解析：由已知可设,代入双曲线方程可求得; ,
化简可得双曲线的离心率.
9．答案：BD
解析：对于A，定点，满足，动点P满足，则动点P的轨迹是以为端点的一条射线，故A错误；
对于B，定点，满足，动点M满足，则动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，故B正确；
对于C，当时，曲线，即表示圆，故C错误；
对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为，故D正确.故选BD.
10．答案：BCD
解析：对于A，当方程C表示圆时，，无解，故A错误；
对于B，当时，，，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当方程C表示双曲线时，，焦距为10，当方程C表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.
故选BCD.
11．答案：AD
解析：（1）如图1,矩形ABCD中,,且A,B为两个焦点,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,
设,将代入双曲线中得,
,变形得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当时,解得,负值舍去,
当时,解得舍去,负值也舍去;
（2）如图2,矩形ABCD中,,且,
设O为AB中点,如图以O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,可设双曲线方程为,
则,将其代入双曲线中得,
,整理得,
将代入中得,,
方程两边同时除以得,解得,
当得,,负值舍去,
当得,舍去,负值舍去,
综上,离心率的可能取值为或.
故选:AD
12．答案：
解析：如图：
因为恒成立,取特殊位置轴时,此时,所以,
在中,,
双曲线中,,
将代入双曲线方程得,整理可得：,
取点位于第一象限,所以,
则,
所以,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,
所以,即,可得,所以,
所以,,
所以双曲线的渐近线方程为,
故答案为：.
13．答案：
解析：设双曲线的右焦点为,连接,,
由双曲线的对称性可知四边形为矩形,且,
所以,,
由双曲线的定义知,,而,
所以双曲线的离心率为
.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图所示,根据双曲线的对称性得,在中,
又因为,
所以在中,,
即
所以,
又因为为通径,即,,
所以,且,
所以,
即,
即,
解得,
又因为双曲线离心率,
所以该双曲线的离心率取值范围为:.
故答案为:.
15．答案：
解析：设双曲线的方程为,将点代入得:,故双曲线的标准方程为:;
故填:
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为1，
设圆C的半径为r，
若圆C与圆内切，与圆外切
则，
可得；
若圆C与圆内切，与圆外切
则，
可得；
综上所述：，
可知：圆心C的轨迹E是以、为焦点的双曲线，且，
可得
所以圆心C的轨迹E的方程.
(2)联立方程
消去y得，
则
可知直线与双曲线相交，
设
线段的中点为，
可得
即，
且在圆上
则
解得，
所以实数m的值为.
17．答案：(1)
(2)2
解析：(1)因为,的面积为,
所以,
即,
所以,
解得或（舍去）,
所以,
所以双曲线C的渐近线方程是.
(2)因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,如图,
,所以,
在中,由余弦定理可得：
,
所以,则,
所以,,,
所以,,
所以双曲线C的离心率为2.
18．答案：
解析：联立，得，
设，，
则，解得.
所以，离心率.
19．答案：（1）;
（2）不存在,理由见解析.
解析：（1）由双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为,
可设双曲线方程为,代入,可得,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）假设存在被点平分的弦,记弦所在的直线为l.设是弦的中点,设,,则.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,
即两式相减得,
所以,所以直线l的斜率,
所以直线l的方程为,即.
联立直线l与双曲线方程得消去y,得,
显然,所以直线l与双曲线无交点,
所以直线l不存在,故不存在被点平分的弦.
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