2.6.1 双曲线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.6.1 双曲线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.或
2．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.或
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6,8,以AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则以A,B为焦点,且过点C的双曲线方程为( )
A. B. C. D.
4．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为( )
A.-1 B.1 C. D.2
5．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则双曲线C的方程是( )
A. B. C. D.
6．已知点,,动点P满足条件.则动点P的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7．“”是方程“表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．若方程表示双曲线,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.或
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．过点且的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
10．已知双曲线C的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则下列说法正确的是( )
A. B.双曲线的离心率 C.双曲线的渐近线方程为 D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
11．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是( )
A.M的离心率为 B.M的标准方程为 C.M的渐近线方程为 D.直线经过M的一个焦点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知方程表示双曲线,则实数m的取值范围为______.
13．若方程表示双曲线,则实数m的取值范围是__________.
14．已知焦点 ,双曲线上的一点P到 的距离差的绝对值等于6,双曲线的标准方程为________________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
16．已知方程表示双曲线，求m的取值范围.
17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，，；
（2）焦点在x轴上，经过点，；
（3）焦点为，，且经过点.
18．曲线C的方程为，讨论取不同值时，方程表示的是什么曲线？
19．对于求解方程的正整数解（）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法.例如已知是方程q的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程q的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解.进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程q的所有正整数解.已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)方程的所有正整数解为，且数列单调递增.
①求证：始终是4的整数倍；
②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：根据题意有，
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：根据题意有，所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：依题意,双曲线焦点在x轴上,焦距,即,
实轴长,即,于是虚半轴长,
所以所求双曲线方程为.
故选:A
4．答案：B
解析：因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，
化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，
所以①，②，
①-②得，，
化简得③，
因为线段的中点为，
所以，
代入③，整理得，
显然，
所以直线l的斜率.
故选：B
5．答案：D
解析：由题意可知，
解得，，
所以双曲线C的方程是.
故选：D.
6．答案：A
解析：,由,
结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以,为焦点的双曲线右支,
在双曲线中,,可得,,
所以,
动点P的轨迹方程为.
故选：A.
7．答案：B
解析：要使方程表示双曲线,则.
解不等式,可得.
当时,不一定满足,例如当时,方程不表示双曲线;
而当方程表示双曲线时,一定有,那么一定满足.
所以是方程表示双曲线的必要不充分条件.
故选：B.
8．答案：B
解析：若方程表示双曲线,
则,得.
故选:B
9．答案：AC
解析：因为，所以可设双曲线的方程为或.将点的坐标代入双曲线方程可得，解得，所以双曲线的方程为或.故选AC.
10．答案：ABC
解析：如图，设，则，所以，，，所以，所以，故A正确；
因为，，所以在中，，在中，，即，所以，所以，故B正确；
由得，则，
所以渐近线方程为，故C正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，则，与B矛盾，不成立，故D错误.故选ABC.
11．答案：ACD
解析：依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，，所以两条渐近线的倾斜角分别为，，所以，所以，，所以离心率，易知A、C、D正确，B错误.
12．答案：
解析：由双曲线的标准方程可得:,解得.
所以实数m的取值范围为.
故答案为:.
13．答案：
解析：若方程表示双曲线,显然,
则由可得,
故,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为双曲线的焦点为 ,故可设其方程为,且,
根据双曲线的定义,由题可得：,即,故,,
则所求曲线方程为：.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为（，）.
由，，得，又，因此.
所以，双曲线的标准方程为.
16．答案：
解析：因为方程表示双曲线，所以，
解得或，即.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为，，所以双曲线方程为；
（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为经过点，，代入可得，
令，，可得，
解得，所以，
所以双曲线方程为：；
（3）因为焦点为，，所以，且交点在y轴，
因为过点且经过点，
根据双曲线定义可得，
解得，
又，
所以双曲线方程为：.
18．答案：见解析
解析：当时，，表示两条直线；
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线；
当时，，表示单位圆；
当且时，，表示椭圆.
19．答案：(1)；
(2)①证明见解析；②是定值.
解析：（1）由题意知解得，则，
故双曲线E的标准方程为.
（2）①方法一：由得，其中是方程的一组正整数解，则，
在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，
注意到二项式的展开式中不含的部分与二项式的展开式中不含的部分相同，
二项式的展开式中含的部分与二项式的展开式中含的部分互为相反数，于是由二项式定理有
，，从而，
于是对任意的正整数，
，
因为是正整数，所以是4的整数倍.
方法二：
在循环构造中，对任意正整数k，由，是正整数，第k组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分；
第组解中的为二项式的展开式中不含的部分，为二项式的展开式中含的部分，
故，
于是，
，
即，
由得，，
代入得，
整理得，即.
因为是正整数，所以是4的整数倍.
②，，设，的夹角为，
则的面积
，
由得，，
代入得，，
由得，从而，
故，，
.
，，，，即，
代入得，
于是的面积为定值.
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