2.6.2 双曲线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.6.2 双曲线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:57:02 | ||
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文档简介
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2.6.2 双曲线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
3．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4．若双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为,则C的方程为( )
A. B. C. D.
5．双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6．已知,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与圆相切,与C在第一象限交于点P,且轴,则C的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
7．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长为p，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
8．如图1所示,双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是( )
A.四边形一定是平行四边形 B.四边形可能为菱形
C.的中点可能为 D.的值可能为
10．已知曲线.( )
A.若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若，则C是圆，其半径为
C.若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，则C是两条直线
11．渐近线方程为的双曲线方程可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，A为C的左支上一点，直线与C的右支交于点B，且，.若，则C的离心率为________.
13．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为___________.
14．已知双曲线的左焦点为F,右顶点为A,,若是直角三角形,则双曲线M的离心率为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
16．已知双曲线的离心率为，右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F直线l与双曲线C的右支交于A,B两点，在x轴上是否存在点P，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
17．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，求该双曲线的渐近线方程.
18．已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的大小.
19．1911年5月,欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇文章中,他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样.事实上,有极小部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.
（1）结合图象,求出该双曲线的渐近线方程.
（2）如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm,试求出该粒子路径的模型.
参考答案
1．答案：C
解析：由双曲线离心率为可得，即可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线C的渐近线方程为.
故选：C
2．答案：C
解析：由可知,,,所以,,
所以该双曲线的离心率为.
故选：C.
3．答案：B
解析：双曲线的焦点在y轴上，
，，所以渐近线方程为.
故选：B.
4．答案：A
解析：由于双曲线的一条渐近线方程为,
即,
因为双曲线的渐近线方程为:,
可得:,即,
从而,
双曲线右焦点的坐标为,
则F到渐近线的距离为:,
且F到渐近线的距离为,
得,即,,
所以双曲线C的方程为:,
故选:A.
5．答案：A
解析：由题意得，，，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
6．答案：D
解析：设圆心为M,直线与圆相切于点N,
则,,故,
由于,所以,故,
因此在,由,
故,即.
故选:D
7．答案：C
解析：由题意可得，，解得，
又为直径，所以四边形为矩形，
所以，
又，所以，即，
由，得，即，
所以，即.
故选：C.
8．答案：C
解析：依题意,直线,都过点,如图,有,,
设,则,显然有,,
,
因此,,在,,
即,解得,即,,
令双曲线半焦距为c,
在中,,即,解得,
所以E的离心率为.
故选：C.
9．答案：AD
解析：由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，
所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，A正确，B错误；
设，，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故的方程为，
联立方程组，整理得，可得,，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线的斜率为k，则直线的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为.
综上的取值范围为，所以D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：由曲线，当时，，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
当时，曲线表示半径为的圆，故B错误；
当时，曲线表示双曲线，令，则其渐近线方程为，故C正确；
当，时，曲线，即表示两条与x轴平行的直线，故D正确.故选ACD.
11．答案：BC
解析：对于A，双曲线的渐近线方程为，故A错误.
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B正确.
对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确.
对于D，双曲线的渐近线方程为，故D错误.选BC.
12．答案：
解析：由题设，
令，则，
又，则，故，
在中，，，，，
所以，可得，
所以，，，
则，
所以，而，故C的离心率为.
故答案为：
13．答案：
解析：由双曲线的渐近线方程为，即，
又由双曲线C的右焦点到渐近线的距离为，
所以，
则直角的内切圆的半径为，
如图所示，设的内切圆与切于点M，
则，
因为，可得，
所以，
可得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由是直角三角形,得,
则,则,则
则,解之得或（舍）
故答案为:
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
16．答案：（1） ；
（2）存在满足
解析：（1）由题意可得，所以，，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）依题意，直线l的斜率不为0，设其方程为，，
代入得，
设，，，
则，，
，
若要上式为定值，则必须有，即，
，
故存在点满足.
17．答案：
解析：设，，则，解得，所以.
在中，，所以，即.①
将代入①式，
解得或（舍去），故，
所以该双曲线的渐近线方程为.
18．答案：（1）焦点坐标分别为，，离心率，渐近线方程为
（2）
解析：（1）由双曲线方程得，
，，，
焦点坐标分别为，，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，则.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为,故一条渐近线斜率,
由渐进线的对称性知,双曲线的两条渐近线方程为.
（2）由图知,双曲线的焦点在x轴上,
设双曲线的方程为,
因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm,所以,
又由（1）知,,所以,
所以该粒子路径模型为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.6.2 双曲线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
3．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4．若双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为,则C的方程为( )
A. B. C. D.
5．双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
6．已知,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与圆相切,与C在第一象限交于点P,且轴,则C的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
7．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长为p，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
8．如图1所示,双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,,从发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是( )
A.四边形一定是平行四边形 B.四边形可能为菱形
C.的中点可能为 D.的值可能为
10．已知曲线.( )
A.若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若，则C是圆，其半径为
C.若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D.若，，则C是两条直线
11．渐近线方程为的双曲线方程可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，A为C的左支上一点，直线与C的右支交于点B，且，.若，则C的离心率为________.
13．设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为___________.
14．已知双曲线的左焦点为F,右顶点为A,,若是直角三角形,则双曲线M的离心率为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知双曲线C的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知A，B是双曲线C上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
16．已知双曲线的离心率为，右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F直线l与双曲线C的右支交于A,B两点，在x轴上是否存在点P，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
17．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，求该双曲线的渐近线方程.
18．已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的大小.
19．1911年5月,欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇文章中,他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样.事实上,有极小部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.
（1）结合图象,求出该双曲线的渐近线方程.
（2）如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm,试求出该粒子路径的模型.
参考答案
1．答案：C
解析：由双曲线离心率为可得，即可得，
又，即可得；
由题意可得双曲线C的渐近线方程为.
故选：C
2．答案：C
解析：由可知,,,所以,,
所以该双曲线的离心率为.
故选：C.
3．答案：B
解析：双曲线的焦点在y轴上，
，，所以渐近线方程为.
故选：B.
4．答案：A
解析：由于双曲线的一条渐近线方程为,
即,
因为双曲线的渐近线方程为:,
可得:,即,
从而,
双曲线右焦点的坐标为,
则F到渐近线的距离为:,
且F到渐近线的距离为,
得,即,,
所以双曲线C的方程为:,
故选:A.
5．答案：A
解析：由题意得，，，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
6．答案：D
解析：设圆心为M,直线与圆相切于点N,
则,,故,
由于,所以,故,
因此在,由,
故,即.
故选:D
7．答案：C
解析：由题意可得，，解得，
又为直径，所以四边形为矩形，
所以，
又，所以，即，
由，得，即，
所以，即.
故选：C.
8．答案：C
解析：依题意,直线,都过点,如图,有,,
设,则,显然有,,
,
因此,,在,,
即,解得,即,,
令双曲线半焦距为c,
在中,,即,解得,
所以E的离心率为.
故选：C.
9．答案：AD
解析：由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，，
所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，A正确，B错误；
设，，则，，
两式作差得，
若的中点为，可得，
代入上式，求得，故的方程为，
联立方程组，整理得，可得,，
则，此时，故C错误；
当点A位于第一象限，点B位于第二象限，
设直线的斜率为k，则直线的斜率为，结合双曲线渐近线，
易知，，可得，
又因为，所以的取值范围为；
当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为.
综上的取值范围为，所以D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：由曲线，当时，，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
当时，曲线表示半径为的圆，故B错误；
当时，曲线表示双曲线，令，则其渐近线方程为，故C正确；
当，时，曲线，即表示两条与x轴平行的直线，故D正确.故选ACD.
11．答案：BC
解析：对于A，双曲线的渐近线方程为，故A错误.
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B正确.
对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确.
对于D，双曲线的渐近线方程为，故D错误.选BC.
12．答案：
解析：由题设，
令，则，
又，则，故，
在中，，，，，
所以，可得，
所以，，，
则，
所以，而，故C的离心率为.
故答案为：
13．答案：
解析：由双曲线的渐近线方程为，即，
又由双曲线C的右焦点到渐近线的距离为，
所以，
则直角的内切圆的半径为，
如图所示，设的内切圆与切于点M，
则，
因为，可得，
所以，
可得，所以双曲线C的离心率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由是直角三角形,得,
则,则,则
则,解之得或（舍）
故答案为:
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为.
（2）设，，则，
因为
所以，
即有，
所以，
所以直线的方程为，即.
16．答案：（1） ；
（2）存在满足
解析：（1）由题意可得，所以，，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）依题意，直线l的斜率不为0，设其方程为，，
代入得，
设，，，
则，，
，
若要上式为定值，则必须有，即，
，
故存在点满足.
17．答案：
解析：设，，则，解得，所以.
在中，，所以，即.①
将代入①式，
解得或（舍去），故，
所以该双曲线的渐近线方程为.
18．答案：（1）焦点坐标分别为，，离心率，渐近线方程为
（2）
解析：（1）由双曲线方程得，
，，，
焦点坐标分别为，，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，则.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为,故一条渐近线斜率,
由渐进线的对称性知,双曲线的两条渐近线方程为.
（2）由图知,双曲线的焦点在x轴上,
设双曲线的方程为,
因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm,所以,
又由（1）知,,所以,
所以该粒子路径模型为.
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