2.7 抛物线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.7 抛物线及其方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点F发出的入射光线过点,则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为( )
A. B. C. D.
2．抛物线的焦点坐标是,则焦点到准线的距离为( )
A.1 B. C. D.2
3．下列拋物线中,焦点坐标为的是( )
A. B. C. D.
4．已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，点P在抛物线C上，且，则( )
A. B. C. D.
5．设抛物线的焦点为F,点P在C上,,若以线段为直径的圆与x轴相切,且切点为,则C的方程为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
6．已知点F为抛物线的焦点,点在抛物线C上,且,则抛物线C的方程为( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线的焦点为F,过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A,B两点,若弦的中点到抛物线准线的距离为3,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
8．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C.或 D.或
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有( )
A.抛物线的准线方程是
B.当轴时，取最小值
C.若，则的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
10．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过y轴上异于坐标原点的任意一点P作抛物线C的一条切线，切点为Q，且直线的斜率存在，O为坐标原点.则( )
A. B.当线段的中点在抛物线C上时，点P的坐标为
C. D.
11．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．准线方程为的抛物线的标准方程为__________.
13．抛物线与椭圆有相同的焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为__________.
14．已知点在抛物线上，则A到C的准线的距离为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．设抛物线的焦点为F，动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l过焦点且的中点M的横坐标为2时.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，当焦点为F为的垂心时，求直线l的方程.
17．已知抛物线：的焦点为F，点是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得有最小值3．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l:，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的直线，过点A的动直线与抛物线C相交于P,Q两点，直线PB,QB分别交直线于点M,N，证明：．
18．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6.
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段的中点,求直线l方程.
19．已知抛物线上一点到其准线距离为1.
（1）求抛物线C的方程;
（2）①如图1所示,点O为坐标原点,过点作直线与抛物线C切于点M,N,直线MN与y轴交于点G,求点G的坐标;
②在①的条件下,如图2所示,若点A在地物线上,直线AM、AN与抛物线E分别交于B,P两点,求证:BP与抛物线C相切.
参考答案
1．答案：D
解析：抛物线的焦点,从抛物线的焦点F发出的入射光线上,
且过点的直线方程：,
联立,可得,解得或,
结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意,,即抛物线标准方程为,所以焦点到准线的距离为,
故选：A.
3．答案：C
解析：抛物线的标准方程为：,焦点坐标为,
由题意得,所以,
所以抛物线的标准方程为：.
故选：C.
4．答案：A
解析：点P在抛物线上，故设，
又抛物线的焦点为，
准线为直线，故.
，，
而，，
，
整理得，解得.
点P的横坐标为.
根据抛物线的定义，得，
故选A.
5．答案：D
解析：由题意知,,设点,线段的中点为Q,则,
由抛物线的定义知,①,,
因为以线段为直径的圆与x轴相切于点,
,解得,
而,②,
由①②解得,或8,所以,抛物线C的方程为或.
故选：D.
6．答案：C
解析：根据题意,连接,过M作垂直于抛物线的准线,垂足为H,
作图如下：
由抛物线定义可知,解得,
故抛物线方程为：.
故选：C.
7．答案：B
解析：因为直线l的方程为,即,
由消去y,得,
设,,则,
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3,所以,
而,所以,
故,解得,所以抛物线的方程为
故选：B.
8．答案：C
解析：当抛物线焦点在x轴上时：
直线与x轴的交点为，此时抛物线为；
当抛物线焦点在y轴上时：
直线与y轴的交点为，此时抛物线为；
综上所述：抛物线的标准方程是或
故选：C
9．答案：ACD
解析：对于A，抛物线的准线方程为，故A正确；对于B，设，则，，，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误；
对于C，A在抛物线外部，如图①所示，故当P，A，F三点共线，且点P在线段AF与抛物线的交点处时，取得最小值，为，故C正确；
对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，如图②所示，
设，的中点为，可得，由抛物线的定义得，
，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.
故选ACD.
10．答案：ACD
解析：如下图所示：
对于A选项：由题意焦点F的坐标以及准线方程分别为，，
所以焦点F到准线的距离为，因此A选项符合题意；
对于B选项：由题意设点P的坐标为，又由A选项解题思路可知，抛物线方程为，
所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，
解得，此时点P的坐标为，因此B选项不符合题意；
对于C选项：由题意设点P的坐标为，切线的方程为，
将其代入抛物线方程得，整理得，
所以，
因为，所以解得，所以切线的斜率为，
又因为点P的坐标为，，所以直线的斜率为，
所以，所以，因此C选项符合题意；
对于D选项：由C选项解题思路可知，又，
所以有，解得，
将其代入切线的方程，解得，
所以切点Q的坐标为，又因为，，，
所以，，，，
所以，即，因此D选项符合题意.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：直线与坐标轴的交点坐标分别是和，即抛物线的焦点坐标是或，所以抛物线的标准方程为或.
12．答案：
解析：已知抛物线的准线方程为，
得该抛物线开口向右，且，得，
故抛物线的方程为：.
故答案为：
13．答案：
解析：设椭圆E的半焦距为，则，即，抛物线.由题意知，直线，
联立解得或则.
又在椭圆上，所以，则，即，整理得，即，解得或（舍去），所以或（舍去）.
14．答案：
解析：因为点在抛物线上，
代入抛物线中得，解得，所以
故抛物线的准线方程为，
所以A到C的准线的距离为.
故答案为：
15．答案：见解析
解析：抛物线如图，x的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
16．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)设，则中点M的横坐标可得
由抛物线定义有，
解得
可得抛物线方程为.
(2)因为F为的垂心，
所以可得
易得，可得
设直线方程为
由整理得
整理得①
可得
，
又因为F为的垂心，
则有则
，
（将①代入）
整理有
解得，
经检验符合题意
则直线方程为或.
17．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)过点E作抛物线C的准线的垂线，垂足为点D，
根据抛物线的定义可得，
于是，
当A，E，D三点共线时，有最小值，
所以，解得，
所以抛物线C得方程为．
(2)证明：直线l：，令得，
所以点，
因为直线平行于直线l：，且过点，
所以直线：，
设直线：，联立，
得，
所以，
设点，，
由韦达定理可得，，
所以直线PB的方程为，
直线QB的方程为，
联立
解得，
同理可得，
所以
，
因为，所以，
即A是线段MN的中点．
所以．
18．答案：（1）.
（2）.
解析：（1）由题设,抛物线准线方程为,
抛物线定义知:,可得,
.
（2）由题设,直线l的斜率存在且不为0,设,联立抛物线方程,
有,整理得,则,又P是线段AB的中点,
,即,故.
19．答案：（1）
（2）①;
②证明见解析
解析：（1）由题意知抛物线C准线方程为,
所以抛物线C方程为,
（2）①设切点,,
抛物线C方程可转化为,所以
因此可设直线AM方程为
设直线AN方程为
带入得:
所以直线MN方程为
令,得,
所以点G的坐标为.
②设直线AM方程为
设直线AN方程为
考虑直线与相切,
消去y得
得,
即
所以,（*）
再联立直线与,
消去x得
设交点,,
则
所以,同理
又因为
也即:,联立,消去y
得
所以
,
代入（*）式,得
代入
得
所以直线BP与抛物线C相切.
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