2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:58:27 | ||
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文档简介
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2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
2．已知抛物线的准线为，点P，Q在抛物线C上，且线段的中点为，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
3．已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
5．准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
6．已知抛物线,过点的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若,且,则( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线的焦点为,则a的值为( )
A. B.1 C. D.2
8．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.存在直线l，使得A、B两点关于对称
C.的最小值为6
D.当直线l过焦点F时，以为直径的圆与y轴相切
11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为
C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_________.
13．已知抛物线上一点A到焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则__________.
14．已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值
16．点在抛物线上，且到抛物线的焦点F的距离为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且，求直线的方程.
17．已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程.
18．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是2.
19．（例题）如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.
参考答案
1．答案：A
解析：点，设点，.因为，所以F为AB的中点，所以所以所以，又点A在第一象限，所以，可得，，所以点，.点A在抛物线准线上的射影为C，则点，所以，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.故选A.
2．答案：A
解析：由抛物线的准线为，
可得，可得，所以，
设，
可得，
且，
两式相减，可得，
可得，
所以直线的方程为，
即.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,设抛抛物线的标准方程为,
所以,得,故所求抛物线的标准方程为.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是.
故选：B
5．答案：D
解析：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意,不妨设点A再第一象限,则点B在第四象限,
设,,
因为,,所以,,
则,,
又A,B两点都在抛物线上,
则,所以,
,所以,
故,,
又A,B,M三点共线,所以,即,
所以,解得（舍去）.
故选：B.
7．答案：B
解析：由可得,
抛物线的焦点为,
所以,所以,
故选:B.
8．答案：C
解析：由题意设抛物线方程为，
将代入得，
所以所求抛物线方程为.
故选C.
9．答案：BC
解析：由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：，
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：,故，,故,A正确；
设,,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过P作垂直于准线于E,则，当P,E,M共线时等号成立，故C正确；
如图所示：G为中点，故,故为直径的圆与y轴相切，故D正确；
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：双曲线的离心率，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B错误；
由，有相同的焦点，得，解得，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：由得，
所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，
所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为：.
13．答案：6
解析：设焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
14．答案：
解析：由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为.设点P的坐标为.点P为抛物线上的动点，，且.
点A的坐标为，
，
，
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得，的最小值是.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)抛物线的焦点，
准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
(2)，设，
则，
所以，
由P在抛物线上可得，
即，
所以直线的斜率为，
当时，；
当时，，
当时，，
此时当且仅当，
即时，等号成立；
综上，直线OQ的斜率的最大值为；
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据焦半径公式可得，所以，
又，所以，
解得或（舍去），
故所求抛物线C方程为.
（2）法1：，，设，，，
，所以，
，（舍去），
所以即.
法2：设，，，
，所以，
，所以过定点，
又因为过，所以；
法3：，，设，，，
.
，
所以.
法4：设，，不妨设，
，，
，
同理，
，
又因为过，所以.
法5：设，，，
，
.
又因为过，所以，
解得，，所以.
17．答案：
解析：因圆心在y轴上移动，且该圆过点和，
则线段AC是圆的直径，圆心，
而点在圆上，则，即，化简整理得，
所以点的轨迹方程.
18．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
19．答案：
解析：设点，，其中，则点E的坐标为.
由题意，直线OB的方程为.①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得，②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为，③
因为点P在OE上，所以点P的坐标满足③.
将②代入③，消去m，得，
即点P的轨迹方程.
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2.7.1 抛物线的标准方程--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
2．已知抛物线的准线为，点P，Q在抛物线C上，且线段的中点为，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
3．已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
5．准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
6．已知抛物线,过点的直线l交抛物线C于A,B两点,O为坐标原点,若,且,则( )
A. B. C. D.
7．已知抛物线的焦点为,则a的值为( )
A. B.1 C. D.2
8．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点的抛物线方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是( )
A.抛物线的方程为
B.存在直线l，使得A、B两点关于对称
C.的最小值为6
D.当直线l过焦点F时，以为直径的圆与y轴相切
11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( )
A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为
C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则_________.
13．已知抛物线上一点A到焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则__________.
14．已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值
16．点在抛物线上，且到抛物线的焦点F的距离为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于B，C两点，且，求直线的方程.
17．已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程.
18．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是2.
19．（例题）如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.
参考答案
1．答案：A
解析：点，设点，.因为，所以F为AB的中点，所以所以所以，又点A在第一象限，所以，可得，，所以点，.点A在抛物线准线上的射影为C，则点，所以，，所以，解得或（舍去），所以抛物线的方程为.故选A.
2．答案：A
解析：由抛物线的准线为，
可得，可得，所以，
设，
可得，
且，
两式相减，可得，
可得，
所以直线的方程为，
即.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为,设抛抛物线的标准方程为,
所以,得,故所求抛物线的标准方程为.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是.
故选：B
5．答案：D
解析：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意,不妨设点A再第一象限,则点B在第四象限,
设,,
因为,,所以,,
则,,
又A,B两点都在抛物线上,
则,所以,
,所以,
故,,
又A,B,M三点共线,所以,即,
所以,解得（舍去）.
故选：B.
7．答案：B
解析：由可得,
抛物线的焦点为,
所以,所以,
故选:B.
8．答案：C
解析：由题意设抛物线方程为，
将代入得，
所以所求抛物线方程为.
故选C.
9．答案：BC
解析：由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线C的方程为：，
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：,故，,故,A正确；
设,,设中点，则，相减得到,即,因为A、B两点关于对称，所以,故,故,点在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；
过P作垂直于准线于E,则，当P,E,M共线时等号成立，故C正确；
如图所示：G为中点，故,故为直径的圆与y轴相切，故D正确；
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：双曲线的离心率，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B错误；
由，有相同的焦点，得，解得，故C正确；
抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：由得，
所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，
所以点与准线的距离等于2，
即，解得，
故答案为：.
13．答案：6
解析：设焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
14．答案：
解析：由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为.设点P的坐标为.点P为抛物线上的动点，，且.
点A的坐标为，
，
，
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得，的最小值是.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)抛物线的焦点，
准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
(2)，设，
则，
所以，
由P在抛物线上可得，
即，
所以直线的斜率为，
当时，；
当时，，
当时，，
此时当且仅当，
即时，等号成立；
综上，直线OQ的斜率的最大值为；
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据焦半径公式可得，所以，
又，所以，
解得或（舍去），
故所求抛物线C方程为.
（2）法1：，，设，，，
，所以，
，（舍去），
所以即.
法2：设，，，
，所以，
，所以过定点，
又因为过，所以；
法3：，，设，，，
.
，
所以.
法4：设，，不妨设，
，，
，
同理，
，
又因为过，所以.
法5：设，，，
，
.
又因为过，所以，
解得，，所以.
17．答案：
解析：因圆心在y轴上移动，且该圆过点和，
则线段AC是圆的直径，圆心，
而点在圆上，则，即，化简整理得，
所以点的轨迹方程.
18．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
19．答案：
解析：设点，，其中，则点E的坐标为.
由题意，直线OB的方程为.①
因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得，②
所以点P的横坐标x满足②.
直线OE的方程为，③
因为点P在OE上，所以点P的坐标满足③.
将②代入③，消去m，得，
即点P的轨迹方程.
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