2.7.2 抛物线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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2.7.2 抛物线的几何性质--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．F为抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，则为( )
A. B. C. D.
2．在平面直角坐标系中，抛物线，P为x轴正半轴上一点，线段的垂直平分线l交C于A，B两点.若，则四边形的周长为( )
A. B.64 C. D.80
3．若抛物线（）的焦点是椭圆的一个焦点,则( )
A.2 B.3 C.4 D.8
4．抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5．抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E,，则的面积为( )
A. B. C. D.
6．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为，，则等于( )
A.90° B.45° C.60° D.120°
7．在同一平面直角坐标系中，方程与的曲线大致为( )
A. B. C. D.
8．如图所示,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,若,且,则p的值为( )
A.1 B.2 C. D.3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
10．已知抛物线，为坐标原点，一树平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．
B．
C．
D．延长交的准线于点则存在实数使得
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
11．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为_________.
12．抛物线的顶点坐标为_________.
13．已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14．设抛物线的焦点为F，准线为l,A为E上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B,D两点.
（1）若，的面积为，求P的值及圆F的方程；
（2）若点A在第一象限，且A,B,F三点在同一直线上，直线与抛物线E的另一个交点记为C，且，求实数的值.
15．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点实时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必写出变量的范围）；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A测得离航天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令
16．直线与抛物线交于A,B两点，若，求弦AB的中点到直线的距离.
17．已知抛物线的焦点为F，直线，点，点M,N在抛物线C上，直线l与直线MN交于点Q.
（1）求的最小值；
（2）若,，求的值.
18．如图所示,圆形水池中央有一喷泉,水管,水从喷头喷出后呈抛物线状,向上至最高点后落下.若最高点距离水面距离抛物线的对称轴,则水池的直径至少应设计为多大(精确到)
参考答案
1．答案：C
解析：已知F为抛物线的焦点，
则，
又直线与抛物线交于A，B两点，
则，，
则，，
即，
则.
故选：C.
2．答案：A
解析：如图，因为线段的垂直平分线l交C于A，B两点，所以结合抛物线的对称性可得与互相平分，则四边形为菱形.设点且，则线段的垂直平分线l的方程为.设l与x轴交于点H，又，则在中，，则，所以点，代入拋物线，可得，解得.在中，，所以四边形的周长为.故选A.
3．答案：D
解析：因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.
4．答案：C
解析：设，，A，B在l上的射影分别为M，N，
则，，故.
又，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立.故.故选C.
5．答案：D
解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.
6．答案：A
解析：如图，由抛物线的定义，知，，
所以.
又，
所以.
同理，
于是，
故.故选A.
7．答案：D
解析：解法一：将方程与转化为与.因为，所以，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D.
解法二：方程中，将y换成，其结果不变，即的曲线关于x轴对称，排除B，C；由解法一知椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.
8．答案：B
解析：过B作准线的垂线，垂足为，则，由，得直线l的倾斜角为.设，由，得,.又，，.
9．答案：BC
解析：因为抛物线上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和，所以即代入抛物线方程可得，整理得，解得或.故选BC.
10．答案：ACD
解析：
11．答案：
解析：设小球圆心，抛物线上点，点到圆心距离平方，
若最小值在时取到，则小球触及杯底，此二次函数对称轴在y轴左边，
所以，
所以，
所以，
故答案为.
12．答案：
解析：，所以拋物线的顶点坐标为.
13．答案：2
解析：解法一：由题意可知C的焦点坐标为，所以过焦点，斜率为k的直线方程为，设，，将直线方程与抛物线方程联得，.
，，
，即，
即，解得.
解法二：设，，
则
②-①得，从而.
设AB的中点为，连接.直线AB过抛物线的焦点，
以线段AB为直径的与准线相切.
，，
点M在准线上，同时在上，
准线l是的切线，切点为M，且，即与x轴平行，
点的纵坐标为1，即，
故.
14．答案：（1）焦点到准线l的距离为p，，，为正三角形，，，，则，又圆心为，圆F的方程式为.
（1）当A,F,B三点共线时，，，，，直线的倾斜角为或，不妨设直线的方程为，，，由得，又，，，或，又，，，.
解析：
15．答案：(1)设航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程为，由题意可知，点在该曲线上，，，所求曲线方程为.
(2)设变轨点为，根据题意可知得，解得或（不合题意，舍去），
或（不合题意，舍去），
点C的坐标为，，则当观测点A测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令.
解析：
16．答案：
解析：易知直线过抛物线的焦点，所以AB为焦点弦.设，，则AB的中点坐标,，所以.所以故AB的中点到直线的距离为.
17．答案：（1）由题意，知抛物线C的标准方程为，准线方程为.
设点M到准线的距离为，点P到准线的距离为,
由抛物线的定义，知，
故的最小值为3.
（2）设点，，，且，
则，，
因为，所以，
因此，,
即,,
又在抛物线上，所以,
故.①
由于点在直线上，所以,
把此式代入①式并化简，得，②
同理，由可得，③
由②③得a,b是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系，得.
解析：
18．答案：建立如图所示的平面直角坐标系,过作轴的垂线,交轴于点,交抛物线于点.
设抛物线的方程为.
依题意有在此抛物线上,
代入得,
所以抛物线方程为.
又点在抛物线上,设,代入抛物线方程,
得,即,
则,
因此水池的直径至少为,约为.
解析：
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