2.8 直线与圆锥曲线的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-22 19:59:15 | ||
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文档简介
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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若直线与椭圆没有公共点，则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A,B两点，满足，设M为的中点，则直线（O为坐标原点）斜率的最小值是( )
A. B. C. D.
3．已知直线,双曲线,则( )
A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C.直线l与双曲线C右支有两个公共点
D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点
4．已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则a的值为( )
A. B.6 C. D.
5．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段的长为( )
A. B. C.2 D.
6．已知椭圆，过点的直线l交C于A、B两点，且M是的中点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
7．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点，若，则斜率k的值为( )
A. B. C.或 D.
8．已知,是椭圆的左 右焦点,直线l与椭圆C相切于点,过左焦点作直线l的垂线,垂足为Q,则点Q与原点O之间的距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．斜率为1的直线与离心率为e的双曲线（，）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆交E于点C，O为坐标原点，设，的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率分别为，，，则( )
A. B.，，成等比数列
C. D.
10．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线是( )
A. B. C. D.
11．若直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点，则l的方程可以是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知实数x,y满足,则的取值范围是______.
13．圆和圆锥曲线的关系十分密切,它们有很多相似的结论.例如,过圆上任意不同两点作圆的切线,如果切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆,过椭圆C上任意不同两点作椭圆的切线,若两切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹方程是________.
14．过点作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在线段上，则的取值范围为____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长.
16．已知两定点,,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线与曲线E交于A,B两点（A,B不重合）.
（1）求k的取值范围;
（2）如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S.
17．已知O为坐标原点，P是圆上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l与曲线C恰有一个公共点（在y轴右侧），且l与直线分别交于M，N两点，求的面积S的最小值.
18．已知双曲线E的两个焦点分别为，，并且E经过点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
19．已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l交椭圆C于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由
可得，
故，
故或，
故选：D.
2．答案：C
解析：首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数e（离心率）.
依题意，则点到直线的距离，
所以，则.
由题可知A在左支上B在右支上，如图，
设，A,B在左准线上的射影为,，
因为，
则且，
所以，
设,,，
则,，
所以，，
即，
所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
3．答案：C
解析：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：
由图可知直线过点,它在双曲线的右顶点的右边,
联立直线与双曲线方程得,解得或,
则直线l与双曲线C的右支有两个公共点B,C.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为A，B两点在直线上，
故可设，
故，
因为，
故
即，
因为A，B两点在椭圆上，
故
即，
故，等式两边同时减去1，
整理得到，
解得或.
而，
故，故,
故选：A.
5．答案：B
解析：在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线l的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得.
故选：B.
6．答案：A
解析：若线段轴，
则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设、，
由题意可得，，
则，
两式相减可得，
所以，，
解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A
7．答案：C
解析：依题设得椭圆的方程为,
直线AB,EF的方程分别为.
设,其中
且满足方程,
故,
由,知,
得,
由D在AB上知,
得.
所以,
化简得,
解得或.
故选:C
8．答案：B
解析：直线l的斜率显然存在,所以设直线l的方程为,即,
联立方程组,
消去y,得,
因为直线l与椭圆C相切于点,
所以,
整理得,解得,
所以切线方程为,
由椭圆,可得,所以,
可得左焦点,所以过左焦点与直线l的垂直的直线方程为,
联立方程组,解得,所以,
所以点Q与原点O之间的距离为2.
故选:B.
9．答案：AD
解析：设AC的中点为M，BC的中点为N，由题可知为直角三角形，的外心为R，即R为AB的中点.因为，的重心分别为P，Q，所以点P在OM上，点Q在ON上，即，，，设，，，则两式相减得，则，其中e为双曲线E的离心率，同理有，，所以.又，，所以，故选项C错误；，，所以，故选项A，D正确，选项B错误，故选AD.
10．答案：AD
解析：点在抛物线外,过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴;
可得：直线是过且与抛物线相切的直线,
直线是过且平行于抛物线的对称轴的直线,
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
11．答案：BD
解析：双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B，D选项正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：,,.
根据数形结合,,,可看作是椭圆的一半（如下图）.
又等价于过点和点的直线斜率.
画出示意图可知,当直线与椭圆相切时,斜率取最值.
设直线为,联立
消得.
令,
解得,,即的取值范围是.
13．答案：
解析：设,
若切线的斜率存在且不为0,则过点的切线方程为,
联立方程,消去y可得,
则,
整理可得,
由题意可知:关于k的方程有两个不同的实数根,,
则且,整理可得;
若切线的斜率不存在或为0,则点P为,满足;
综上所述:,即动点P的轨迹方程是.
故答案为:.
14．答案：
解析：若直线l的斜率存在，设，,，
，所以，
由，消去y可得，
，即，
又,，
所以，
令，则，由，得，
解得，即，解之得且，
又A在线段上，所以，所以，
若直线的斜率不存在，易得，
综上的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：椭圆方程为，
焦点分别为，，
直线AB过左焦点倾斜角为，
直线AB的方程为，
将AB方程与椭圆方程消去y，得，
设，，可得，.
，
因此，.
故答案为：.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由双曲线的定义可知,
曲线E是以为焦点的双曲线的左支,
故曲线E的方程为,
由题意建立方程组,
得,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,设,,
有,
解得,
（2）由（1）知,,
则
解得或,
又,,
故直线AB的方程为,
设,由已知,得,
即,,
又,,
故点,代入曲线E中,得,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
,点C的坐标为,
又C到AB的距离为,的面积.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得，，
则点Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线.
设C的方程为（，），
则，，即，，所以，
所以曲线C的方程为.
（2）易知直线l的斜率不为0，则可设，代入曲线C的方程得，
由已知得且，即.
将，代入得
设，，则，，
易知直线l与x轴的交点为，
则.
由得，即且，则当时，S有最小值且最小值为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可设双曲线E的方程为（，），
则有解得
所以双曲线E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，所以可设直线l的方程为1，如图，
联立得（*），
①当，即或时，方程（*）只有一解，
所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为；
②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
则，解得，
此时，直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C的两个焦点分别为，，
则可设椭圆C的标准方程为，且，
则①.
又椭圆C过点，所以②，
联立①②解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在，且直线l过点，
则设直线l的方程为，即.
设，，联立
消去y得，
，
所以，，
又是弦MN的中点，所以，解得，
故直线l的方程为.
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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若直线与椭圆没有公共点，则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A,B两点，满足，设M为的中点，则直线（O为坐标原点）斜率的最小值是( )
A. B. C. D.
3．已知直线,双曲线,则( )
A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点
B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点
C.直线l与双曲线C右支有两个公共点
D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点
4．已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则a的值为( )
A. B.6 C. D.
5．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段的长为( )
A. B. C.2 D.
6．已知椭圆，过点的直线l交C于A、B两点，且M是的中点，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
7．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点，若，则斜率k的值为( )
A. B. C.或 D.
8．已知,是椭圆的左 右焦点,直线l与椭圆C相切于点,过左焦点作直线l的垂线,垂足为Q,则点Q与原点O之间的距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．斜率为1的直线与离心率为e的双曲线（，）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆交E于点C，O为坐标原点，设，的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率分别为，，，则( )
A. B.，，成等比数列
C. D.
10．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线是( )
A. B. C. D.
11．若直线l与双曲线的左、右两支各有一个交点，则l的方程可以是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知实数x,y满足,则的取值范围是______.
13．圆和圆锥曲线的关系十分密切,它们有很多相似的结论.例如,过圆上任意不同两点作圆的切线,如果切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆,过椭圆C上任意不同两点作椭圆的切线,若两切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹方程是________.
14．过点作直线l交椭圆于A，B两点，其中A在线段上，则的取值范围为____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长.
16．已知两定点,,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线与曲线E交于A,B两点（A,B不重合）.
（1）求k的取值范围;
（2）如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S.
17．已知O为坐标原点，P是圆上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l与曲线C恰有一个公共点（在y轴右侧），且l与直线分别交于M，N两点，求的面积S的最小值.
18．已知双曲线E的两个焦点分别为，，并且E经过点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.
19．已知椭圆C的两个焦点分别为，，且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作直线l交椭圆C于M，N两点，Q是弦MN的中点，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：D
解析：由
可得，
故，
故或，
故选：D.
2．答案：C
解析：首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数e（离心率）.
依题意，则点到直线的距离，
所以，则.
由题可知A在左支上B在右支上，如图，
设，A,B在左准线上的射影为,，
因为，
则且，
所以，
设,,，
则,，
所以，，
即，
所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
3．答案：C
解析：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：
由图可知直线过点,它在双曲线的右顶点的右边,
联立直线与双曲线方程得,解得或,
则直线l与双曲线C的右支有两个公共点B,C.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为A，B两点在直线上，
故可设，
故，
因为，
故
即，
因为A，B两点在椭圆上，
故
即，
故，等式两边同时减去1，
整理得到，
解得或.
而，
故，故,
故选：A.
5．答案：B
解析：在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线l的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得.
故选：B.
6．答案：A
解析：若线段轴，
则线段的中点在x轴上，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设、，
由题意可得，，
则，
两式相减可得，
所以，，
解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A
7．答案：C
解析：依题设得椭圆的方程为,
直线AB,EF的方程分别为.
设,其中
且满足方程,
故,
由,知,
得,
由D在AB上知,
得.
所以,
化简得,
解得或.
故选:C
8．答案：B
解析：直线l的斜率显然存在,所以设直线l的方程为,即,
联立方程组,
消去y,得,
因为直线l与椭圆C相切于点,
所以,
整理得,解得,
所以切线方程为,
由椭圆,可得,所以,
可得左焦点,所以过左焦点与直线l的垂直的直线方程为,
联立方程组,解得,所以,
所以点Q与原点O之间的距离为2.
故选:B.
9．答案：AD
解析：设AC的中点为M，BC的中点为N，由题可知为直角三角形，的外心为R，即R为AB的中点.因为，的重心分别为P，Q，所以点P在OM上，点Q在ON上，即，，，设，，，则两式相减得，则，其中e为双曲线E的离心率，同理有，，所以.又，，所以，故选项C错误；，，所以，故选项A，D正确，选项B错误，故选AD.
10．答案：AD
解析：点在抛物线外,过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴;
可得：直线是过且与抛物线相切的直线,
直线是过且平行于抛物线的对称轴的直线,
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
11．答案：BD
解析：双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B，D选项正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：,,.
根据数形结合,,,可看作是椭圆的一半（如下图）.
又等价于过点和点的直线斜率.
画出示意图可知,当直线与椭圆相切时,斜率取最值.
设直线为,联立
消得.
令,
解得,,即的取值范围是.
13．答案：
解析：设,
若切线的斜率存在且不为0,则过点的切线方程为,
联立方程,消去y可得,
则,
整理可得,
由题意可知:关于k的方程有两个不同的实数根,,
则且,整理可得;
若切线的斜率不存在或为0,则点P为,满足;
综上所述:,即动点P的轨迹方程是.
故答案为:.
14．答案：
解析：若直线l的斜率存在，设，,，
，所以，
由，消去y可得，
，即，
又,，
所以，
令，则，由，得，
解得，即，解之得且，
又A在线段上，所以，所以，
若直线的斜率不存在，易得，
综上的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：椭圆方程为，
焦点分别为，，
直线AB过左焦点倾斜角为，
直线AB的方程为，
将AB方程与椭圆方程消去y，得，
设，，可得，.
，
因此，.
故答案为：.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由双曲线的定义可知,
曲线E是以为焦点的双曲线的左支,
故曲线E的方程为,
由题意建立方程组,
得,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,设,,
有,
解得,
（2）由（1）知,,
则
解得或,
又,,
故直线AB的方程为,
设,由已知,得,
即,,
又,,
故点,代入曲线E中,得,
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意,
,点C的坐标为,
又C到AB的距离为,的面积.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得，，
则点Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线.
设C的方程为（，），
则，，即，，所以，
所以曲线C的方程为.
（2）易知直线l的斜率不为0，则可设，代入曲线C的方程得，
由已知得且，即.
将，代入得
设，，则，，
易知直线l与x轴的交点为，
则.
由得，即且，则当时，S有最小值且最小值为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由已知可设双曲线E的方程为（，），
则有解得
所以双曲线E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意，所以可设直线l的方程为1，如图，
联立得（*），
①当，即或时，方程（*）只有一解，
所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为；
②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，
则，解得，
此时，直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C的两个焦点分别为，，
则可设椭圆C的标准方程为，且，
则①.
又椭圆C过点，所以②，
联立①②解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在，且直线l过点，
则设直线l的方程为，即.
设，，联立
消去y得，
，
所以，，
又是弦MN的中点，所以，解得，
故直线l的方程为.
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