第二章 平面解析几何 --2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试（含解析）

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第二章 平面解析几何 --2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知离心率为的椭圆C的方程为，则( )
A.2 B. C. D.3
2．已知点，，过点的直线l与线段相交，则l的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．已知直线，则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
4．已知动圆与圆外切,与圆内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5．若直线与直线垂直,则a的值为( )
A.0 B. C. D.
6．已知直线与.若,则( )
A. B.1 C. D.2
7．已知O为坐标原点,F是双曲线的左焦点,A为C的右顶点,过F作C的渐近线的垂线,垂足为M,且与y轴交于点P.若直线经过的靠近O的三等分点,则C的离心率为( )
A.2 B. C.3 D.
8．已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线的焦点为F,抛物线上的点到点F的距离为4,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段为直径的圆交y轴于M,N两点,设线段的中点为P,则( )
A.
B.的取值范围为
C.若,则直线l的斜率为
D.有最大值
10．已知双曲线,则其离心率可能为( )
A.2 B. C. D.
11．已知,辨是椭圆的两个焦点,过点的直线与C交于A,B两点.若,,则( )
A. B.棉圆C的离心率为
C.为等边三角形 D.为直角三角形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为________.
13．已知圆C的方程为，则圆C的半径为_______.
14．已知直线,,若,则实数a的值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线，直线.
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数a的值
16．设椭圆的上顶点为B,左焦点为F.且B,F在直线上.
(1)求E的标准方程;
(2)若直线l与E交于P,Q两点,且点为中点,求直线l的方程.
17．在平面直角坐标系xOy中,已知动圆M与圆和圆都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C;
(2)已知点O为原点,点,点P是曲线C上任意一点,求的最小值.
18．求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与y轴交于点，.
19．双曲线的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当时,.
（1）若A点的坐标为,求双曲线C的方程;
（2）若B在第一象限,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，，即，
可得，则.
故选：C
2．答案：D
解析：如图所示：
，，
由图象知：当l的斜率不存在时，直线与线段相交，
故l的斜率的取值范围为.
故选：D.
3．答案：B
解析：由题意得：直线l的斜截式方程为，
所以直线l的斜率为.
故选：B
4．答案：B
解析：设动圆M的半径为r,又圆与圆的半径均为,
则由已知得,
所以.
又点,,
则,所以,
根据双曲线的定义可知,点M的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支.
因为,,
所以,
于是点M的轨迹方程为.
故选：B.
5．答案：D
解析：直线与直线垂直,
当时不满足,
当时,,解得.
故选：D.
6．答案：B
解析：由于,所以,
此时两直线方程分别为,
不重合,符合题意,所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：由题意,,,,则直线的方程为,
令,得,则,所以靠近点O的三等分点S的坐标为,
联立,解得,又点A,M,S在一条直线上,
所以,即,化简整理得,
即,即,解得或（舍去）,
所以双曲线C的离心率为.
故选:B.
8．答案：C
解析：以所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，
设双曲线的右焦点为，依题意可知直线过，
依题意，，，则，
所以三角形是等腰直角三角形，
设双曲线的方程为，
，由，
解得（负根舍去），由于，
所以，，
，
两边除以得，
解得（负根舍去）.
故选：C
9．答案：BD
解析：由在抛物线上,故有,焦点,又,
故有,
化简得,又,故,即,
设、,,
联立,可得,,
则,,
则,
,故,
,则,
故以线段AB为直径的圆的方程为,
令,有,
故,
由圆的对称性,不妨设,,
则,
则不恒等于,故A错误;
过点P作轴于点Q,
则
,
令,则,
则,
由对勾函数性质可知,在上单调递增,
故,故,
则,故B正确;
若,则有,即,
由,故,解得,则,
则,,故,故C错误;
,
由,,
故
,
则当时,有最大值,且其最大值为,故D正确.
故选:BD.
10．答案：BD
解析：当时,原方程化为,
此时,,,
由,可得;
当时,原方程化为,
此时,,,
,可得
其离心率可能为或
故选：BD.
11．答案：BD
解析：如图,由已知可设,则,.
由椭圆的定义知,所以.
在中,由余弦定理推论得,
所以.在中,,即,
所以椭圆C的离心率为,.
故选：BD.
12．答案：-3或-1
解析：令，则，
令，则，
则，
即，
解得或.
故答案为：-3或-1.
13．答案：
解析：由
可得，
所以半径为，
故答案为：
14．答案：0或1
解析：直线,,
由,得,解得或,
所以实数a的值为0或1.
故答案为:0或1
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)直线,
直线.
因为,所以,解得.
(2)因为直线
直线:.且,
所以,
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意,直线与x轴交点为,与y轴的交点为,
所以,,,
因此E的标准方程为.
(2)当直线l的斜率不存在时,,
联立,解得或,
故,,不满足,即A不是的中点,不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线,,.
联立可得,
即.
所以.
由于为的中点,所以,即,解得.
综上,直线l的方程为,即.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)动圆M与圆和圆都外切,
设圆M半径为r,则,,
,
所以M的轨迹是以,为焦点,的双曲线的右支,
即.
(2)设,,则,,
所以,且,
所以,
当时,.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
（2）因为圆与y轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知,,,所以,
当时,在双曲线方程中令,即,
解得,即,又,即,得,
所以,
因为A点坐标为,
所以,,,
所以双曲线方程为:.
（2）由（1）知,
所以,
双曲线的方程可化为,
当时,,如图所示:
所以为等腰直角三角形,即,,
易知;
当与不垂直时,如图:
设,又点B在C上,所以,
即,即,
又因为,
所以,
即无论与是否垂直,根据正切函数在区间和上严格单调递增,均有,
综上,.
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