第二章 平面解析几何--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试（含解析）

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第二章 平面解析几何--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若直线与圆只有一个公共点,则( )
A. B.1 C.0 D.2
2．已知直线与直线平行,则( )
A.1 B.3 C.1或 D.或3
3．已知倾斜角为的直线的方向向量为,则m的值为( )
A.1 B. C. D.
4．若双曲线过点，则其渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
5．若经过，两点的直线的倾斜角为，则( )
A.-4 B.-2 C. D.2
6．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，l与双曲线的交点为P，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
7．设，分别为双曲线的左 右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8．过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线，，则下列说法正确的是( )
A.若，则或 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( )
A. B. C. D.
11．已知O为坐标原点,抛物线上有异于原点的,两点,F为抛物线的焦点,以A,B为切点的抛物线的切线分别记为,,则( )
A.若,则A,F,B三点共线 B.若,则A,F,B三点共线
C.若,则A,F,B三点共线 D.若,则A,F,B三点共线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线,则双曲线C的离心率是_____________.
13．若圆与x轴相切，则实数的值是________.
14．若直线与直线垂直，则实数_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.
（1）求抛物线C的方程;
（2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程.
16．在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)求以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形面积.
17．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为k的直线l与拋物线C仅有一个交点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求k的值.
18．已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值
19．已知直线.
(1)求过点与直线l平行的直线的方程;
(2)求过点与直线l垂直的直线的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,直线与圆M相切,而圆M的圆心,半径为1,
因此,解得,
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为直线与直线平行,
所以,解得或,
经检验,当或时,均满足两条直线平行.
故选：C.
3．答案：C
解析：因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率,
又直线的方向向量为,所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为双曲线过点，
所以，
所以，
所以双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
5．答案：D
解析：由题意斜率，
解得：，
故选：D
6．答案：D
解析：设双曲线的半焦距为c，
则，
由对称性，不妨令与l平行的渐近线为，
则直线l的方程为：，
即，设的内切圆与三边相切的
切点分别为，B，C如图所示，
则，
即，即轴，圆的半径为，
则，
点到直线l的距离为，
整理得且，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：D
7．答案：D
解析：依题意得，以线段为直径的圆的方程为，
双曲线C的一条渐近线的方程为.
由以及
解得或
不妨取，则.
因为，，所以，
又，所以，所以，
所以该双曲线的离心率.
故选：D.
8．答案：A
解析：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为
，
因为所求圆过点，
所以，解得：
所以所求圆的方程为：
故选：A
9．答案：BD
解析：直线，则，
解得或，但时，
两直线方程分别为，
即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；
，则，，C错，D正确.
故选：BD.
10．答案：BC
解析：由于焦点在直线上，
当焦点在y轴上时，令，
可得，所以焦点坐标为，
设方程为，
由焦点坐标知，
所以抛物线C的标准方程为；
当焦点在x轴上时，令，
可得，所以焦点坐标为，
设方程为，
由焦点坐标知，
所以抛物线C的标准方程为，
故选：BC.
11．答案：BC
解析：设直线的方程为,代入抛物线方程得,
则,,,
所以,
.
选项A：若,则,得,
故直线：,不一定经过焦点,A,F,B三点不一定共线,故A错误.
选项B：若,则,得,
故直线,经过焦点,A,F,B三点共线,故B正确.
选项C：设在点处的切线方程为,即,
与抛物线方程联立得,
,即,解得,
所以：,即,
即切线的方程为,同理切线的方程为,
由,得,得,由B知直线经过焦点,故C正确.
选项D：因为,
则,
整理得,则,故直线,
不一定经过焦点,A,F,B三点不一定共线,故D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：双曲线的实半轴长,虚半轴长,
则半焦距,所以双曲线C的离心率.
故答案为：.
13．答案：16
解析：由，可得，
方程表示圆，则可得圆心为，半径为，
由圆与x轴相切，则可得，解得.
故答案为：16.
14．答案：
解析：因为直线与直线垂直，
所以，
即，解得，
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）依题意得,焦点到准线的距离不大于3,所以,
设,由FM的中点坐标为,
得,解得,
因为在抛物线,所以
即,解得或（舍）,
所以抛物线C的方程为.
（2）如图所示,
根据题意直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为,
设,,AB,中点,
由,
,
,
所以,
则
所以,
又因为AB的中点到准线的距离等于,
所以当最小时,的中点到准线的距离最短.
因为,
当且仅当时,解得,则.
所以直线AB的方程为或.
16．答案：(1),和
(2)4
解析：(1)由及得,
,
,
,,,,
,方程为和.
(2)得或,
得或,
以曲线与曲线的公共点为顶点的多边形为三角形,其面积为.
17．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）由题意得，解得，抛物线方程为.
（2）直线l的方程为，
联立，得，
若满足要求，
若，则需满足，解得，
综上：或.
18．答案：(1)16
(2)24
(3)-15
解析：(1)令得
(2)，
(3)令，可得，
代入，可得
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由于l的方程可化为,故斜率为,所以的斜率是,从而的方程是,即.
(2)由于l的方程可化为,故斜率为,所以的斜率是-2,从而的方程是,即.
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