第一章 空间向量与立体几何 --2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试（含解析）

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第一章 空间向量与立体几何 --2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是( )
A. B. C. D.
2．如图，在正方体中，点P是线段上的动点（含端点），点Q是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3．如图，在四面体中，，，，点D为的中点，，则( )
A. B. C. D.
4．如图，在四面体中，E，F分别为，的中点，G为的重心，则( )
A.
B.
C.
D.
5．如图，圆锥的底面圆周上有A，B，C三点，为底面圆O的直径，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6．如图，M为四面体的棱的中点，N为的中点，点P在线段上，且，设，，，则( )
A. B.
C. D.
7．如图,空间四边形中,,,,且,,则=( )
A. B. C. D.
8．如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是( )
A.若，，则；
B.则，，两两共面，但，，不可能共面；
C.对空间任一向量，总存在有序实数组，使；
D.则，，一定能构成空间的一个基底
10．在棱长为2的正方体中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为中点,F为的中点,则( )
A. B. C. D.
11．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．正四面体的棱长为2，设，，，则________.
13．在长方体中，，，点F为长方体的底面的中心，点E为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为_________.
14．如图，正三角形与正三角形所在的平面互相垂直，则直线与平面所成角的正弦值为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在空间四边形中，连接，设M，G分别是，的中点，化简下列各向量表达式：
(1)；
(2).
16．化简：.
17．如图,在三棱锥中,平面,点P,M分别是和的中点,设,,直线与直线所成的角为.
(1)求的长;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图所示,已知是平行六面体.
(1)化简,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面对角线上的分点,设,试求,,的值.
19．已知空间四边形中，，求的值。
参考答案
1．答案：A
解析：由的坐标为，D为坐标原点，所以，
，，，
的坐标为.
故选：A
2．答案：A
解析：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
设，，不妨设，
则，，，，
故，
，
设平面的法向量为，
则，
可取，
则
，
所以
，
当时，，
当时，
，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为，所以
故
.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为E，F分别为，的中点，
所以.
因为G为的重心，所以，
所以
故选：B.
5．答案：B
解析：建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，.
设平面PBC的法向量为，则，即，
令，则.设直线和平面所成角为，
又，所以.
故选B.
6．答案：A
解析：M为四面体的棱的中点，N为的中点，
故，，
，
因为，所以，
故选：A
7．答案：D
解析：,,
,∴,
,
,
.
故选:D
8．答案：B
解析：因为平面，，
易知AD，CD，PD两两垂直，
以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的
正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意得，，，.
所以，，，
设为平面CPM的法向量，
则，即，
不妨设，可得，
由，得，
则N到平面CPM的距离为.
故选：B
9．答案：BC
解析：，，则，所成角不一定为，A错误；
若，，共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；
根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，C正确；
，故，，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误
故选：BC
10．答案：BD
解析：由题意可知,,故A错误;
,故B正确;
,,,故C错误;
,故D正确.
故选:BD
11．答案：BD
解析：,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;
,故D正确;
故选:BD
12．答案：8
解析：在正四面体中，
，又，，，
所以.
故答案为：8
13．答案：
解析：
如图所示，以点D为坐标原点，，，
所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系；
由题意，，，，
则，，
设平面的法向量，
由，得，
令，解得，，
则平面的一个法向量，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则,
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：/
解析：取的中点O，连接，，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，.
设平面ABD的法向量为，则，
所以，取，则，，所以，
不妨设直线与平面所成角为，所以，
从而直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)，
∵G是的中点，
∴；
(2)∵M是的中点，
∴，
∴.
16．答案：
解析：原式
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知：平面,且,
如图,以C为坐标原点,,,,为x,y,z轴所在直线建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,,
可得,,
由题意可得：,解得,
所以.
(2)由(1)可得：,,,
设平面的法向量,则,
令,则,,可得,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)答案见解析
(2),,.
解析：(1)取的中点G,过G作DC的平行线GH,使,连接AH,
则;
其结果如图所示.
(2).
,,.
19．答案：0
解析：，
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