1.1.1 空间向量及其运算--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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1.1.1 空间向量及其运算--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知三棱锥中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则( )
A. B.
C. D.
2．在三棱锥中,已知,G是线段的中点,则( )
A. B.
C. D.
3．在四面体中,点M为线段靠近A的四等分点,N为的中点,若,则的值为( )
A. B.1 C. D.
4．如图，在平行六面体中，记，，则( )
A. B. C. D.
5．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则( )
A. B. C. D.
7．如图，平行六面体中，点M在上，点N在上，且，，若，则( )
A. B. C. D.
8．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为( )
A.2 B.-2 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为17
C.该组数据的平均数为16
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等
10．九章算术中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则( )
A.
B.
C.向量在向量上的投影向量为
D.向量在向量上的投影向量为
11．以下关于向量的说法正确的有( )
A.若，则
B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C.若且，则
D.若与共线，与共线，则与共线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图,在正四面体PABC中,,D为AB中点,则的值是___________.
13．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，________.
14．如图，三棱锥中，平面，且.若D是棱上的点，满足，且，则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在图中，用，，表示，及.
16．如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点化简下列表达式，并在图中标出化简结果：
（1）；
（2）；
（3）.
17．已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式：
(1);
(2);
(3).
18．如图，已知M、N分别为四面体中与的重心，且G为上一点，且，设，，，试用，，表示，.
19．如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，且.用向量，，表示.
参考答案
1．答案：D
解析：如图所示，连接，
可得
.
故选：D.
2．答案：D
解析：连接,因为G是线段的中点,所以
因为,所以
所以
故选：D.
3．答案：C
解析：由空间向量基本定理可得
又由题干,则,故.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意可得：.
故选：A.
5．答案：B
解析：连接，如下图所示：
设球心为O,则当弦的长度最大时，为球的直径，
由向量线性运算可知
正方体的棱长为2，
则球的半径为1，，
所以
，
而
所以，
即，
的最大值为2
故选：B
6．答案：D
解析：.
故选：D.
7．答案：A
解析：
，
故，，，.
故选：A
8．答案：A
解析：由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为.
所以所求投影向量的模长为2.
故选：A
9．答案：ACD
解析：对于A,根据极差定义,该组数据的极差为,故A正确;
对于B,因为,所以该组数据的分位数为,故B错误;
对于C,该组数据的平均数为,故C正确;
对于D,若该组数据去掉得到一组新数据,
则新数据6,11,12,17,19,31的平均数为,
所以这两组数据的平均数相等,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：BD
解析：，
则
，故A不正确，B正确．
向量在向量上的投影向量为，C不正确．
向量在向量上的投影向量为，D正确．
故选：BD
11．答案：AC
解析：若，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若，，则，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
12．答案：-1
解析：
.
13．答案：
解析：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线，
当、最短时，平面，，
所以M为的中心，N为的中点，
此时，
平面，平面，
，
.
又，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为平面平面ABC
所以,又,
故PA,AB,BC两两垂直,
以A为坐标原点,AB,AP
所在直线分别为y,z轴,
平行于BC的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
故,
因为,所以,
因为,
所以
解得负值舍去
15．答案：；；
解析：，
，
.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）；
（2）；
（3）.
17．答案：(1);
(2)
(3).
解析：(1)如图所示,.
(2)取BD的中点H,连接MG,GH.
因为M,G分别为BC,CD的中点,
所以,,
所以BMGH为平行四边形,
所以,
从而.
(3)分别取AB,AC的中点S,N,连接SM,AM,MN,
则易证得ASMN为平行四边形,
所以,
所以.
18．答案：；
解析：
，
.
19．答案：
解析：
，
所以.
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