1.1.2 空间向量基本定理--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

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1.1.2 空间向量基本定理--2024-2025学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图,在三棱柱中,,若,则( )
A.1 B. C. D.
2．如图，在四面体中，M为棱的中点，点N，P分别满足，，则( )
A. B.
C. D.
3．如图，在三棱锥中，，G为的中点，，则( )
A. B. C. D.
4．如图，在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则( )
A. B.
C. D.
5．如图,在正四棱台中,与的交点为M.设,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
6．如图，在三棱锥中，,,,,E是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
7．如图，在平行六面体中，N是的中点，设，，，则等于( )
A. B.
C. D.
8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E是的中点已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有( )
A.
B.
C.
D.
10．下列说法正确的是( )
A.向量与向量共面
B.若与共面，则，使得
C.若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底
D.若，则共面，反之不正确
11．在正方体中,能作为空间的一个基底的一组向量有( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.
13．已知,,,若,,共面,则实数___________.
14．如图,在正四面体中,M,N分别为,的中点,D是线段上一点,且,若,则的值为_____________
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在四棱柱中，，，，.
（1）当时，试用，，表示；
（2）证明：E，F，G，H四点共面.
16．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，，求的值.
17．如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，求证：为定值.
18．《九章算术》中的堑堵是指两底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，，M，N分别是，的中点，G是MN的中点，设，，.
(1)试用基底表示向量；
(2)求的值.
19．如图，已知正方体的棱长为1，P，Q，R分别在，，上，并满足.设，，.
(1)用i，j，k表示，；
(2)设的重心为G，用i，j，k表示；
(3)当时，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知:
,
又,
所以则.
故选:B.
2．答案：D
解析：由已知
.
故选：D.
3．答案：A
解析：G为的中点，
，
又，
，
，
则，，
故选：A.
4．答案：B
解析：记的中点为D，
由正四面体的性质可知，H为正的重心，
所以
所以
.
故选：B
5．答案：D
解析：
.
故选:D
6．答案：D
解析：连接，因为E是线段的中点，
所以，
因为，
所以
，
所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：因为在平行六面体中，N是的中点，
所以.
故选：A.
8．答案：B
解析：由已知，，
则，
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设
即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设
即，解得：，
即
所以，，共面，C选项错误；
设，因为是空间的一个基底
所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD
10．答案：AB
解析：对于A，令，
则，
解得，可得，故A正确；
对于B，若与共面，则，使得，故B正确；
对于C，因为是空间的一个基底，所以不共面，
假设共面，则存在实数，
使得，
即，
解得，所以假设成立，
所以不能构成空间一个基底，故C错误；
对于D，若，
则共面，反之也正确，故D错误.
故选：AB.
11．答案：AC
解析：由题意得:如下图所示:
对于A项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故A项正确;
对于B项:,所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故B项错误;
对于C项:,,不共面,能作为空间的一个基底,故C项正确;
对于D项:,
所以:,,共面,不能作为空间的一个基底,故D项错误.
故选:AC.
12．答案：2
解析：因为
，
又，
所以，，，.
故答案：2.
13．答案：9
解析：,,,,
由若,,共面,则存在实数m,n,使得,
,
,
解得,,
.
故答案为9.
14．答案：
解析：
所以,,所以.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）在四棱柱中，，
因为，所以
.
（2）证明：设（，不为0），
，
则，，共面且有公共点E，则E，F，G，H四点共面.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
又，
（2）由（1）可知
.
17．答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接并延长，交于点H，由题意，可令，，为空间的一个基底，
.
连接.因为点D，E，F，M共面，所以存在唯一的实数对，使，
即，
所以.
由空间向量基本定理，知，，，
所以，为定值.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)连接AM，AN.
G是MN的中点，，
.
(2)，
.
又，，，
.
19．答案：(1)；
(2)
(3)a的取值范围为
解析：(1)，
.
(2)
.
(3)，.
又
，
即对任意，都有，故a的取值范围为.
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