第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时 分式方程的应用
列分式方程解决实际问题的一般步骤
步 骤：(1)审清题意：弄清具体情境中的已知数(量)与未知数(量)以及它们之间的基本关系；
(2)设未知数：用字母(如x)表示某个未知数，由该未知数与其他数(量)的关系，写出表示相关量的式子；
(3)列出方程：根据问题中的等量关系，用已知数与未知数的式子列出方程；
(4)解方程：解所列的分式方程，求出未知数的值；
(5)检验：先检验未知数的值是否是方程的根，再检验是否符合题意；
(6)写出答案：正确写出符合题意的答案(包括单位名称).
类型之一 工程问题
某生物科技公司新接到生产一批疫苗的订单，于是开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20％，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天.原先每天生产多少万剂疫苗？
类型之二 行程问题
小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50％，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.
类型之三 销售问题
[2024春·成都月考]坚持体育锻炼，可以引导学生在体育运动中享受乐趣，增强体质，健全人格，锤炼意志.为了提高学生的球类运动能力，学校购进一批篮球和足球.已知每个足球的价格比每个篮球的价格少20元，用2400元购进足球的数量是用2000元购进篮球的数量的倍.足球和篮球的单价各是多少元？
1.[2024·达州]甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲再开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件个数.设乙每小时加工x个零件，可列方程为 ( )
A.－＝30 B.－＝30
C.－＝ D.－＝
2.[2024·绥化]一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为 ( )
A.5km/h B.6km/h
C.7km/h D.8km/h
3.一项工程，甲单独做要6小时完成，甲、乙合做要2小时完成，那么乙单独做要_______小时完成.
4.某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15 km，一部分学生骑自行车先走，过了15 min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆.已知公交车的平均速度是自行车平均速度的1.5倍，那么学生骑自行车的平均速度是________km/h.
1.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ( )
A.3(x－1)＝ B.＝3
C.3x－1＝ D.＝3
2.[2022·杭州]照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝＋(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝ ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·云南]某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车平均速度的3倍，求D型车的平均速度.
4.[2024·威海]某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
5.某校为了准备“迎新活动”，用700元购买了甲、乙两种小礼品260个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了100元.
(1)购买乙种礼品花了_________元；
(2)如果甲种礼品的单价比乙种礼品的单价高20％，求乙种礼品的单价.(列分式方程解应用题)
6.小刚家到学校的距离是1800m.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20min，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后，骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5min，且骑自行车的平均速度是跑步平均速度的1.6倍.
(1)求小刚跑步的平均速度.
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3min，他能否在上课前赶回学校？请说明理由.
7.(应用意识)某工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲工程队每施工一天，需工程款2.1万元；乙工程队每施工一天，需工程款1.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程，要比规定工期多用5天；
(方案三)若由甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工.
(1)请你求出完成这项工程的规定时间.
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？请说明理由.
参考答案
【归类探究】
【例1】原先每天生产40万剂疫苗.
【例2】走路线B的平均速度为75 km/h.
【例3】足球和篮球的单价分别是80元/个和100元/个.
【当堂测评】
1.D 2.D 3.3 4.20
【分层训练】
1.A 2.C
3.D型车的平均速度是100千米/时.
4.一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
5.(1)400
(2)乙种礼品的单价为2.5元/个.
6.(1)小刚跑步的平均速度为150m/min.
(2)小刚不能在上课前赶回学校.理由略.
7.(1)完成这项工程的规定时间是20天.
(2)选择方案三.理由略.
。第16章 分式
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 解分式方程
1.分式方程
分式方程：分母里含有____________的方程叫做分式方程.
2.解分式方程
基本思想：把分式方程化为整式方程.
步 骤：(1)将分式方程的两边都乘最简公分母，从而约去各个分式中的分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，并做出结论.
3.验根
增 根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个______________的整式，并______________，这时可能产生____________原分式方程的解(或根)，这种根通常称为__________.
验 根：把解得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根；若最简公分母不为0，则是原分式方程的根.
注 意：解分式方程一定要验根.
类型之一 解分式方程
解分式方程：
(1)[2022·眉山]＝；
(2)＝；
(3)＝＋1；
(4)＋＝.
类型之二 分式方程的增根
若关于x的分式方程＝＋2有增根，则m的值为_______.
类型之三 根据分式方程的特殊解确定未知数的取值范围
已知关于x的分式方程＝1的解为非负数，则m的取值范围是____________________.
1.下列关于x的方程是分式方程的为 ( )
A.－x＝ B.＝1－
C.＋1＝ D.＝
2.[2024·德阳]分式方程＝的解是 ( )
A.x＝3 B.x＝2
C.x＝ D.x＝
3.[2024·宜宾]分式方程－3＝0的解为__________.
4.分式方程＋＝3的解是__________.
1.[2022·毕节]小明解分式方程＝－1的过程如下：
解：去分母，得3＝2x－(3x＋3).①
去括号，得3＝2x－3x＋3.②
移项、合并同类项，得－x＝6.③
系数化为1，得x＝－6.④
以上步骤中，开始出错的一步是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
2.[2024·北京]分式方程＋＝0的解为____________.
3.[2024·湖南]分式方程＝1的解为__________.
4.解分式方程：(1)＝1；
(2)＋＝4；
(3)[2024·陕西]＋＝1.
5.若关于x的分式方程－3＝有增根，则m的值是 ( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
6.[2024·遂宁]分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围是 ( )
A.m＞－3
B.m＞－3且m≠－2
C.m＜3
D.m＜3且m≠－2
7.[2024·达州]若关于x的方程－＝1无解，则k的值为____________.
8.[2023·遂宁月考]已知关于x的分式方程＋＝.
(1)若方程的增根为x＝1，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
9.(创新意识)(1)[2022·内江]对于非零实数a、b，规定：a b＝－.若(2x－1) 2＝1，则x的值为 .
(2)[2022·宁波]定义一种新运算：对于任意的非零实数a、b，a b＝＋.若(x＋1) x＝，则x的值为________.
参考答案
【预习导航】
1.未知数
3.含未知数 约去分母 不适合 增根
【归类探究】
【例1】(1)x＝4 (2)原分式方程无解
(3)x＝－ (4)x＝3
【例2】5
【例3】m≥－4且m≠－3
【当堂测评】
1.B 2.D 3.x＝2 4.x＝3
【分层训练】
1.B 2.x＝－1 3.x＝1
4.(1)x＝4 (2)x＝1 (3)x＝－3
5.C 6.B 7.2或－1
8.(1)m＝－6
(2)m的值为或－6.
(3)m的值为－1，－6或.
9.(1) (2)－
。
