第17章 函数及其图象
17.1 变量与函数
第1课时 变量与函数
1.变量与常量
变 量：在某一个变化过程中，____________________的量，叫做变量.
常 量：在某一个变化过程中，______________________的量，叫做常量.
2.函数的概念
函 数：一般地，如果在一个______________中，有两个变量，例如x和y，对于x的______________，y都有______________与之对应，那么y就叫做x的函数.x是自变量，y是因变量.
3.函数关系的表示方法
方 法：____________、____________、____________.
类型之一 常量与变量
[2022·广东]水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是 ( )
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
类型之二 函数的概念
下列式子中，y是x的函数的有 ( )
①y＝1；②y＝x2；③y2＝x；④y＝｜x｜；⑤y＝；⑥y＝2x.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
类型之三 函数的三种表示方法
在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体.下面是测得的弹簧长度y(cm)与所挂物体重量x(kg)的一组对应值.
所挂物体重量x(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y(cm) 18 20 22 24 26 28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当所挂物体重量为3 kg时，弹簧多长？不挂重物时呢？
(3)若所挂重物为7 kg(在允许范围内)，则此时的弹簧长度是多少？
1.以21 m/s的速度向上抛一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系是h＝21t－4.9 t2.下列说法正确的是( )
A.4.9是常量，21、t、h是变量
B.21、4.9是常量，t、h是变量
C.t、h是常量，21、4.9是变量
D.4.9、t、h是常量，21是变量
2.小明给在北京的姑姑打电话，电话费随时间的变化而变化.在这个问题中，因变量是 ( )
A.时间 B.电话费 C.电话 D.距离
3.小强在学校秋季田径运动会100 m比赛中，平均速度为v＝，其中__________是变量，_______随着_______的变化而变化，_______是自变量，_______是_______的函数.
1.超市某种商品的单价为70元/件，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是 ( )
A.70 B.x
C.y D.不确定
2.烧开水时，水温(℃)与时间(min)的关系如下表所示：
时间 (min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
水温 (℃) 5 11 19 30 42 55 70 85 95 100 …
这个表格反映了变量__________与__________之间的关系，其中__________是自变量，__________是因变量.
3.同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y＝x＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数是__________℃.
4.如图是一位患者的体温记录图，看图回答下列问题：
(1)自变量是__________，因变量是__________；
(2)护士每隔_______小时给患者量一次体温；
(3)这位患者的最高体温是__________℃，最低体温是__________℃；
(4)这位患者在4月8日12时的体温是__________℃；
(5)图中的横虚线表示__________________.
5.指出下列函数关系式中的常量、自变量、因变量和函数.
(1)V＝πR2h(R为已知数)；
(2)h＝v0t－2.1t2(v0为已知数).
6.(模型观念)某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径(cm)与用铝量(cm3)有如下关系：
底面半径x(cm) 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0
用铝量y(cm3) 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当易拉罐底面半径为2.4 cm时，易拉罐需要的用铝量是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)说一说易拉罐底面半径对所需用铝量的影响.
参考答案
【预习导航】
1.可以取不同数值 取值始终保持不变
2.变化过程 每一个值 唯一的值
3.解析法 列表法 图象法
【归类探究】
【例1】C
【例2】C
【例3】(1)反映了弹簧长度y与所挂物体重量x之间的关系；其中所挂物体重量x是自变量，弹簧长度y是因变量.
(2)当所挂物体重量为3 kg时，弹簧长24 cm；当不挂重物时，弹簧长18 cm.
(3)所挂重物为7 kg(在允许范围内)的弹簧长度为32cm.
【当堂测评】
1.B 2.B 3.v、t v t t v t
【分层训练】
1.A
2.水温 时间 时间 水温
3.－40
4.(1)时间 体温 (2)6 (3)39.5 36.8 (4)37.5 (5)人的正常体温
5.(1)π、R2为常量，h是自变量，V是因变量，V是h的函数.
(2)v0、－2.1是常量，t是自变量，h是因变量，h是t的函数.
6.(1)反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量.
(2)当底面半径为2.4 cm时，易拉罐的用铝量为5.6 cm3.
(3)易拉罐底面半径为2.8 cm时比较适宜，因为此时用铝量较少，成本低.
(4)当易拉罐底面半径在1.6～2.8 cm之间变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0 cm之间变化时，用铝量随半径的增大而增大.
。第17章 函数及其图象
17.1变量与函数
第2课时 函数自变量的取值范围
自变量的取值范围
注 意：(1)自变量的取值必须使含自变量的表达式有意义；
(2)实际问题中，自变量的取值必须使实际问题有意义.
方 法：(1)当表达式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
(2)当表达式是分式且分母中含自变量时，解不等式(分母不等于0)，得出自变量的取值范围.
类型之一 求函数自变量的取值范围
分别求出自变量x的取值范围：
(1)y＝(x＋1)(x－2)；
(2)y＝.
类型之二 求函数值
当x＝－2和x＝3时，分别求出下列函数的函数值：
(1)y＝；
(2)y＝x2－x－2.
类型之三 求函数关系式
如图，点P是长方形ABCD的边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连结CP.已知AB＝10cm，AD＝4cm，AP＝xcm，梯形APCD的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当AP＝5 cm时，梯形APCD的面积是多少？
1.函数y＝中，自变量x的取值范围是 ( )
A.x≠－4 B.x≠4
C.x≤－4 D.x≤4
2.已知函数y＝3x－1，当x＝3时，y的值是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.汽车由A地驶往相距240km的B地，它的平均速度是60km/h，则汽车距B地的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是 ( )
A.s＝240－60t(0≤t≤4)
B.s＝240－60t(t＞0)
C.s＝60t(0≤t≤4)
D.s＝60t(t＜4)
4.[2024·滨州]若函数y＝的表达式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是__________.
1.若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 ( )
A.y＝60－2x(0＜x＜60)
B.y＝60－2x(0＜x＜30)
C.y＝(60－x)(0＜x＜60)
D.y＝(60－x)(0＜x＜30)
2.寄一封质量在20 g以内的平信，邮寄费为0.8元，则寄n封这样的平信所需邮寄费y(元)与n(封)之间的函数关系式是_____________；当n＝15时，函数值为________，它的实际意义是____________________________________________.
3.火车从上海驶往相距1 260 km的北京，它的平均速度是120 km/h，则火车距北京的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式为____________________，其中自变量t的取值范围是________________.
4.[2024春·重庆期中]如图是若干个粗细均匀的铁环组成的链条，已知每个铁环长4cm，铁环粗0.5cm，铁环间处于最大限度的拉伸状态.设x个铁环长为ycm，则y与x之间的关系式为______________.
5.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围.
(1)学校食堂现库存粮食21 000 kg，平均每天消耗粮食200 kg，求库存粮食y(kg)与食用的天数x(天)之间的函数关系式.
(2)一根弹簧原长12 cm，每挂1 kg的物体，就伸长0.5 cm.已知弹簧所挂物体的质量不能超过20 kg，求弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.
(3)为庆祝建校80周年，学校组织合唱会演，八年级共站成10排，第一排10人，后面每排比前排多1人，求每排人数m与这排的排数n之间的函数关系式.
6.已知两个变量x、y之间的关系如图所示.
(1)当x分别取0、、3时，求函数y的值；
(2)当y分别取0、、3时，求自变量x的值.
7.(模型观念)如图，在边长为2的正方形ABCD的边BC上有一点P从点B运动到点C.设BP＝x，四边形APCD的面积为y.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)当x为何值时，四边形APCD的面积为3？
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)x为全体实数. (2)x≠
【例2】(1)当x＝－2时，y＝－1.5；当x＝3时，y＝11.
(2)当x＝－2时，y＝4；当x＝3时，y＝4.
【例3】(1)y＝2x＋20，其中0＜x＜10.
(2)当AP＝5 cm时，梯形APCD的面积为30 cm2.
【当堂测评】
1.B 2.C 3.A 4.x≠1
【分层训练】
1.D
2.y＝0.8n 12 寄15封质量在20 g以内的平信需邮寄费12元
3.s＝1 260－120t 0≤t≤10.5
4.y＝3x＋1
5.(1)y＝21 000－200x(0≤x≤105)
(2)y＝12＋0.5x(0≤x≤20)
(3)m＝9＋n(1≤n≤10且n为整数)
6.(1)当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝；当x＝3时，y＝2.
(2)当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1.当y＝时，分三种情况讨论：①x＋1＝，解得x＝；②＝，解得x＝；③x－1＝，解得x＝.当y＝3时，x－1＝3，解得x＝4.
7.(1)y＝4－x(0≤x≤2)
(2)当x＝1时，四边形APCD的面积为3.
。
