第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
平行四边形的判定定理3
定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
拓展：两组对角 的四边形是平行四边形.
注 意：平行四边形识别方法要灵活选择.
(1)若知一组对边相等，可选择定理1或定理2；
(2)若知一组对边平行，可选择定理2或定义；
(3)若知对角线，可选择定理3.
类型 对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
[2023·江苏月考]如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°.
(1)求线段OC的长；
(2)求证：四边形ABCD为平行四边形.
如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE.
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；
(2)若AB＝CE，∠BAC＝82°，∠ABE＝25°，求∠EDF的度数.
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AB∥DC，AD＝BC
D.OA＝OC，OB＝OD
第1题图
2.[2024·莲湖区校级一模]如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 ( )
A.∠1＝∠2 B.AD＝BC
C.OA＝OC D.AD＝AB
第2题图
1.[2024·河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连结BM并延长交AE于点D，连结CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴① . 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(② )， ∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①，②应分别为 ( )
A.∠1＝∠3，A.A.S.
B.∠1＝∠3，A.S.A.
C.∠2＝∠3，A.A.S.
D.∠2＝∠3，A.S.A.
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
3.如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC，CN⊥BD，DF⊥AC.求证：MN∥EF.
4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长AD至点E，连结EO并延长，交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC.
(1)求证：O是线段AC的中点：
(2)连结AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形.
5.(模型观念、推理能力)如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，连结AE、CF，AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
参考答案
【预习导航】
互相平分 分别相等
【归类探究】
【例1】略
【例2】(1)OC的长是13. (2)略
【例3】(1)略 (2)∠EDF＝24°
【当堂测评】
1.C 2.C
【分层训练】
1.D 2.略 3.略 4.略
5.(1)略 (2)结论还成立.证明略.
。第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
平行四边形的判定定理1、2
定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边 的四边形是平行四边形.
注 意：若四边形一组对边平行，另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形.
类型之一 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BD⊥AD，垂足为点D，DB⊥BC，垂足为点B.求证：四边形ABCD是平行四边形.
类型之二 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
1.对于四边形ABCD，下列条件不能判定该四边形为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC且AD∥BC
B.AB＝DC且AD＝BC
C.AB∥DC且AD＝BC
D.AB∥DC且AB＝DC
2.[2022·河北]依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 ( )
3.在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，当CD＝ ，DA＝ 时，四边形ABCD是平行四边形.
1.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是 ( )
A.①② B.①④
C.③④ D.②③
2.[2023春·南京期中]求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.(请写出已知、求证并完成证明)
已知：如图， .
求证： .
3.[2024·武汉]如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，AF＝CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF.
(2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.
4.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分.
5.(推理能力)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm.点P自点A向点D以1cm/s的速度运动，到D点即停止；点Q自点C向点B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P、Q同时出发，设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示：
AP＝ cm；DP＝ cm；BQ＝ cm；CQ＝ cm.
(2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
(3)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
参考答案
【预习导航】
相等 平行且相等
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】略
【当堂测评】
1.C 2.D 3.4 5
【分层训练】
1.D
2.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C 四边形ABCD是平行四边形 证明略
3.(1)略 (2)添加BE＝CE(方法不唯一)
4.略
5.(1)t (12－t) (15－2t) 2t
(2)当t＝5时，四边形APQB是平行四边形.
(3)当t＝4时，四边形PDCQ是平行四边形.
。第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第4课时 平行四边形的性质与判定的综合
1.平行四边形的性质
定义：平行四边形的对边 .
定理1：平行四边形的对边 .
定理2：平行四边形的对角 .
定理3：平行四边形的对角线 .
推论：两条平行线之间的距离处处 .
2.平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边 的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相 的四边形是平行四边形.
类型 平行四边形的性质与判定的综合
如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BF＝DE，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE、EH、HF、FG.求证：四边形GEHF是平行四边形.
如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD、BC分别相交于点E、F，GH过点O，与AB、CD分别相交于点G、H，连结EG、FG、FH、EH.求证：四边形EGFH是平行四边形.
1.如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连结BE、EF、DF，则图中平行四边形共有 ( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
2.如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.下列结论：①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE.其中正确的是 ( )
A.①⑥ B.①②④⑥
C.①②③④ D.①②④⑤⑥
1.[2024春·海州区期末]如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，分别过点A作AE⊥BD于点E，在BD上取点F，连结CF，使∠DCF＝∠BAE.连结AF、CE.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AF＝10，EF＝8，BE＝4，求△BEC的面积.
2.[2022春·信都区期末]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
(1)若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围.
(2)若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数.
(3)点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，连结EG、GF、FH、HE.求证：四边形EGFH是平行四边形.
3.如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，∠AEB＋∠D＝180°，过点E作EF⊥AE交AB于点F.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，AF＝5，AE＝，求AD的长.
4.(模型观念，推理能力)[2024春·金沙期末]如图，在 ABCD中，连结对角线AC，AF、CG分别是∠CAD、∠ACD的平分线，AF与CG相交于点O，E为BC上一点，且∠BAE＝∠DCG.
(1)如图1，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求△ACD的面积；
(2)如图2，若△ACD是等腰直角三角形，且∠CAD＝90°，求证：AC＝CE＋2OF.
图1
图2
参考答案
【预习导航】
平行 相等 相等 互相平分 相等 平行 相等 平行且相等 平分
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【当堂测评】
1.B 2.D
【分层训练】
1.(1)略 (2)12
2.(1)1＜AD＜13 (2)∠ADC＝70° (3)略
3.(1)略 (2)AD＝2
4.(1)3 (2)略
。第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
第3课时 平行四边形的判定的综合
平行四边形的判定定理
定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
定理2：一组对边 的四边形是平行四边形.
定理3：对角线互相 的四边形是平行四边形.
类型之一 平行四边形的判定
如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB，利用三种方法证明四边形ABCD是平行四边形.
类型之二 平行四边形的性质与判定的综合
如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求证：四边形EFGH是平行四边形.
[2022·株洲]如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连结CE并延长，交BA的延长线于点F，AE＝DE，FE＝CE.
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形.
1.[2024·达州]如图，线段AC与BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为F，连结AF、CE；(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母)
(2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.(若前问未完成，可画草图完成此问)
2.[2023·绵阳]如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F在AC上，且AE＝CF.
(1)求证：BE∥DF.
(2)过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，连结BM.若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长.
3.(推理能力)如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AB上，∠EFB＝60°，EF＝DC.
(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2)连结BE，若BF＝EF，求证：AE＝AD.
参考答案
【预习导航】
平行 相等 平行且相等 平分
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【当堂测评】
略
【分层训练】
1.(1)略
(2)四边形AECF为平行四边形.理由略.
2.(1)略 (2)四边形BEDF的周长为24.
3.略
。
