第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
1.矩形的性质 第1课时 矩形的性质
1.矩形的定义
定 义：有一个内角为直角的 叫做矩形.
2.矩形的性质
性质定理1：矩形的四个角都是 .
性质定理2：矩形的对角线 .
类型之一 矩形的定义
如图，在 ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM，求证：四边形ABCD是矩形.
类型之二 矩形的四个角都是直角
[2024·陕西]如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE.
类型之三 矩形的对角线相等
如图，矩形ABCD被对角线AC、BD分成四个小三角形，这四个小三角形的周长之和是68，AC＝10，则矩形ABCD的周长是 .
如图，在矩形ABCD中，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
1.在下列说法中，矩形不一定具有的性质是( )
A.对角相等 B.是轴对称图形
C.是中心对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2 cm，AC＝4 cm.
(1)根据“矩形的对角线 ”，可以得到BD＝ cm；
(2)根据“矩形的对角线 ”，可以得到AO＝BO＝AC＝ cm，且AB＝2 cm，所以△AOB是 三角形.
1.如图，在矩形ABCD中，下列说法不一定正确的是 ( )
第1题图
A.AD∥BC
B.AB＝CD
C.对角线AC与BD互相平分
D.对角线AC⊥BD
2.如图是一张矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝4.若用剪刀沿∠ABC的平分线BE剪下，则DE的长为 ( )
第2题图
A.4 B.5 C.6 D.7
3.[2024·甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.[2022·苏州]如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F.
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE＝40°，求∠CAB的度数.
5.(逻辑推理)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE平分∠ADC，交BC于点E，连结OE，且∠ODE＝15°.
(1)求证：CO＝CE；
(2)求∠OED的度数.
参考答案
【预习导航】
1.平行四边形 2.直角 相等
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】28
【例4】略
【当堂测评】
1.D
2.(1)相等 4 (2)互相平分 2 等边
【分层训练】
1.D 2.C 3.C
4.(1)略 (2)∠CAB＝25°
5.(1)略 (2)∠OED＝30°
。第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
1.矩形的性质 第2课时 矩形的性质的运用
矩形的性质
定理1：矩形的四个角都是 .
定理2：矩形的对角线 .
类型之一 与矩形的性质有关的计算
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝6 cm.
(1)△AOB是 三角形；
(2)求矩形ABCD各边的长.
类型之二 与矩形的性质有关的证明
如图，在矩形ABCD中，F是边BC上一点，AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连结DF.求证：
(1)△DEA≌△ABF；
(2)DF是∠EDC的平分线.
类型之三 与矩形的性质有关的创新应用
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F，则PE＋PF的值为 .
1.[2024·南通]如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为 ( )
A.41° B.51° C.49° D.59°
第1题图
2.如图，矩形ABCD的边AB的长为4，点M为边BC的中点，∠AMD＝90°，则矩形ABCD的周长是 .
第2题图
1.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上.若AB＝3，BC＝4，BE＝1，AE⊥EF，则EF的长为 .
第1题图
2.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE⊥AC于点E.若∠AOD＝110°，则∠CDE的度数为 .
第2题图
3.[2024·德阳期中]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE.
(1)若∠ADB＝40°，求∠E的度数；
(2)若AB＝3，CE＝5，求AE的长.
4.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AD的中点C'处，点B落在点B'处，若AB＝9，BC＝6，则FC'的长为 ( )
A. B.4 C.4.5 D.5
5.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连结BE、EC，且EC平分∠BED.
(1)△BEC是否为等腰三角形？请给出证明.
(2)若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长.
6.(推理能力)某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O旋转(图1→图2→图3)，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.
(1)该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图3(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2.请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由.
(2)试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
参考答案
【预习导航】
直角 互相平分且相等
【归类探究】
【例1】(1)等边
(2)AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝cm.
【例2】略
【例3】
【当堂测评】
1.C 2.24
【分层训练】
1. 2.35°
3.(1)∠E＝20° (2)AE＝
4.D
5.(1)△BEC是等腰三角形.证明略.
(2)DE＝－1.
6.(1)略 (2)BN2＋DM2＝CM2＋CN2.理由略.
。
